【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年北師大版高中數(shù)學(xué)必修1雙基限時(shí)練13-簡(jiǎn)單的冪函數(shù)

雙基限時(shí)練(十三)簡(jiǎn)潔的冪函數(shù)基礎(chǔ)強(qiáng)化1．下列函數(shù)中，不是冪函數(shù)的是()A.y＝eq\r(x) B.y＝x3C.y＝3x D.y＝x－1解析由冪函數(shù)的定義可得．答案C2．若函數(shù)y＝(k2－k－5)x2是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的值為()A.3 B.2C.3或－2 D.k≠3且k≠－2解析由冪函數(shù)的概念可知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，得k＝－2，或k＝3.答案C3．函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))的圖像是()解析函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))是冪函數(shù)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像恒定過定點(diǎn)(1,1)，排解A、D.當(dāng)x>1時(shí)，x>xeq\s\up15(eq\f(1,3))，故冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))圖像在直線y＝x的下方，排解C.答案B4．已知函數(shù)f(x)＝x3＋eq\r(3,x)＋1，(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為()A.3 B.0C.－1 D.－2解析設(shè)F(x)＝f(x)－1，明顯F(x)為奇函數(shù)，∴F(a)＝f(a)－1＝1，F(xiàn)(－a)＝－F(a)＝－1.∴f(－a)－1＝－1，∴f(－a)＝0.答案B5．若函數(shù)y＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a等于()A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，∴(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，得a＝1.答案C6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是削減的，且f(3)＝0，則使f(x)<0的x的取值范圍為()A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(－3,3)解析由已知可得f(－3)＝f(3)＝0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可畫出函數(shù)f(x)的大致圖像(如圖)．由圖像可知f(x)<0時(shí)，x的取值范圍是(－3,3)．答案D7．當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖像不行能經(jīng)過第________象限．解析冪函數(shù)y＝x－1，y＝x，y＝x3的圖像分布在第一、三象限，y＝xeq\f(1,2)的圖像分布在第一象限，故當(dāng)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))時(shí)，冪函數(shù)y＝xα的圖像不行能經(jīng)過其次、四象限．答案二、四能力提升8．若函數(shù)f(x)＝ax3在[3－a,5]上是奇函數(shù)，則a＝________.解析由奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)和3－a＝－5，得a＝8.答案89．已知a＝xα，b＝xeq\s\up15(eq\f(a,2))，c＝xeq\s\up15(eq\f(1,a))，x∈(0,1)，α∈(0,1)，則a，b，c的大小挨次是________．解析∵α∈(0,1)，∴eq\f(1,α)>α>eq\f(α,2)，又0<x<1依據(jù)冪函數(shù)的圖像特征可知xeq\s\up15(eq\f(1,a))<xα<xeq\s\up15(eq\f(a,2)).答案c<a<b10．點(diǎn)(eq\r(2)，2)在冪函數(shù)f(x)的圖像上，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))在冪函數(shù)g(x)的圖像上，問當(dāng)x為何值時(shí)，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．解設(shè)f(x)＝xα，則由題意得2＝(eq\r(2))α，∴α＝2，即f(x)＝x2.再設(shè)g(x)＝xβ，則由題意得eq\f(1,4)＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與g(x)的圖像，如圖所示．由圖像可知：(1)當(dāng)x>1，或x<－1時(shí)，f(x)>g(x)；(2)當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)＝g(x)；(3)當(dāng)－1<x<1且x≠0時(shí)，f(x)<g(x)．11．若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求函數(shù)f(x)的解析式．解(1)當(dāng)x＝0時(shí)，由f(－x)＝－f(x)，得f(0)＝0.(2)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]．又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝(－x)(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，∴f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，x>0，,0，x＝0，,x1＋x，x<0.))12．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝2.(1)求m；(2)推斷f(x)的奇偶性；(3)函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)是增加的還是削減的？并說明理由．解(1)∵f(1)＝2，∴1＋m＝2，即m＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，明顯函數(shù)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)是奇函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)在(1，＋∞)內(nèi)是增加的．設(shè)x1，x2是(1，＋∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x1－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝x1－x2－eq\f(x1－x2,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－1,x1x2)，當(dāng)1<x1<x2時(shí)，有x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，從而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴