【同步備課】高中數學(北師大版)必修四教案：1.8-典型例題：函數y=Asin(ωx+φ)的圖象6

函數圖象例題分析［例1］由圖4—14所示函數圖象，求y＝Asin（ωx＋φ）圖4—14（｜φ｜＜π圖4—14選題意圖：考查數形結合的思想方法.解：由圖象可知A＝2又（－，0）為五點作圖的第一個點因此2×（－）＋φ＝0，∴φ＝因此所求函數表達式為y＝2sin(2x＋)說明：在求y＝Asin（ωx＋φ）的過程中，A由函數的最值確定，ω由函數的周期確定，φ可通過圖象的平移或“五點法”作圖的過程確定.圖4—15［例2］函數y＝Asin(ωx＋φ）（｜φ｜＜π）的圖象如圖4—15圖4—15選題意圖：考查數形結合的思想方法.解：由函數圖象可知A＝1函數的周期為T＝2［3－（－1）］＝8，即＝8∴ω＝又(－1，1)為“五點法”作圖的其次個點即（－1）＋φ＝，∴φ＝∴所求函數表達式為y＝sin（x＋）說明：假如利用點(－1，1)，（1，0），（3，－1）在函數y＝Asin（ωx＋φ）的圖象上，得到，則很難確定函數關系式中的A、ω、φ.［例3］如圖4—16，已知函數y＝2sin(ωx＋φ)(｜φ｜＜的圖象，那么A.ω＝，φ＝B.ω＝，φ＝－C.ω＝2，φ＝D.ω＝2，φ＝－選題意圖：考查數形結合的思想方法.解：由(0，1)點在函數的圖象上，知2sinφ＝1，又｜φ｜＜∴φ＝又(，0)是“五點法”作圖的第五個點因此ω·＝2π，解得ω＝2.答案：C說明：在本題求ω的過程中，若利用(，0)在圖象上，即sin（ω＋）＝0，則求出ω＝2或ω＝，很難推斷我們所要選擇的答案，因此圖象上點的坐標適合關系式肯定要慎重使用.［例4］畫出函數，的簡圖，并說明由正弦曲線經過怎樣的變換得到此函數的圖像．解：函數的周期T=，先畫出它在長度為的閉區(qū)間上的簡圖．列表X02020－20描點畫圖：描點，連接，依據這五個關鍵點畫出函數．的簡圖（圖4-37）利用函數的周期性，可以把得到的在閉區(qū)間上的簡圖向左，右分別擴展，從而得到函數：．R的簡圖．函數R的圖像可以由正弦曲線經過如下的變換得到：（1）先把的圖像上全部的點向右平行移動個單位，得到的圖像；再把的圖像上的全部的點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到的圖像．（2）先把函數的圖像上全部的點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到函數的圖像；再把的圖像上全部的點向右平行移動個單位，得到的圖像．評析：比較函數的圖像和圖像，簡潔發(fā)覺，對于的圖像上每一點，在的圖像上總存在唯一一點和它對應，因此，R的圖像．可以看作是先把正弦曲線上全部的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）而得到；也可以看作是先把正弦曲線上全部的點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）再把所得各點向右平行移動個單位長度而得到．變換的次序可以轉變．一般有，函數．R，的圖像，可以看作是用下面的兩種方法得到的：（1）先把正弦曲線上全部的點向左（當時）時或向右（當時）平行移動個單位長度，再把所得各點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當）到原來的A倍（橫坐標不變）（2）先把正弦曲線上全部的點的縱坐標伸長（當A>1時）或縮短（當）到原來的A倍（橫坐標不變），再把所得各點向左（（當）時）或向右（當時）平行移動個單位長度．［例5］畫出函數R的簡圖，并說明由正弦曲線經過怎樣的變換得到該函數的圖像．解：函數的周期，先畫出它在長度為的閉區(qū)間上的簡圖．列表：X02010－10描點畫圖：描點、連接，依據五個關鍵點畫出函數的簡圖，如圖4-38所示．利用函數的周期性，把它在上的簡圖向左、右分別擴展，就得到函數R的簡圖．函數R的圖像可以由正弦曲線經過下面的兩種方式的變換得到：（1）先把圖像上全部的點向左平行移動個單位長度，得到的圖像；再把的圖像上全部的點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖像．（2）先把的圖像上全部點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖像；再把的圖像上全部的點向左平行移動個單位長度，得到的圖像．評析：比較函數的圖像與的圖像，不難看出，對于的圖像上每一點，在的圖像上總存在唯一一點和它對應，因此的圖像，可以看作是先把正弦曲線上全部的點向左平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）而得到的；也可以看作是先把正弦曲線上全部的點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）再把所得各點向左平行移動個單位而得到的．（變換次序可以轉變）．留意：在由的圖像變換成的圖像時，由于中的與2x中的x相對應，所以平移的是個單位，而不是個單位．（這里是同學經常消滅錯誤的地方，必需設法避開）．一般地，函數R的圖像，可以看作是用下面兩種方法得到的：（1）先把正弦曲線上全部的點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短（當時）或伸長（當時）到原來的倍（縱坐標不變）．（2）先把正弦曲線上全部的點的橫坐標縮短（當時）或伸長（當時）到原來的倍（縱坐標不變），再把所得各點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度．說明：講例2和例3兩題的目的有二：一是把本節(jié)課的學問引伸，二是為下節(jié)課作好預備，這樣處理教學內容雖然本節(jié)課的難點增加了，難度加大了，但下一節(jié)課的難點分散了，難度降低了，實踐證明這樣做可以收到較好的教學效果，便于同學理解和把握．［例6］將余弦曲線上每一點的橫坐標不變，縱坐標縮短到原來的倍，再將所得圖像向右平移個單位，所得函數圖像的一個解析式為___________________．解一：先把的圖像上全部的點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖像；再把的圖像上全部的點向右平移個單位，得到的圖像．所求的解析式為．解二：先把的圖像上的全部的點向右平移個單位，得到的圖像；再把的圖像上全部的點的縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到的圖像，因此所求的解析式為.［例7］把函數的圖像上的每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個單位，所得到的曲線的解析式為，求的一個解析式．分析：這個問題實際上是對的圖像實施逆向變換得到的圖像．解：先把曲線上全部的點向右平移個單位，得到曲線；再把曲線上全部的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）以，得到曲線．因此，所求解析式為．［例8］將正弦函數的圖像向左平移個單位，再將所得圖像上的點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，所得圖像的解析式為_______________________．解：先把的圖像向左平移個單位，得到的圖像，再把的圖像上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖像．因而所求的解析式為.［例9］為了由函數的圖像得到函數的圖像，只要將函數的圖像() （A）向左平移個單位 （B）向右平移個單位 （C）向左平移個單位 （D）向右平移個單位．解一：∵將的圖像向左平移個單位，得到的圖像；再將的圖像向左平移個單位，得到的圖像．于是，把的圖像向左平移個單位，就得到的圖像．故選（A）解二：令得令得點和點是函數的圖像上和函數的圖像上的對應點，平移方向從點點，所以向左平移個單位．［例10］說明函數的圖像經過怎樣的變換就得到函數的圖像．分析：由于由的圖像變換到函數的圖像有如下兩種方法．（1）把函數的圖像上全部的點向右平移個單位，再把所得各點橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），就得到函數的圖像．（2）把函數的圖像上全部的點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再把所得各點向右平移個單位，就得到函數的圖像．分別作以上兩種方法的逆向變換，就可以得到由函數的圖像變換成函數的圖像的方法．解：（1）把函數的圖像上全部的點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再把所得各點向左平移個單位，就得到的圖像．（2）把函數的圖像上全部的點向左平移個單位，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），就得到的圖像．評析：用作逆向變換的方法，可以得到由函數R的圖像及函數R的圖像變換到正弦曲線R