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第第頁中考數學總復習《三角函數》專項檢測卷含答案學校:___________班級:___________姓名:___________考號:___________1.(2024·江蘇南京·一模)如圖所示是一種戶外景觀燈,它是由燈桿和燈管支架兩部分構成,現測得燈管支架與燈桿的夾角,同學們想知道燈管支架的長度,借助相關儀器進行測量后結果如下表:測量項目測量數據從D處測得燈桿頂部B處仰角α從E處測得燈桿支架C處仰角β兩次測量之間的水平距離燈桿的高度求燈管支架的長度.(參考數據:,,,)

2.(2024·江蘇南京·一模)如圖,要想使人安全地攀上斜靠在墻上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角一般要滿足.現有一架斜靠在墻上的梯子,為了能夠安全使用,該梯子前后移動的最大距離為.使用這架梯子最高可以攀上多高的墻?(參考數據:,,,,,

3.(2024·江蘇南京·一模)為測量某建筑物的高度,在坡腳A處測得頂端C的仰角為,沿著傾斜角為的斜坡前行到達D處,此時測得頂端C的仰角為,求建筑物的高度.(參考數據:

4.(2024·江蘇南京·一模)如圖,一架無人機沿水平直線飛行進行測繪工作.無人機懸停在P處,測得前方水平地面上大樹的頂端B的俯角為,同時還測得前方某建筑物的頂端D的俯角為.已知點A,B,C,D,P在同一平面內,大樹的高度為,建筑物的高度為,大樹與建筑物的距離為,求無人機在P處時離地面的高度(參考數據:,).5.(2023·江蘇南京·一模)利用無人機可以測量建筑物的高度.如圖,一架無人機在M處懸停,測得建筑物頂端A的仰角為,底端B的俯角為.然后,在同一平面內,該無人機以的速度沿著與水平線夾角為方向斜向上勻速飛行,飛行至N處懸停,測得頂端A的仰角為,求建筑物的高度.(參考數據:)

6.(2023·江蘇南京·一模)如圖,甲樓AB和乙樓高度相等,甲樓頂部有一豎直廣告牌.從乙樓頂部處測得的仰角為,從與點相距的處測得,的仰角分別為60°,.求廣告牌的高度.(參考數據:,,)7.(2022·江蘇南京·一模)如圖是一個亭子的側面示意圖,它是一個軸對稱圖形,對稱軸是亭子的高AB所在的直線.為了測量亭子的高度,在地面上C點測得亭子頂端A的仰角為35°,此時地面上C點、亭檐上E點、亭頂上A點三點恰好共線,繼續(xù)向亭子方向走8m到達點D時,又測得亭檐E點的仰角為60°,亭子的頂層橫梁EF=12m,EF∥CB,AB交EF于點G(點C,D,B在同一水平線上).求亭子的高AB(結果精確到0.1m).(參考數據:sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,≈1.7)8.(2022·江蘇南京·一模)圖①是一只消毒液噴霧瓶的實物圖,其示意圖如圖②,,,,.求點到的距離.(參考數據:,,,.)9.(2022·江蘇南京·一模)如圖,為了測量小河對岸大樹BC的高度,小明在點A處測得大樹頂端B的仰角為37°,再從點A出發(fā)沿傾斜角為30°的斜坡AF走4m到達斜坡上點D,在此處測得樹頂端B的仰角為26.7°.求大樹BC的高度(精確到0.1m).(參考數據:tan37°≈0.75,tan26.7°≈0.5,≈1.73.)10.(2022·江蘇南京·二模)如圖,山頂的正上方有一塔,為了測量塔的高度,在距山腳一定距離的處測得塔尖頂部的仰角,測得塔底部的仰角,然后沿方向前進到達處,此時測得塔尖仰角(,,三點在同一直線上),求塔的高度.(參考數據:,)11.(2022·江蘇南京·一模)圖①是2022年北京冬季奧運會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳臺的比賽場館,別名“雪飛天”.我們畫出一個與它類似的示意圖②,其中出發(fā)區(qū)EF、起跳區(qū)CD都與地面AB平行.助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80m.已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍,∠A=30°,M為CD延長線上一點,∠EDM=37°.求EF到AB的距離.(參考數據:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75.)12.(2022·江蘇南京·一模)如圖,AB是一條筆直的長為500m的滑雪坡道,某運動員從坡頂A滑出,沿直線滑向坡底B,她的滑行距離y(單位:m)與滑行時間x(單位:s)的部分對應值如下表.x01234…y04.51428.548…(1)用所學過的函數知識猜想y是x的什么函數,并求出y與x之間的函數表達式;(2)一架無人機在AB上空距水平地面292m的P處懸停,此時在A處測得無人機的仰角為53°.無人機和該運動員同時開始運動,無人機以6.3m/s的速度勻速水平飛行拍攝,離A處越來越遠.已知無人機(看成一個點)與AB(看成一條線段)所確定的平面始終垂直于地面,AB與地面MN的夾角為26°.求該運動員滑行多久時,她恰在無人機的正下方.(參考數據:tan53°≈,sin26≈0.44,cos26°≈0.90,tan26°≈0.49.)13.(2022·江蘇南京·一模)如圖,某漁輪在航行中遇險發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,測出該漁輪在海軍艦艇的北偏東45°、距離為海里的C處,并測得該漁輪正沿南偏東53°的方向行進.海軍艦艇立即沿北偏東67.4°的方向前去營救,與漁輪在B處相遇,求漁輪的航程BC和海軍艦艇的航程AB.(參考數據:sin53°=cos37°≈0.80,cos53°=sin37°≈0.60,tan67.4°≈2.4)14.(2022·江蘇南京·二模)如圖,寶塔底座BC的高度為m米,小明在D處測得底座最高點C的仰角為,沿著DB方向前進n米到達測量點E處,測得寶塔頂端A的仰角為,求寶塔AB的高度(用含,,m,n的式子表示).15.(2024·江蘇南京·二模)如圖,處的一艘貨輪位于處的一艘護衛(wèi)艦的北偏東方向,此時兩船之間的距離為26海里.兩船同時沿著正北方向航行,護衛(wèi)艦航行40海里到達處,此時貨輪到達處,測得貨輪位于護衛(wèi)艦的北偏東方向.求貨輪航行的路程.(參考數據:,,,,,)16.(2024·江蘇南京·二模)如圖,為了測量大樓AB的高度,小明在點測得大樓頂端的仰角為,從點沿傾斜角為的斜坡走到點,再水平向左走達到點,在此處測得大樓頂端的仰角為,同時測得大樓底端的俯角為,求大樓AB的高度.(參考數據:,.)17.(2022·江蘇南京·二模)如圖,一條寬為的河的兩岸,互相平行,河上有兩座垂直于河岸的橋,.測得公路的長為,公路,與河岸的夾角分別為,,公路,與河岸的夾角分別為,.(1)求兩座橋,之間的距離(精確到);(2)比較路徑①:和路徑②:的長短,則較短路徑為(填序號),兩路徑相差km(精確到).(參考數據:,,,.)18.(2023·江蘇南京·二模)學校無人機興趣小組進行測量活動.如圖,甲樓與乙樓之間的距離為72米.無人機升空后,在點處測得甲樓頂部與乙樓頂部的俯角分別為和,點距地面的高度為50米.無人機沿水平方向由點飛行40米到達點,測得點的俯角為(結果保留整數).點均在同一豎直平面內.求乙樓的高度.(參考數據:,,.)

19.(2023·江蘇南京·二模)規(guī)定:,.據此(1)判斷下列等式成立的是(填序號).;;.(2)利用上面的規(guī)定求;.20.(2023·江蘇南京·二模)如圖,避風港在島礁正東方向上.一艘漁船正以40海里/小時的速度向正東方向航行,在處測得島礁在北偏東方向上,繼續(xù)航行1.8小時后到達處時測得島礁在北偏東方向,避風港在北偏東方向上.求此時漁船離避風港的距離.(參考數據:,)

21.(2023·江蘇南京·二模)如圖,一艘潛艇在海面下沿水平方向保持同一深度航行,其潛望鏡的最高點距海面.潛艇水手在航程為(即)的兩個位置分別透過潛望鏡觀測正前方岸上凸起的崖壁,測量到入射光線的,與海面的夾角分別是,折射光線,與海面的夾角分別是.求崖壁到海面的距離.(說明:圖中點,,,,在同一平面內,參考數據:,,.)

22.(2022·江蘇南京·二模)如圖①,某兒童醫(yī)院門診大廳收費處正上方的“蜘蛛俠”雕塑有效緩解了就醫(yī)小朋友的緊張情緒.為了測量圖②中“蜘蛛俠”BE的長度,小莉在地面上F處測得B處、E處的仰角分別為37°、56.31°.已知,F到收費處OA的水平距離FC約為16m,且F與BE確定的平面與地面垂直.求“蜘蛛俠”BE的長度.(參考數據:,,,)參考答案1.【分析】本題考查的知識點是解直角三角形的應用,解題的關鍵是熟練的掌握解直角三角形的相關知識;作,垂足為,延長,作,垂足為,設,利用解三角形可得:,,再利用列方程求解.【詳解】解:作,垂足為,延長,作,垂足為.

∵,∴.設,則在中,,.在中,,由題意得,∵,∴,在中,,,解得;答:燈管支架的長度是.2.使用這架梯子最高可以攀上高約為的墻【分析】本題考查了解直角三角形的應用.根據題意可得:,,設,然后分別在和中,利用銳角三角函數的定義求出和的長,從而列出關于的方程,進行計算可求出的長,最后在中,利用銳角三角函數的定義求出的長,即可解答.【詳解】解:由題意得:,,設米,在中,,,在中,,,,,解得:,,在中,,使用這架梯子最高可以攀上高約為的墻.3.建筑物的高度約為【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,坡度坡角問題,根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.過點作,垂足為,延長交于點,根據題意可得:,然后在中,利用銳角三角函數的定義求出和的長,再設,則,最后分別在和中,利用銳角三角函數的定義求出和的長,從而列出關于的方程,進行計算即可解答.【詳解】解:過點作,垂足為,延長交于點,

由題意得:,在中,,,,,設,,在中,,,在中,,,,,解得:,,∴建筑物的高度約為.4.無人機在處時離地面的高度【分析】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,過點作,過點作,過點作,得,,,,設,則,,利用銳角三角函數的定義表示出,的長,最后列出關于x的方程進行計算,即可解答.【詳解】解:過點作,過點作,過點作,則四邊形,四邊形均為矩形,∴,,,,由題意可知,,,設,則,,在中,,在中,,則,解得:,即:無人機在處時離地面的高度.5.【分析】過點N作,垂足為C,過點M作,垂足為D,過點N作,垂足為E,可得四邊形是矩形,利用銳角三角函數依次解、、、,即可求出建筑物的高度.【詳解】解:如圖,過點N作,垂足為C,過點M作,垂足為D,過點N作,垂足為E,可知,可得四邊形是矩形,從而,.

在中,,,∵,,∴,.設,則,在中,,∵,∴.在中,,∵,∴.又∵,∴,∴.∴.在中,,,∴,∴.∵,∴.∴建筑物的高是.【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用,解題的關鍵是通過添加輔助線構造直角三角形.6.廣告牌的高度約為米【分析】依題意,,設,在,中分別表示出,則,進而在中,,建立方程,解方程即可求解.【詳解】解:依題意,,設,在中,,在中,,∵,∴,∴,在中,,∵,即,解得:,答:廣告牌的高度約為米.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵.7.亭子的高AB約為【分析】根據題意得到AG⊥EF,在Rt△AGE中,EG=EF,∠AEG=∠ACB=35°,根據三角函數的定義求出AG,再過E作EH⊥CB于H,設EH=x,在Rt△EDH中,由三角函數的定義得到DH=,在Rt△ECH中,由三角函數的定義得到CH=,由CH﹣DH=CD=8,可求得x,即可求得AB.【詳解】∵房屋的側面示意圖,它是一個軸對稱圖形,對稱軸是房屋的高AB所在的直線,EF∥BC,∴AG⊥EF,,∠AEG=∠ACB=35°,在Rt△AGE中,∠AGE=90°,∠AEG=35°,∵tan∠AEG=tan35°=,EG=6,∴AG≈6×0.7=4.2(m),過E作EH⊥CB于H,則可得四邊形BGEH是矩形,∴BG=EH.設EH=BG=x,在Rt△EDH中,∠EHD=90°,∠EDH=60°,∵tan∠EDH=,∴DH=,在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=35°,∵tan∠ECH=,∴CH=,∵CH﹣DH=CD=8m,∴﹣=8,解得:x≈9.52,∴AB=AG+BG=13.72≈13.7(m),答:亭子的高AB約為13.7m.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,軸對稱圖形,解題的關鍵是借助仰角關系構造直角三角形,并結合圖形利用三角函數解直角三角形.8.點A到CD的距離越為6.002cm【分析】如圖所示,過點A作AE⊥CD于E,過點B作BF⊥AE于F,過點C作CG⊥BF于G,則四邊形CEFG是矩形,然后求出∠BAE的度數,從而求出∠CBG的度數,最后解直角三角形即可【詳解】解:如圖所示,過點A作AE⊥CD于E,過點B作BF⊥AE于F,過點C作CG⊥BF于G,則四邊形CEFG是矩形,∴EF=CG,∠AFB=∠BGC=∠AEC=90°,∵∠ABC=85°,∠BCD=120°,∴∠BAE=360°-∠ABC-∠BCD-∠AEC=65°,∴∠ABF=90°-∠BAF=25°,∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=60°,在Rt△ABF中,,在Rt△BCG中,,∴,∴,∴點A到CD的距離越為6.002cm.【點睛】本題主要考查了解直角三角形,矩形的性質與判定,四邊形內角和定理,直角三角形兩銳角互余,點到直線的距離等等,正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.9.11.2m【分析】過點D分別作DG⊥AC,DH⊥BC,垂足分別為G,H.根據三角函數求出DG=AD·sin30°=2.AG=AD·cos30°=2.在Rt△ABC中,利用銳角正切三角函數求出BC=tan37°·AC.,然后列方程BC-2=tan26.7°(AC+2).代入數據計算即可.【詳解】解:如圖,過點D分別作DG⊥AC,DH⊥BC,垂足分別為G,H.∴∠DGC=∠DHC=∠HCG=90°,∴四邊形DGCH為矩形,∴DG=CH,DH=CG,在Rt△ADG中,∠DAG=30°,AD=4m,∵sin30°=,cos30°=,

∴DG=AD·sin30°=2.AG=AD·cos30°=2.在Rt△ABC中,∵tan37°=,∴BC=tan37°·AC.在Rt△BDH中,∵tan26.7°=,∴∴BC-2=tan26.7°(AC+2).∴tan37°·AC-2=tan26.7°(AC+2).即0.75AC-2≈0.5(AC+2).∴AC=4+8.∴BC=0.75×(4+8)=3+6≈11.2m.答:大樹BC的高度為11.2m.【點睛】本題考查解直角三角形,矩形判定與性質,熟練掌握銳角三角函數定義,以及矩形的判定方法與性質是解題關鍵.10.塔的高度為【分析】延長交于點,則,在和中,根據銳角三角函數的概念,得到,,借助構造方程關系式,求出,在中,根據銳角三角函數的概念,得出的長,然后依據,算出塔高的長進而得解.【詳解】如圖,延長交于點,則.在中,,∵,∴.在中,,∵,∴.∵,,,∴.∴.∴.在中,,∵,∴.∴.∴塔的高度為.【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用和仰角的概念,熟練掌握銳角三角函數和仰角的概念是解本題的關鍵.11.EF到AB的距離為45米【分析】過點C作,交AB于點G,設AC的長度為x米,則DE的長度為(80-x)米,根據直角三角形的性質得,根據三角函數得,根據EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍得,解得,即AC=10,則,即可得.【詳解】解:如圖所示,過點C作,交AB于點G,設AC的長度為x米,則DE的長度為(80-x)米,由題意得,,,則,x=30,∴AC=30,∴,∴EF到AB的距離為:(米).【點睛】本題考查了三角函數,直角三角形的性質,解題的關鍵是理解題意,掌握三角函數和直角三角形的性質.12.(1)函數的解析式為y=2.5x2+2x;(2)該運動員滑行6s時,她恰在無人機的正下方.【分析】(1)觀察表格中的數據,y應該是x的二次函數,利用待定系數法求解即可;(2)作出如圖的輔助線,設運動員滑行了ts,恰好在無人機的正下方,則AC=2.5t2+2t,利用三角函數分別用t表示出PE、AE的長,在Rt△APE中,利用正切函數列出方程,解方程即可求解.【詳解】(1)解:觀察表格中的數據,y應該是x的二次函數,且經過原點(0,0),設此函數的解析式為,把(1,4.5),(2,14),代入得,解得,∴函數的解析式為y=2.5x2+2x,當x=3時,y=2.5x2+2x=28.5,當x=4時,y=2.5x2+2x=48,∴函數的解析式y(tǒng)=2.5x2+2x符合題意;(2)解:設運動員滑行了ts,恰好在無人機的正下方,此時運動員滑行了(2.5t2+2t)m,無人機飛行了6.3tm到達點P1,過點P1作P1D⊥MN交AB于點C,此時運動員滑行到達點C,BC=AB-AC=500-(2.5t2+2t),過點A作AF⊥MN于點F,過點A作AG⊥P1D于點G,過點P作PE⊥AG于點E,∴四邊形AFDG和四邊形PEGP1都是矩形,∵AB=500,∠ABF=26°,∴AF=GD=AB?sin26°220(m),∠GAC=∠ABF=26°,∵無人機在AB上空距地面292m的P處懸停,∴PE=P1G=292-AF=72(m),∴AG=AC?cos26°2.25t2+1.8t,∴AE=AG-EG=2.25t2+1.8t-6.3t=2.25t2-4.5t,在Rt△APE中,∵tan53°=,∴3×72=4(2.25t2-4.5t),整理得:t2-2t-24=0,解得:t1=6,t2=-4(舍去),∴該運動員滑行6s時,她恰在無人機的正下方.【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式,解直角三角形的應用,正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.13.BC=10海里,AB=26海里;【分析】設BC=x海里,解Rt△ADC,Rt△COB求得邊AE和BE的表達式,根據∠ABE的正切值列方程求得x,最后由勾股定理求得AB的長;【詳解】解:分別過A、B、C延長方向線,交點如圖所示設BC=x海里,Rt△ADC中,AC=海里,∠DAC=45°,則CD=AD=16海里,Rt△COB中,∠OCB=53°,則,OC=xcos53°,OB=xsin53°,Rt△AEB中,∠ABE=∠DAB=67.4°,AE=AF+EF=DC+OB=16+xsin53°(海里),BE=AD-OC=16-xcos53°(海里),∴16+xsin53°=(16-xcos53°)tan67.4°,16+0.8x=(16-0.6x)×2.4,解得:x=10,∴AE=16+8=24海里,BE=16-6=10海里,AB==26海里,∴BC=10海里,AB=26海里;【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用,勾股定理,方位角的概念,掌握三角函數的定義是是解題關鍵.14.【分析】設,在中,根據直角三角形正切值即可,同理在中即可求解.【詳解】解:設,在中,,,,,,解得,,在中,,,,,.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,解題的關鍵是熟練掌握直角三角形的銳角三角函數求解.15.貨輪航行的路程為23.5海里【分析】本題考查了解直角三角形的應用方向角問題,根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.過點作,垂足為,過點作,交的延長線于點,根據題意可得:,,然后在中,利用銳角三角函數的定義求出和的長,從而求出的長,再在中,利用銳角三角函數的定義求出的長,最后利用線段的和差關系進行計算即可解答.【詳解】解:過點作,垂足為,過點作,交的延長線于點,由題意得:,,在中,海里,,(海里),(海里),海里,在中,,(海里),海里,(海里),貨輪航行的路程約為23.5海里.16.大樓AB的高度為.【分析】本題考查了解直角三角形的應用;延長DE交AB于點,過點作,垂足為.設為.解,,進而根據,建立方程,解方程,即可求解.【詳解】解:延長DE交AB于點,過點作,垂足為.設為.在中,,.在中,.

.在中,,.在中,.

,即.

,解得x=2.

答:大樓AB的高度為.17.(1)兩座橋,之間的距離約為(2)①,0.5【分析】(1)過點A作,垂足為G,在中,利用銳角三角函數的定義求出,的長,再在中,利用銳角三角函數的定義求出的長,進行計算可求出的長,即可解答;(2)過點B作,垂足為Q,根據題意得:,根據三角形的外角可得,從而可得,然后在中,利用銳角三角函數的定義求出的長,從而在中,利用銳角三角函數的定義求出的長,然后再在中,利用勾股定理求出的長,最后分別計算出路徑①和路徑②的長,即可解答.【詳解】(1)解:過點A作,垂足為G,在中,,,∴,,在中,,∴,∴,∴兩座橋,之間的距離約為;(2)解:過點B作,垂足為Q,由題意得:,∵是的一個外角,∴,∴,∴,在中,,∴,∴,在中,,∴路徑①的長,路徑②的長,,∴較短路徑為:①,兩路徑相差,故答案為:①,0.5.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.18.29米【分析】延長,分別交所在直線于點.過點作,垂足為點,設為米,在中,,由可得,在中,,由可得,由可求出的值,最后根據矩形的性質和解直角三角形即可得到答案.【詳解】解:延長,分別交所在直線于點.過點作,垂足為點,設為米,

在中,,∵,∴,在中,,∵,∴,∵,∴,解得,∴,∵四邊形是矩形,∴,∴,在中,,∵,∴,∵四邊形MHDF是矩形,∴,∴.答:乙樓的高度為29米.【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—俯角仰角問題,掌握俯角仰角的概念,熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵.19.(1);(2);.【分析】()根據

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