【優(yōu)化方案】2022高考總復(fù)習(xí)(人教A版)高中數(shù)學(xué)-選修4-1-第1講-相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

1第1講相像三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1．平行線的截割定理(1)平行線等分線段定理定理：假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰．(2)平行線分線段成比例定理定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．2．相像三角形的判定與性質(zhì)(1)判定定理內(nèi)容判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相像判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相像(2)性質(zhì)定理內(nèi)容性質(zhì)定理1相像三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線和角平分線以及它們周長的比都等于相像比性質(zhì)定理2相像三角形的面積比等于相像比的平方(3)推論：相像三角形外接圓的直徑比、周長比等于相像比，外接圓的面積比等于相像比的平方．3．直角三角形相像的判定定理與射影定理(1)直角三角形相像的判定定理定理內(nèi)容判定定理1假如兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相像判定定理2假如兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相像判定定理3假如一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相像(2)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__平行線分線段成比例定理______________如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E在CA上且AE＝2CE，AD，BE交于F，求eq\f(AF,FD)，eq\f(BF,FE).[解]取BE的中點(diǎn)G，連接DG，在△BCE中，D、G分別為BC、BE的中點(diǎn)，∴DG∥EC，且DG＝eq\f(1,2)EC.又∵AE＝2CE，DG∥EC，∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(EF,FG)＝eq\f(AE,DG)＝eq\f(AE,\f(1,2)EC)＝4，又BG＝GE，∴eq\f(BF,EF)＝eq\f(BG＋GF,EF)＝eq\f(GE＋GF,EF)＝eq\f(2GF＋EF,EF)＝2×eq\f(1,4)＋1＝eq\f(3,2).[規(guī)律方法]平行線截割定理的作用平行線截割定理一方面可以判定線段成比例；另一方面，當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí)，常用這個(gè)定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比．1.如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點(diǎn)，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE與梯形EFCD的面積比．解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝eq\f(1,2)(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位線，則梯形ABFE與梯形EFCD有相同的高，設(shè)為h，則S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝eq\f(1,2)(3＋4)h∶eq\f(1,2)(2＋3)h＝7∶5.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__相像三角形的判定與性質(zhì)______________如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，過點(diǎn)D作AC的平行線DE，交BA的延長線于點(diǎn)E.求證：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.[證明](1)∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC.∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.[規(guī)律方法](1)判定兩個(gè)三角形相像要留意結(jié)合圖形性質(zhì)機(jī)敏選擇判定定理，特殊要留意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．證明線段乘積相等的問題一般轉(zhuǎn)化為有關(guān)線段成比例問題．(2)相像三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；可間接證明線段相等．2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，E為AC的中點(diǎn)，ED、CB的延長線交于一點(diǎn)F.求證：FD2＝FB·FC.證明：∵E是Rt△ACD斜邊上的中點(diǎn)，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC)，∴FD2＝FB·FC.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__直角三角形射影定理__________________如圖所示，AD、BE是△ABC的兩條高，DF⊥AB，垂足為F，直線FD交BE于點(diǎn)G，交AC的延長線于點(diǎn)H，求證：DF2＝GF·HF.[證明]∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB，∴eq\f(HF,BF)＝eq\f(AF,GF)，∴AF·BF＝GF·HF.∵在Rt△ABD中，F(xiàn)D⊥AB，∴DF2＝AF·BF，∴DF2＝GF·HF.[規(guī)律方法](1)在使用直角三角形射影定理時(shí)，要留意將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相像三角形中的“比例式”．(2)證題時(shí)，要留意作垂線構(gòu)造直角三角形，這是解直角三角形時(shí)常用的方法．3．如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是∠ABC的角平分線，交AD于點(diǎn)F，求證：eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).證明：∵BE是∠ABC的角平分線，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(BD,AB)，①eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,BC).②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC).③由①③得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AB,BC)，④由②④得eq\f(DF,AF)＝eq\f(AE,EC).1．如圖，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，求BC的長．解：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB∥EM∥DC,AE＝ED))?E為AD的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．又EF∥BC?EF＝MC＝12cm，∴BC＝2MC＝24cm.2.(2021·湖南岳陽模擬)如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求證：AE·AB＝AF·AC.證明：∵AD⊥BC，∴△ADB為直角三角形．又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.3.(2021·廣東廣州模擬)如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP.證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴eq\f(AD,QC)＝2.∵eq\f(BP,PC)＝3，∴eq\f(BC,PC)＝4.又∵BC＝2DQ，∴eq\f(DQ,PC)＝2.在△ADQ和△QCP中，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)，且∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.4.如圖，在四邊形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，求S△CDE的值．解：∵EC∥AD，∴S△DCE∶S△ADE＝EC∶AD，∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE＝BC∶ED，又由于∠ECB＝∠DEC＝∠ADE，∠BEC＝∠EAD，∴△BEC∽△EAD，∴EC∶AD＝BC∶ED.∴S△DCE∶S△ADE＝S△BCE∶S△CDE，于是S△CDE＝eq\r(3).5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P為AD上一點(diǎn)，CF∥AB，BP的延長線交AC、CF于E、F兩點(diǎn)，求證：PB2＝PE·PF.證明：如圖，連接PC.易證PC＝PB，∠ABP＝∠ACP.∵CF∥AB，∴∠F＝∠ABP.從而∠F＝∠ACP.又∠EPC為△CPE與△FPC的公共角，從而△CPE∽△FPC，∴eq\f(CP,FP)＝eq\f(PE,PC).∴PC2＝PE·PF.又PC＝PB，∴PB2＝PE·PF.6．如圖所示，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，F(xiàn)為AB上任意一點(diǎn)，CF交AD于點(diǎn)E.求證：AE·BF＝2DE·AF.證明：取AC的中點(diǎn)M，連接DM交CF于點(diǎn)N.在△BCF中，D是BC的中點(diǎn)，DN∥BF，∴DN＝eq\f(1,2)BF.∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(DE,DN).又∵DN＝eq\f(1,2)BF，∴eq\f(AE,AF)＝eq\f(2DE,BF)，即AE·BF＝2DE·AF.)1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.試證明：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.證明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又AB·AC＝BC·AD，即AD3＝BC·CF·BE.2.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，DE＝eq\f(1,2)CD，BE與AD交于點(diǎn)F.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAF＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2.又DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.∴eq\f(S△DEF,S△CEB)＝(eq\f(DE,CE))2＝eq\f(1,9)，eq\f(S△DEF,S△ABF)＝(eq\f(DE,AB))2＝eq\f(1,4).∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四邊形ABCD＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.3．已知在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且AD＝AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的長．解：(1)證明：由于DE⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.又由于AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M.由于△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以eq\f(S△ABC,S△FCD)＝(eq\f(BC,CD))2＝4.又由于S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.由于S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，所以20＝eq\f(1,2)×10×AM，所以AM＝4.由于DE∥AM，所以eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).由于DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(5,2)，BM＝BD＋DM，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，所以eq\f(DE,4)＝eq\f(5,5＋\f(5,2))，解得DE＝eq\f(8,3).4．如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF∥AD，假設(shè)EF做上下平行移動(dòng)．(1)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，求證：3EF＝BC＋2AD；(2)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(2,3)，試推斷EF與BC，AD之間的關(guān)系，并說明理由；(3)請(qǐng)你探究一般結(jié)論，即若eq\f(AE,EB)＝eq\f(m,n)，那么你可以得到什么結(jié)論？解：過點(diǎn)A作AH∥CD分別交EF，BC于點(diǎn)G，H(圖略)．(1)證明：由于eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，又EG∥BH，所以eq\f(EG,BH)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，即3EG＝BH.又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，從而EF＝eq\f(1,3)(BC－HC)＋AD，所以