【優(yōu)化方案】2020-2021學年高一下學期數(shù)學(必修3)第三章3.3.1課時作業(yè)

[學業(yè)水平訓練]1．下列關于幾何概型的說法中，錯誤的是()A．幾何概型是古典概型的一種，基本大事都具有等可能性B．幾何概型中大事發(fā)生的概率與它的位置或外形無關C．幾何概型在一次試驗中可能毀滅的結果有無限多個D．幾何概型中每個結果的發(fā)生都具有等可能性解析：選A.幾何概型和古典概型是兩種不同的概率模型，故選A.2．(2022·高考北京卷)設不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2，))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)解析：選D.平面區(qū)域D的面積為4，到原點距離大于2的點位于圖中陰影部分，其面積為4－π，所以所求概率為eq\f(4－π,4).3．在2022年五一勞動節(jié)期間，3路公交車由原來的每15分鐘一班改為現(xiàn)在的每10分鐘一班，在車站停1分鐘，則乘客到達站臺馬上乘上車的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,11) D.eq\f(9,10)解析：選C.記“乘客到達站臺馬上乘上車”為大事A，則A所占時間區(qū)域長度為1分鐘，而整個區(qū)域的時間長度為11分鐘，故由幾何概型的概率公式，得P(A)＝eq\f(1,11).4．在區(qū)間[－π，π]內隨機取兩個數(shù)分別為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點的概率為()A．1－eq\f(π,8) B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2) D．1－eq\f(3π,4)解析：選B.函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐標系，滿足a2＋b2≥π2的點(a，b)如圖陰影部分所示，所求大事的概率為P＝eq\f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4)，故選B.5．(2021·高考湖南卷)已知大事“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：選D.由于滿足條件的點P發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，且點P在邊CD上運動，依據圖形的對稱性當點P在靠近點D的CD邊的eq\f(1,4)分點時，EB＝AB(當點P超過點E向點D運動時，PB>AB)．設AB＝x，過點E作EF⊥AB交AB于點F，則BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).6．(2022·西安質檢)在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取點，則該點落在三棱錐A1－ABC內的概率是______．解析：設正方體的棱長為a，則所求概率P＝eq\f(VA1－ABC,VABCD－A1B1C1D1)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)a2·a,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7.如圖，在平面直角坐標系內，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內的概率為________．解析：記“射線OA落在∠xOT內”為大事A.構成大事A的區(qū)域最大角度是60°，全部基本大事對應的區(qū)域最大角度是360°，所以由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(60°,360°)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)8．(2021·高考湖北卷)在區(qū)間[－2，4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝________．解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.當m≤2時，由題意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，沖突，舍去．當2<m<4時，由題意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值為3.答案：39．如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝8，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個分點．(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；(2)在半圓內任取一點S，求△SAB的面積大于8eq\r(2)的概率．解：(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：△ABM，△ABN，△ABP，△AMN，△AMP，△ANP，△BMN，△BMP，△BNP，△MNP，其中是直角三角形的只有△ABM，△ABN，△ABP3個，所以組成直角三角形的概率為eq\f(3,10).(2)連接MP，取線段MP的中點D，則OD⊥MP，易求得OD＝2eq\r(2)，當S點在線段MP上時，S△ABS＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×8＝8eq\r(2)，所以只有當S點落在陰影部分時，△SAB面積才能大于8eq\r(2)，而S陰影＝S扇形MOP－S△OMP＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×42－eq\f(1,2)×42＝4π－8，所以由幾何概型的概率公式得△SAB的面積大于8eq\r(2)的概率為eq\f(4π－8,8π)＝eq\f(π－2,2π).10．(2022·濰坊高一檢測)設關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，(1)若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解：設大事A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”，當a≥0，b≥0時，此方程有實根的條件是a≥b.(1)全集Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，其中第一個數(shù)表示a的取值，其次個數(shù)表示b的取值，大事A＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)}，故P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，而構成A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，如圖所示的陰影部分，所以P(A)＝eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).[高考水平訓練]1．(2022·鄭州六校聯(lián)考)如圖，扇形AOB的半徑為1，圓心角為90°，點C，D，E將弧AB等分成四份．連接OC，OD，OE，從圖中全部扇形中隨機取出一個，面積恰為eq\f(π,8)的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)解析：選A.題圖中共有10個不同的扇形，分別為扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面積恰為eq\f(π,8)的扇形(即相應圓心角恰為eq\f(π,4)的扇形)共有3個(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于eq\f(3,10).2．如圖，正方形OABC的邊長為2.(1)在其四邊或內部取點P(x，y)，且x，y∈Z，則大事“|OP|>1”的概率為________．(2)在其內部取點P(x，y)，且x，y∈R，則大事“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于eq\f(2,3)”的概率是________．解析：(1)在正方形的四邊和內部取點P(x，y)，且x，y∈Z，全部可能的大事是(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有n＝9個，其中滿足|OP|>1的大事是(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有m＝6個，所以滿足|OP|>1的概率為P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).(2)在正方形內部取點，其總的大事包含的區(qū)域面積為4，由于各邊長為2，所以要使△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面積均大于eq\f(2,3)，應當三角形的高大于eq\f(2,3)，所以這個區(qū)域為每個邊長從兩端各去掉eq\f(2,3)后剩余的正方形，其面積為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，所以滿足條件的概率為eq\f(\f(4,9),4)＝eq\f(1,9).答案：(1)eq\f(2,3)(2)eq\f(1,9)3．2021年度世界新聞人物——斯諾登，他揭露了美國的監(jiān)聽丑聞．國家平安機關監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)覺30min長的磁帶上在開頭錄音的1min內從第30s后的某一時刻開頭，有10s長的一段內容包含間諜犯罪的信息．后來發(fā)覺，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從今處起往后的全部內容都被擦掉了，那么由于按錯了鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解：記A＝{按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉}，A發(fā)生就是在0到eq\f(2,3)min時間段內按錯鍵．P(A)＝eq\f(\f(2,3),30)＝eq\f(1,45).4．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M分別是AB的中點．一只蒼蠅在幾何體ADF-BCE內自由飛行，求它飛入幾何體F-AMCD內的概率．解：由