【創(chuàng)新設計】2021年高考數(shù)學(四川專用-理)一輪復習考點突破：選修4-2-矩陣與變換

選修4－2矩陣與變換A[最新考綱]1．了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系．2．了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示．3．理解變換的復合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡潔性質(zhì)．4．理解逆矩陣的意義，會求出簡潔二階逆矩陣．5．理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.知識梳理1．矩陣的乘法規(guī)章(1)行矩陣[a11a12]與列矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(b11),\s\do15(b21))))的乘法規(guī)章：[a11a12]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(b11),\s\do15(b21))))＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二階矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a11),\s\do15(a21))\o(\s\up15(a12),\s\do15(a22))))與列向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x0),\s\do15(y0))))的乘法規(guī)章：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a11),\s\do15(a21))\o(\s\up15(a12),\s\do15(a22))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x0),\s\do15(y0))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a11×x0＋a12×y0),\s\do15(a21×x0＋a22×y0)))).設A是一個二階矩陣，α、β是平面上的任意兩個向量，λ、λ1、λ2是任意三個實數(shù)，則①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2A(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍舊是一個矩陣，其乘法法則如下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a11),\s\do15(a21))\o(\s\up15(a12),\s\do15(a22))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(b11),\s\do15(b21))\o(\s\up15(b12),\s\do15(b22))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a11×b11＋a12×b21),\s\do15(a21×b11＋a22×b21))\o(\s\up15(a11×b12＋a12×b22),\s\do15(a21×b12＋a22×b22))))性質(zhì)：①一般狀況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿足交換律；②矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩陣的乘法不滿足消去律．2．矩陣的逆矩陣(1)逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣A，B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣．若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣是唯一的，通常記A的逆矩陣為A－1，A－1＝B.(2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩陣為A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,ad－bc)\f(－b,ad－bc),\f(－c,ad－bc)\f(a,ad－bc))).(3)逆矩陣與二元一次方程組：假如關(guān)于變量x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝m，,cx＋dy＝n))的系數(shù)矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))可逆，那么該方程組有唯一解eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))－1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(m,n))，其中A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,ad－bc)\f(－b,ad－bc),\f(－c,ad－bc)\f(a,ad－bc))).3．二階矩陣的特征值和特征向量(1)特征值與特征向量的概念設A是一個二階矩陣，假如對于實數(shù)λ，存在一個非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ稱為A的一個特征值，而α稱為A的一個屬于特征值λ的一個特征向量．(2)特征多項式與特征方程設λ是二階矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))的一個特征值，它的一個特征向量為ξ＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，則Aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))滿足二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝λx，,cx＋dy＝λy，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－ax－by＝0,－cx＋λ－dy＝0))?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))(*)則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝0.記f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))為矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))的特征多項式；方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝0，即f(λ)＝0稱為矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))的特征方程．(3)特征值與特征向量的計算假如λ是二階矩陣A的特征值，則λ是特征方程f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一個根．解這個關(guān)于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，將λ＝λ1、λ2分別代入方程組(*)，分別求出它們的一個非零解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x1，,y＝y(tǒng)1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x2，,y＝y(tǒng)2，))記ξ1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y1))，ξ2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2,y2)).則Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))的特征值，ξ1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y1))，ξ2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2,y2))為矩陣A的分別屬于特征值λ1、λ2的一個特征向量．診斷自測1.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,7))＝________. 解析eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,7))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1×5＋0×7,0×5＋－1×7))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,－7)). 答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5,－7))2．若A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))，則AB＝________.解析AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00)). 答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00))3．設A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，則AB的逆矩陣為________．解析∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10))4．函數(shù)y＝x2在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,4)))變換作用下的結(jié)果為________．解析eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,\f(1,4)y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))?x＝x′，y＝4y′，代入y＝x2，得y′＝eq\f(1,4)x′2，即y＝eq\f(1,4)x2.答案y＝eq\f(1,4)x25．若A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(15,62))，則A的特征值為________．解析A的特征多項式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－5,－6λ－2))＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值為λ1＝7，λ2＝－4.答案7和－4考點一矩陣與變換【例1】(2022·蘇州市自主學習調(diào)查)已知a，b是實數(shù)，假如矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))所對應的變換將直線x－y＝1變換成x＋2y＝1，求a，b的值．解設點(x，y)是直線x－y＝1上任意一點，在矩陣M的作用下變成點(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x＋ay，,y′＝bx＋y.))由于點(x′，y′)，在直線x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＝1，,a＋2＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－\f(1,2).))規(guī)律方法理解變換的意義，把握矩陣的乘法運算法則是求解的關(guān)鍵，利用待定系數(shù)法，構(gòu)建方程是解決此類題的關(guān)鍵．【訓練1】已知變換S把平面上的點A(3,0)，B(2,1)分別變換為點A′(0,3)，B′(1，－1)，試求變換S對應的矩陣T.解設T＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ac,bd))，則T：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,0))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ac,bd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,3b))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1；))T：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ac,bd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a＋c,2b＋d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,d＝－3，))綜上可知T＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,1－3)).考點二二階逆矩陣與二元一次方程組【例2】已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－3,1－1))所對應的線性變換把點A(x，y)變成點A′(13,5)，試求M的逆矩陣及點A的坐標．解依題意得由M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－3,1－1))，得|M|＝1，故M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－13,－12)).從而由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－3,1－1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(13),\s\do15(5))))得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(－1),\s\do15(－1))\o(\s\up15(3),\s\do15(2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(13),\s\do15(5))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1×13＋3×5,－1×13＋2×5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－3))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3，))∴A(2，－3)為所求．規(guī)律方法求逆矩陣時，可用定義法解方程處理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩陣時要重視(AB)－1＝B－1A－1【訓練2】已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(1))\o(\s\up15(3),\s\do15(2))))， (1)求矩陣A的逆矩陣； (2)利用逆矩陣學問解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－1＝0，,x＋2y－3＝0.))解(1)法一設逆矩陣為A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))，則由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(1))\o(\s\up15(3),\s\do15(2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(0))\o(\s\up15(0),\s\do15(1))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋3c＝1，,2b＋3d＝0，,a＋2c＝0，,b＋2d＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3，,c＝－1，,d＝2，))A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(－1))\o(\s\up15(－3),\s\do15(2)))).法二由公式知若A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(1))\o(\s\up15(3),\s\do15(2))))，(2)已知方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－1＝0，,x＋2y－3＝0，))可轉(zhuǎn)化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，,x＋2y＝3，))即AX＝B，其中A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(1))\o(\s\up15(3),\s\do15(2))))，X＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x),\s\do15(y))))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(3))))，且由(1)，得A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(－1))\o(\s\up15(－3),\s\do15(2)))).因此，由AX＝B，同時左乘A－1，有A－1AX＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(－1))\o(\s\up15(－3),\s\do15(2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(3))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(－7),\s\do15(5)))).即原方程組的解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－7，,y＝5.))考點三求矩陣的特征值與特征向量【例3】已知a∈R，矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(a))\o(\s\up15(2),\s\do15(1))))對應的線性變換把點P(1,1)變成點P′(3,3)，求矩陣A的特征值以及每個特征值的一個特征向量．解由題意eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(a))\o(\s\up15(2),\s\do15(1))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(1))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(3),\s\do15(a＋1))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(3),\s\do15(3))))，得a＋1＝3，即a＝2，矩陣A的特征多項式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(λ－1),\s\do15(－2))\o(\s\up15(－2),\s\do15(λ－1))))＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f(λ)＝0，所以矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝3.①對于特征值λ1＝－1，解相應的線性方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,2x＋2y＝0))得一個非零解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))因此，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(－1))))是矩陣A的屬于特征值λ1＝－1的一個特征向量；②對于特征值λ2＝3，解相應的線性方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2y＝0，,－2x＋2y＝0))得一個非零解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))因此，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(1))))是矩陣A的屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．規(guī)律方法已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))，求特征值和特征向量，其步驟為：(1)令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(λ－a),\s\do15(－c))\o(\s\up15(－b),\s\do15(λ－d))))＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－ax－by＝0，,－cx＋λ－dy＝0；))(3)賦值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，寫出相應的向量．【訓練3】(2022·揚州質(zhì)檢)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(3),\s\do15(－1))\o(\s\up15(－1),\s\do15(3))))，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量．解由矩陣M的特征多項式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(λ－3),\s\do15(1))\o(\s\up15(1),\s\do15(λ－3))))＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即為矩陣M的特征值．設矩陣M的特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，當λ1＝2時，由Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,x－y＝0.))可令x＝1，得y＝1，∴α1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))是M的屬于λ1＝2的特征向量．當λ2＝4時，由Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x＋y＝0，))取x＝1，得y＝－1，∴α2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是M的屬于λ2＝4的特征向量．

用坐標轉(zhuǎn)移的思想求曲線在變換作用下的新方程【典例】二階矩陣M對應的變換T將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1，－1)與(0，－2)．(1)求矩陣M；(2)設直線l在變換T作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．[審題視點](1)變換前后的坐標均已知，因此可以設出矩陣，用待定系數(shù)法求解．(2)知道直線l在變換T作用下的直線m，求原直線，可用坐標轉(zhuǎn)移法．解(1)設M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,－1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,c－d＝－1，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝0，,－2c＋d＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝3，,d＝4，))所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34)).(2)由于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋2y,3x＋4y))且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，∴直線l的方程是x＋y＋2＝0.[反思感悟](1)本題考查了求變換矩陣和在變換矩陣作用下的曲線方程問題，題目難度屬中檔題．(2)本題突出體現(xiàn)了待定系數(shù)法的思想方法和坐標轉(zhuǎn)移的思想方法.(3)本題的易錯點是計算錯誤和第(2)問中坐標轉(zhuǎn)移的方向錯誤．【自主體驗】 (2022·南京金陵中學月考)求曲線2x2－2xy＋1＝0在矩陣MN 對應的變換作用下得到的曲線方程，其中M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(0))\o(\s\up15(0),\s\do15(2))))，N＝ eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(－1))\o(\s\up15(0),\s\do15(1)))).解MN＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(0))\o(\s\up15(0),\s\do15(2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(－1))\o(\s\up15(0),\s\do15(1))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(－2))\o(\s\up15(0),\s\do15(2)))).設P(x′，y′)是曲線2x2－2xy＋1＝0上任意一點，點P在矩陣MN對應的變換下變?yōu)辄cP′(x，y)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x),\s\do15(y))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(－2))\o(\s\up15(0),\s\do15(2))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x′),\s\do15(y′))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,－2x′＋2y′))，于是x′＝x，y′＝x＋eq\f(y,2)，代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.所以曲線2x2－2xy＋1＝0在MN對應的變換作用下得到的曲線方程為xy＝1.一、填空題1．已知變換T：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3x＋4y,5x＋6y))，則該變換矩陣為________．解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x＋4y，,y′＝5x＋6y，))可寫成eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(34,56))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(34,56))2．計算eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(37,58))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))等于________．解析eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(37,58))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3×2－7,5×2－8))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,2))3．矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(50,01))的逆矩陣為________．解析eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(50,01))＝5，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(50,01))的逆矩陣為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)0,01)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)0,01))4．若矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b13))把直線l：2x＋y－7＝0變換成另始終線l′：9x＋y－91＝0，則a＝________，b＝________.解析取l上兩點(0,7)和(3.5,0)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b13))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,7))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7a,91))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a,b13))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3.5,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10.5,3.5b)).由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在l′上，代入得a＝0，b答案0－15．矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6－3,6－3))的特征值為________．解析f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－63,－6λ＋3))＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.∴λ＝0或λ＝3.答案0或36．已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，則M(2α＋4β)＝________.解析2α＋4β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,4))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))，M(2α＋4β)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－26)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－26))7．曲線C1：x2＋2y2＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(0))\o(\s\up15(2),\s\do15(1))))的作用下變換為曲線C2，則C2的方程為________．解析設P(x，y)為曲線C2上任意一點，P′(x′，y′)為曲線x2＋2y2＝1上與P對應的點，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(0))\o(\s\up15(2),\s\do15(1))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x′),\s\do15(y′))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(x),\s\do15(y))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2y′，,y＝y(tǒng)′))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x－2y，,y′＝y(tǒng).))由于P′是曲線C1上的點，所以C2的方程為(x－2y)2＋y2＝1.答案(x－2y)2＋y2＝18．已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－43))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))，則滿足AX＝B的二階矩陣X為________．解析由題意，得A－1＝AX＝B，∴X＝A－1B＝.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－1,5－1))9．已知矩陣A將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個特征向量是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(1))))，則矩陣A為________．解析設A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(0))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(3))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3.))由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(a),\s\do15(c))\o(\s\up15(b),\s\do15(d))))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(1))))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(1),\s\do15(1))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(3),\s\do15(3))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,d＝0.))所以A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(3))\o(\s\up15(1),\s\do15(0)))).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(2),\s\do15(3))\o(\s\up15(1),\s\do15(0))))二、解答題10．(2022·江蘇卷)已知矩陣A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(－\f(1),\s\do15(4)),\f(1,2))\o(\s\up15(\f(3),\s\do15(4)),－\f(1,2))))，求矩陣A的特征值．解由于AA－1＝E，所以A＝(A－1)－1.由于A－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up15(－\f(1