上海市金山區(qū)華東師大三附中2013-2014學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理科)試題

華東師大三附中2022學(xué)年其次學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（理科）試題時(shí)間：120分鐘滿分：150分一．填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分．1.=__________________.2.在的開放式中，設(shè)各項(xiàng)的系數(shù)和為a，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為b，則=．3.直線的參數(shù)方程是，則的方向向量可以是__.4.若圓錐的側(cè)面開放圖是半徑為2、圓心角為90的扇形，則這個(gè)圓錐的全面積是．5.從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，，大事A為“抽得紅桃K”，大事B為“抽得為黑桃”，則概率（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.6.在極坐標(biāo)系中，曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為____.7.給出下列四個(gè)命題：(1)若平面上有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則；(2)兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條平行直線；(3)兩條異面直線中的一條平行于平面，則另一條必定不平行于平面；(4)為異面直線，則過且與平行的平面有且僅有一個(gè)．其中正確命題的序號(hào)是_______________________8.已知平面α截一球O得圓M，圓M的半徑為r，圓M上兩點(diǎn)A、B間的弧長為，又球心O到平面α的距離為r，則A、B兩點(diǎn)間的球面距離為．9.邊長分別為、的矩形，按圖中所示虛線剪裁后，可將兩個(gè)小矩形拼接成一個(gè)正四棱錐的底面，其余恰好拼接成該正四棱錐的4個(gè)側(cè)面，則的取值范圍是．EFAG10.在銳角的二面角，EFAG，若與所成角為，則二面角為__________.11.已知隨機(jī)變量全部的取值為，對(duì)應(yīng)的概率依次為，若隨機(jī)變量的方差，則的值是．12.如圖，在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與極軸的夾角，若將的極坐標(biāo)方程寫成的形式，則.13.對(duì)于曲線所在平面上的定點(diǎn)，若存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的角，使得對(duì)于曲線上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)恒成立，則稱角為曲線相對(duì)于點(diǎn)的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”．曲線相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的“確界角”的大小是．14.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長為的正四周體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球表面永久不行能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是．二．選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，填上正確的答案，選對(duì)得5分，否則一律得零分.15.某校共有高一、高二、高三同學(xué)共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.為了解該校同學(xué)健康狀況，現(xiàn)接受分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有高一同學(xué)96人，則該樣本中的高三同學(xué)人數(shù)為（）A.84 B.78 C.81 D.9616.正四周體的表面積為，其中四個(gè)面的中心分別是、、、.設(shè)四周體的表面積為，則等于()A.B. C.D.17.甲乙兩人一起去游園，他們商定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行巡游，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最終一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是()A. B. C. D.18.設(shè)為空間中三條相互平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線.給出下列三個(gè)結(jié)論：①存在，使得是直角三角形；②存在，使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點(diǎn)，使得四周體為在一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩相互垂直的四周體.其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是 （）A．① B．①③ C．①② D．②③三．解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19．（本題滿分12分）在直三棱柱中，底面為直角三角形，，.已知Ｇ與Ｅ分別為和的中點(diǎn)，Ｄ與Ｆ分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若，求線段的長度的最小值.20．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．如圖過圓錐軸的截面為等腰直角三角形，為底面圓周上一點(diǎn)，已知，圓錐體積為，點(diǎn)Ｏ為底面圓的圓心．（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）設(shè)異面直線與所成角的大小為，求的值．21．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分．FEDBCAP如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，依次是的中點(diǎn)．FEDBCAP（1）求直線與平面所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；（2）求三棱錐的體積.22．（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知曲線上任意一點(diǎn)（其中）到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)的直線與曲線相交于A、B不同的兩點(diǎn)，求的值；（3）若曲線上不同的兩點(diǎn)、滿足，求的取值范圍．AA1B1BC1CAA1B1BC1CMNP如圖，點(diǎn)為斜三棱柱的側(cè)棱上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質(zhì)類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少．下面請(qǐng)觀看平面勾股定理的條件和結(jié)論特征，試著將勾股定理推廣到空間去．勾股定理的類比三角形ABC四周體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結(jié)論AB2+AC2=BC2？請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上完成上表中的類比結(jié)論，并給出證明．華東師大三附中2022學(xué)年其次學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（理科）試題答案一．1.2.13.或4.5.6.7.(2)(4)8.9.10.11.12.1314.二．15.B16.B17.D18.C三．19．.20．（1）（2）21．（1）解法一：分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，，∴，，，（2分）又∵平面，∴平面的法向量為，（4分）設(shè)直線與平面所成的角為，則，（6分）∴直線與平面所成的角為.（7分）解法二：∵平面，∴，又，∴平面，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則且FEDBCAPHG，是平行四邊形，F(xiàn)EDBCAPHG∴即為直線與平面所成的角.（3分）在中，，在中，，（6分）∴直線與平面所成的角為.（7分）（2）解法一：由（1）解法一的建系得，，，設(shè)平面的法向量為，點(diǎn)到平面的距離為，由，得且，取得，（9分）∴，（11分）又，∴，（13分）∴.（14分）解法二：易證即為三棱錐底面上的高，且，（11分）底面邊上的高等于，且，∴（13分）.（14分）解法三：依題意，平面，∴（11分）.（14分）22．（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到直線的距離，曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線∵∴∴曲線方程是（4分）（2）當(dāng)平行于軸時(shí)，其方程為，由解得、此時(shí)（6分）當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè)其斜率為，則由得設(shè)，則有，（8分）∴（10分）（3）設(shè)∴∵∴∵，化簡(jiǎn)得（12分）∴（14分）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∵∴當(dāng)?shù)娜≈捣秶牵?6分）23．（1）證：；（4分）（2）解：在斜三棱柱中，有其中為平面與平面所組成的二面角.（7分）上述的二面角為，在中，，由于，有.（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四周