【名師一號】2020-2021學年北師大版高中數(shù)學必修2雙基限時練12

雙基限時練(十二)一、選擇題1．下列說法中錯誤的是()A．假如α⊥β，那么α內的全部直線都垂直βB．假如一條直線垂直于一個平面，那么此直線必垂直于這個平面內的全部直線C．假如一個平面通過另一個平面的垂線，那么兩個平面相互垂直D．假如α不垂直于β，那么α內肯定不存在垂直于β的直線解析依據兩平面垂直的性質定理，可知A不對，故選A.答案A2．若l，m，n是互不相同的空間直線，α，β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是()A．若α∥β，lα，nβ，則l∥nB．若α⊥β，lα，則l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，則l∥mD．若l⊥α，l∥β，則α⊥β解析由l⊥α，l∥β，知在β內肯定能找到一條直線l′使得l′∥l，又l⊥α，∴l(xiāng)′⊥α，故α⊥β，故D正確．答案D3.在空間四邊形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點，下列推斷正確的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析∵AB＝BC，E為AC的中點，∴AC⊥BE，同理AC⊥ED，又BE∩ED＝E，∴AC⊥面BED，又AC面ABC，∴面ABC⊥面BED.答案D4．在正三棱錐P－ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，有下列三個論斷：①面APC⊥面PBD；②AC∥面PDE；③AB⊥面PDC，其中正確論斷的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析①不正確，②③正確．答案C5．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B—PA—C的平面角是()A．90° B．60°C．45° D．30°解析∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC.∴∠BAC為二面角B—PA—C的平面角，又∠BAC＝90°，故答案為A.答案A6．在△ABC所在平面α外一點P滿足PA＝PB＝PC，則點P在α內的射影是△ABC的()A．垂心 B．內心C．外心 D．重心解析設O為點P在平面α內的射影，∴PO⊥AO，PO⊥OC，PO⊥OB.又PA＝PB＝PC，∴OB＝OC＝OA，∴O為△ABC的外心．答案C二、填空題7．如圖，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，則平面PBD與面PAC的關系是________．解析∵PA⊥面ABCD，BD面ABCD，∴BD⊥AP.又ABCD為正方形，∴BD⊥AC，又AC∩AP＝A，∴BD⊥面PAC，而BD面PBD，∴面PBD⊥面PAC.答案面PBD⊥面PAC8．設直線l和平面α，β且lα，lβ，給出下列三個論斷：①l⊥α；②α⊥β；③l∥β，從中任取兩個作為條件，其余一個作為結論，在構成的各命題中，寫出你認為正確的一個命題________．答案①③?②9．AB是圓O的直徑，C是圓上異于A，B的任意一點，PA垂直于圓O所在的平面，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中共有________個直角三角形．解析∵PA⊥面ABC，∴△PAB，△PAC均為直角三角形，又AB為直徑，∴AC⊥BC，∴△ABC為直角三角形，且BC⊥面PAC，∴△PBC為直角三角形．答案4三、解答題10．如圖四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E在棱PB上，求證：面AEC⊥面PBD.證明∵PD⊥面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥PD.又ABCD為正方形，∴AC⊥BD.又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD.又AC面AEC，∴面AEC⊥面PBD.11．如圖，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥DB，點F在DC上，求證：平面DBC⊥平面AEF.證明∵DA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴DA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.∵DA∩AB＝A，∴BC⊥平面DAB.∵AE平面DAB，∴BC⊥AE.又∵AE⊥DB，DB∩BC＝B，∴AE⊥平面DBC.又∵AE平面AEF，∴平面DBC⊥平面AEF.12．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1(1)求證：B1C∥面A1(2)求證：面A1BD⊥面ACC1A1證明(1)設AB1與A1B相交于點E，連接DE，則E為AB1的中點．在△AB1C中，D為AC的中點，E為AB1∴DE∥B1C又∵DE平面A1BD，B1C平面A1∴B1C∥面A1(2)在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中點，∴BD⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1又BD平面A1BD，∴面A1BD⊥面ACC1A1思維探究13．如圖所示，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.證明∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC且AB∩B