中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題23 菱形的性質(zhì)與判定（解析版）

專題23菱形性質(zhì)與判定中考命題解讀中考命題解讀菱形是一種特殊的平行四邊形,也是中考的必考內(nèi)容.為考查同學(xué)們分析能力、想象能力、探究能力和創(chuàng)新能力,菱形開(kāi)放題便成了各地中考命題的熱點(diǎn)?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.掌握菱形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用菱形的性質(zhì)和判；2.會(huì)運(yùn)用菱形的知識(shí)解決有關(guān)菱形定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題問(wèn)題?？键c(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?？键c(diǎn)2：菱形的性質(zhì)（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。考點(diǎn)3：菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四條邊相等的四邊形是菱形?？键c(diǎn)4：菱形的面積S=ah=mn/2（菱形底邊長(zhǎng)為a，高為h，兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為m和n）母題精講母題精講【典例1】（2022?西寧）如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的邊長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的邊長(zhǎng)是5．【變式1-1】（2022?青海）如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），連接DE并延長(zhǎng)交射線AB于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△DCE≌△BCE；（2）求證：∠AFD＝∠EBC．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE（SAS）；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴DC∥AF，∴∠CDF＝∠AFD，∵△DCE≌△BCE，∴∠CDF＝∠EBC，∴∠AFD＝∠EBC．【變式1-2】（2020?桂林）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：連接BD，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝tan30°BE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×＝2．【典例2】（2022?張家界）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：△ODE≌△FCE；（2）試判斷四邊形ODFC的形狀，并寫出證明過(guò)程．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE，又∵CF∥BD∴∠ODE＝∠FCE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）解：四邊形ODFC為矩形，證明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE，又∵CE＝DE，∴四邊形ODFC為平行四邊形，又∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴四邊形ODFC為矩形．【變式2-1】（2022?遂寧）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：△AOE≌△DFE；（2）判定四邊形AODF的形狀并說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵DF∥AC，∴∠OAD＝∠ADF，∵∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE（ASA）．（2）解：四邊形AODF為矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF，∵DF∥AC，∴四邊形AODF為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°，∴平行四邊形AODF為矩形．【變式2-2】（2019?聊城）在菱形ABCD中，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)E，F(xiàn)是AP上的兩點(diǎn)，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求證：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【典例3】（2022?北京）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AE＝CF．（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求證：四邊形EBFD是菱形．【解答】證明：（1）在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四邊形EBFD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴DB⊥EF，∴平行四邊形EBFD是菱形．【變式3-1】（2019?蘭州）如圖，AC＝8，分別以A、C為圓心，以長(zhǎng)度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點(diǎn)B和D．依次連接A、B、C、D，連接BD交AC于點(diǎn)O．（1）判斷四邊形ABCD的形狀并說(shuō)明理由；（2）求BD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四邊形ABCD為菱形；（2）∵四邊形ABCD為菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB＝＝3，∴BD＝2OB＝6．【變式3-2】（2022?舟山）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．【解答】解：贊成小潔的說(shuō)法，補(bǔ)充條件：OA＝OC，證明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形．真題精選真題精選命題點(diǎn)1菱形的判定命題點(diǎn)1菱形的判定1．（2022?襄陽(yáng)）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D2．（2019?青海）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明：四邊形ADCF是菱形．【解答】證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE∵△ABC是直角三角形，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，BD＝CD在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，∴AF＝CD，且AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝CD，∴四邊形ADCF是菱形．命題點(diǎn)2菱形的性質(zhì)及其應(yīng)用命題點(diǎn)2菱形的性質(zhì)及其應(yīng)用3．（2022?蘭州）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，則OE＝（）A．4 B．2 C．2 D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E為AD的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故選：C4．（2022?河池）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，AC⊥BD，故A、B、D正確，無(wú)法得出AC＝BD，故選：C．5．（2022?自貢）如圖，菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A（﹣2，5），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵點(diǎn)A（﹣2，5），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，﹣5）．故選：B．6．（2022?樂(lè)山）已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別是8cm和6cm．則菱形的面積為cm2．【答案】24【解答】解：∵菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別是8cm和6cm，∴菱形的面積是＝24（cm2），故答案為：24．7．（2022?大連）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，AE＝AF．求證：CE＝CF．【解答】證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，，∴△ACE≌△ACF（SAS）∴CE＝CF．8．（2022?廣元）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．【解答】（1）證明：∵E為AB中點(diǎn)，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四邊形AE