四川省部分學校2024-2025學年高二上學期12月期末考試數學試題 含解析

高二數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第二冊第八章，選擇性必修第一冊第一章至第三章第一節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線與直線平行，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】兩直線平行，的系數的比值相等，且與的系數的比值與常數項的比值不相等，由此能求出.【詳解】根據直線與直線平行，則，故.故選：A2.已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成空間另一個基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間基底、空間向量共面等知識確定正確答案.【詳解】對于A，根據題意，故A錯誤.對于B，設，則不存在，故B正確.對于C，，故C錯誤；對于D，由，則，所以，所以，故D錯誤；故選：B.3.已知，是兩個互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據空間線面位置關系有關判定、性質定理，可得正確結論.【詳解】因為，，所以.又，，所以，，，平行或異面.故選：A4.直線與圓交于A，B兩點，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用垂徑定理，將弦長問題轉化為在弦心距與半徑，半弦長構成的直角三角形中求解即可．【詳解】圓M的半徑，圓心，則圓心M到直線l的距離，故．故選：D．5.如圖，二面角的大小為，點A，B分別在半平面，內，于點C，于點D．若，，．則（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】解法一：作輔助線構造三角形，根據余弦定理以及勾股定理可求得結果；解法二：根據向量的線性運算以及數量積的運算可求得結果.【詳解】解法一：作于點C，且，連接，，，；解法二：由，，得，，．因為，所以，則，解得，．故選：C.6.如圖，正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內切球、內棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長為1，體積為，則該正二十面體的內切球的半徑為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得正二十面體體積等于以球心為頂點的二十個正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內切求半徑，再由棱錐的體積公式計算即可；【詳解】由題意正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體，其外接球、內切球、內棱切球都存在，并且三球球心重合，所以正二十面體體積等于以球心為頂點的二十個正三棱錐的體積，正三棱錐的高即為正二十面體內切求半徑，設為所以，解得，故選：C.7.已知A，B分別為橢圓的左、右頂點，D為C的上頂點，O為坐標原點，E為C上一點，且位于第二象限，直線AE，BE分別與y軸交于點H，G．若D為線段OH的中點，G為線段OD的中點．則點E到x軸的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先過點E作軸，垂足為F，利用線段比例關系，列式求解.【詳解】過點E作軸，垂足為F．由題意可得，，所以，，兩式相乘可得所以，則．故選：D8.如圖，正方形的棱長為4，G，E分別是，的中點，是四邊形內一動點，，若直線與平面沒有公共點，則線段的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建系，設，通過平面EFG，得到，再結合距離公式及二次函數求最值即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．設平面EFG的法向量為，則，即令，可得．設，則．因為直線AP與平面EFG沒有公共點，所以平面EFG，則，所以，即．，當時，AP取得最小值，最小值．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間內三點，，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據點，，，得到，，，再逐項判斷.【詳解】因為空間內三點，，，所以，，，則，，，A正確．因為，所以，B正確．，C錯誤．的面積為，D正確．故選：ABD.10.已知正四面體的棱長為6，下列結論正確的是（）A.該正四面體的高為B.該正四面體的高為C.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為D.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據頂點在底面的射影為底面三角形的重心計算出正四面體的高；通過余弦定理計算出，結合的關系即可求解出兩條高夾角的余弦值.【詳解】取中點，連接，過作垂直于交于點M，過作垂直于交于點N，如圖所示，由正四面體的結構特點可知，為正四面體的高，記，因為在底面的射影為的重心，所以，所以，故A正確，B錯誤；因為，，所以，因為，所以，又因為的夾角為，且，所以，所以夾角的余弦值為，故C錯誤，D正確；故選：AD.11.笛卡爾葉形線是一個代數曲線，首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經過點，點在C上，則下列結論正確的是（）A.直線與C有3個公共點 B.若點P在第二象限，則C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，聯(lián)立方程求解的個數即可判斷，對于B，由．結合可判斷，對于C，通過點在第一、第二、第四象限逐個判斷即可，對于D，結合C中得到的，再結合基本不等式得到求解即可.【詳解】因為葉形線經過點，所以．聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個公共點，A錯誤．．因為點P在第二象限，所以，，所以，B正確．若點P在第四象限，則，可推出．因為，所以．當點P在第二、四象限時，，所以．當點P是原點或在第一象限時，易得，所以，C正確．由，可得，解得，所以，D正確．故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.與圓，都相切的直線有______條．【答案】3【解析】【分析】根據兩圓心距離與兩個圓的半徑和差關系判斷兩圓位置關系，即可判斷公切線條數.【詳解】圓的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，因為，所以圓與圓外切，與圓，都相切的直線有3條．故答案為：313.已知地球運行的軌道是橢圓，且太陽在這個橢圓的一個焦點上，若地球到太陽的最大和最小距離分別為，，則這個橢圓的離心率為______．【答案】0.02##【解析】【分析】根據橢圓的性質求橢圓參數，應用離心率公式求離心率.【詳解】設該橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，由題意，得，，解得，，所以這個橢圓的離心率．故答案為：0.0214.在正六棱柱中，，M，N分別為，的中點，平面CMN與直線交于點G，則______；點A到平面CMN的距離為______．【答案】①.4②.【解析】【分析】連接AD，BF，設其交點為O．以O為坐標原點，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．求得平面CMN的一個法向量為，設，則由求得a，再利用空間兩點間的距離和點到平面的距離公式求解.【詳解】解：連接AD，BF，設其交點為O．由正六棱柱的性質知，，且，取的中點P，連接OP，則平面ABCDEF．以O為坐標原點，OB，OD，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．因為，M，N分別為，的中點，所以，，，，則，，．設平面CMN的一個法向量為，則令，則．設，則．由，解得，又，所以．點A到平面CMN的距離．故答案為：4，四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點，，點C在x軸上，且是直角三角形，．（1）求點C的坐標；（2）求的面積；（3）求斜邊上中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）10（3）．【解析】【分析】（1）設出C點坐標，利用垂直，轉化為斜率之積為即可求出的值；（2）求出兩直角邊長，代入三角形面積公式即可；（3）寫出AC中點E的坐標，利用直線的點斜式方程即可求出斜邊中線所在直線方程．【小問1詳解】設．因為，所以，顯然，則．因為，，所以，解得，則．【小問2詳解】，，的面積為．【小問3詳解】記AC的中點為E，則．直線BE的斜率為，直線BE的方程為，即，所以斜邊上的中線所在直線的方程為．16.已知直線l：恒過點C，且以C為圓心的圓與直線相切．（1）求點C的坐標；（2）求圓C的標準方程；（3）設過點的直線與圓C交于A，B兩點，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由直線的點斜式方程求定點；（2）根據圓心到直線的距離等于半徑，求圓的方程；（3）根據圓的弦長公式求解.【小問1詳解】直線l：，即，所以直線l恒過點．【小問2詳解】圓C的圓心為．圓C的半徑，所以圓C的標準方程為．【小問3詳解】由于點D在圓內部，所以當直線AB與直線CD垂直時，取最小值．．，，即的最小值為.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點，，且該四棱錐的體積為.（1）求AE的長度；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據錐體體積求得，建立空間直角坐標系，設，利用及向量垂直的坐標運算求得，利用直角三角形性質即可求解；（2）求出兩個平面的法向量，利用向量法求解二面角平面角的余弦值，然后利用同角三角函數關系求解正弦值.【小問1詳解】設，則，該四棱錐的體積為，解得，即，．以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，設，則，．若，則，解得，即E為PC的中點．連接AC，在中，；【小問2詳解】由（1）得，，．設平面ABE的法向量為，則即取，得．設平面PBE的法向量為，則即取，得．設二面角的大小為，則，所以，所以二面角正弦值為．18.已知，分別為橢圓的上、下焦點，是橢圓的一個頂點，是橢圓C上的動點，，，三點不共線，當的面積最大時，其為等邊三角形．（1）求橢圓的標準方程；（2）若為的中點，為坐標原點，直線交直線于點，過點作交直線于點，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過點與的左頂點或右頂點重合時，的面積最大，即可求解；（2）設直線的方程為，延長交于，延長交于．通過向量數量積說明，，再通過，，及，即可求證；【小問1詳解】因為是橢圓C的一個頂點，所以．當點與的左頂點或右頂點重合時，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因為，所以，．故橢圓C的標準方程為．【小問2詳解】證明：設直線的方程為，，．由得，，，所以，，即點，所以直線方程為．令，得．又，所以直線的方程為．令，得．延長交于，延長交于．由，得，則．同理由，得，則．因為，，顯然，所以．19.空間直角坐標系中，任意直線l由直線上一點及直線的一個方向向量唯一確定，其標準式方程可表示為．若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程可表示為，整理成一般式方程為．特殊地，平面xOy的一般式方程為，其法向量為．若兩個平面相交，則交線的一般式方程可以表示為（1）若集合，記集合M中所有點構成的幾何體為S，求S的體積；（2）已知點，直線．若平面，，求的一般式方程；（3）已知三棱柱的頂點，平面ABC的方程為，直線的方程為，平面的方程為．求直線與直線BC所成角的余弦值．【答案】（1）20（2）（3）．【解析】【分析】（1）由條件知，S是一個長為2，寬為5，高為2的長方體，根據體積公式求解.（2）求出平面的法向量，根據新定義即可求解平面的點法式方程.（3）先求出，再結合已