【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第12章-第4節(jié)-直接證明與間接證明

第十二章第四節(jié)一、選擇題1．若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D．eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)[答案]B[解析]在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．2．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ過程應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合應(yīng)用D．間接證明法[答案]B[解析]由于證明過程是“從左往右”，即由條件?結(jié)論．3．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”“索”的“因”應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0[答案]C[解析]eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a?a2＋2ac＋c2－ac－3a?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)4．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)[答案]C[解析]由均值不等式成立的條件知a，b同號(hào)，故①③④都可以．5．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)．用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個(gè)”的否定是“都不是”．6．若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P、Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值確定[答案]C[解析]∵要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證：2a＋7＋2eq\r(aa＋7)<2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只要證：a2＋7a<a2＋7只要證：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．二、填空題7．已知命題：“在等差數(shù)列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，則S11為定值”為真命題，由于印刷問題，括號(hào)處的數(shù)模糊不清，可推得括號(hào)內(nèi)的數(shù)為________[答案]18[解析]S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6，由S11為定值，可知a6＝a1＋5d為定值．設(shè)4a2＋a10＋an＝24，整理得a1＋eq\f(n＋12,6)d＝4，可知n＝18.8．(2022·北京高考)顧客請(qǐng)一位工藝師把A，B兩件玉石原料各制成一件工藝品．工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客．兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位：工作日)如下：工序時(shí)間原料粗加工精加工原料A915原料B621則最短交貨期為________個(gè)工作日．[答案]42[解析]本題考查了規(guī)律思維力氣．先由徒弟對(duì)原料B進(jìn)行粗加工需6個(gè)工作日，此后由工藝師精加工原料B，期間徒弟完成原料A的粗加工，工藝師完成原料B后，再完成原料A的精加工，∴最短共需6＋21＋15＝42個(gè)工作日．9．α，β，γ是三個(gè)平面，a，b是兩條直線，有下列三個(gè)條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.假如命題“α∩β＝a，bγ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________．[答案]①或③[解析]若填入①，則由a∥γ，bβ，bγ，b＝β∩γ，則a∥B．若填入③，則由aγ，a＝α∩β，則a＝(α∩β∩γ)，又bγ，b∥β，則b∥A．若填入②，不能推出a∥b，可以舉出反例，例如使β∥γ，bγ，aβ，則此時(shí)能有a∥γ，b∥β，但不愿定a∥B．或直接通過反例否定②.三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)求證：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)求證：方程f(x)＝0沒有負(fù)根．[證明](1)解法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(x2－2x1＋1－x1－2x2＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x2－x1,x1＋1x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)>0，故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．解法2：f(x)＝ax＋1－eq\f(3,x＋1)(a>1)，求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝axlna＋eq\f(3,x＋12)，∵a>1，∴當(dāng)x>－1時(shí)，axlna>0，eq\f(3,x＋12)>0，∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)解法1：設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1)，且0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即eq\f(1,2)<x0<2，與假設(shè)x0<0沖突，故方程f(x)＝0沒有負(fù)根．解法2：設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，①若－1<x0<0，則eq\f(x0－2,x0＋1)<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1與f(x0)＝0沖突．②若x0<－1，則eq\f(x0－2,x0＋1)>1，ax0>0，∴f(x0)>1與f(x0)＝0沖突．故方程f(x)＝0沒有負(fù)根.一、選擇題1．(2022·山東高考)用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根[答案]A[解析]至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒有實(shí)根．2．給出如下三個(gè)命題：①四個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b、c、d依次成等比數(shù)列的充要條件是ad＝bc；②設(shè)a，b∈R，且ab≠0，若eq\f(a,b)<1，則eq\f(b,a)>1；③若f(x)＝log2x，則f(|x|)是偶函數(shù)．其中不正確命題的序號(hào)是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③[答案]A[解析]①中，a，b，c，d成等比數(shù)列?ad＝bc，但ad＝bc?/dc＝cb＝bA．②中，若eq\f(a,b)<1，則eq\f(b,a)的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以②錯(cuò)誤；③中，f(|x|)＝log2|x|的定義域是{x|x∈R且x≠0}，且f(|x|)＝f(|－x|)成立，故f(|x|)是偶函數(shù)，③正確，所以答案是A．二、填空題3．已知函數(shù)f(x)＝ax＋2a＋1，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________[答案]－1＜a＜－eq\f(1,3)[解析]由題意得f(x)＝ax＋2a＋1為斜率不為0的直線，由單調(diào)性知f(1)·f(－1)＜0即可∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1∴－1＜a＜－eq\f(1,3).4．請(qǐng)閱讀下列材料：若兩個(gè)正實(shí)數(shù)a1，a2滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝1，那么a1＋a2≤eq\r(2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.由于對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，從而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤eq\r(2).類比上述結(jié)論，若n個(gè)正實(shí)數(shù)滿足aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝1，你能得到的結(jié)論為________．[答案]a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n)(n∈N*)[解析]構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋1，∵f(x)≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，∴Δ＝4(a1＋a2＋…＋an)2－4n≤0，∵a1，a2，…，an都是正數(shù)，∴a1＋a2＋…＋an≤eq\r(n).三、解答題5．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(eq\r(an)，an＋1)(n∈N＋)在函數(shù)y＝x2＋1的圖像上．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn·bn＋2<beq\o\al(2,n＋1).[解析](1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知：an＝n從而bn＋1－bn＝2n，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.由于bnbn＋2－beq\o\al(2,n＋1)＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝22n＋2＝－2n＋2－2n＋1－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n－2n<0，所以bnbn＋2<beq\o\al(2,n＋1).6．設(shè)f(x)＝eq\f(2x＋a,x＋1)(a≠2)．(1)用反證法證明：函數(shù)f(x)不行能為偶函數(shù)；(2)求證：函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減的充要條件是a>2.[解析](1)假設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)，即eq\f(－4＋a,－1)＝eq\