湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

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D.【答案】D【解析】【分析】求出基本事件的總數(shù)和隨機事件“”中含有的基本事件的個數(shù)，利用對立事件的概率公式可求“”的概率.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，共有種基本事件，設(shè)為拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點數(shù)分別為，，則“”，則中共有基本事件3種：，，所以，故“”的概率為.故選：D.5.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為的右支上一點，為的中點，為線段上一點，若（為坐標(biāo)原點），則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，連接，由題意可知，因為為坐標(biāo)原點，為的中點，所以，，則.故選：C6.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，，為邊上一點，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，可求，可求的面積.【詳解】因為在中，，又為邊上一點，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選：D.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可判斷的大小，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可判斷的大小，進而可得結(jié)論.【詳解】令，求導(dǎo)得，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，即，令，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：B.8.已知是遞減的整數(shù)數(shù)列，若，且，則的最小值為（）A.54 B.55 C.63 D.64【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列為遞減的整數(shù)數(shù)列，考慮所給條件，利用等差數(shù)列的求和公式及通項公式分析即可得解.【詳解】因為是遞減的整數(shù)數(shù)列，所以要使最小，應(yīng)使遞減的幅度盡可能小,考慮公差為的等差數(shù)列,設(shè),由,得.記的前項和為，則,當(dāng)時,，不滿足題意；當(dāng)時，，因為,只需去掉這一項即可，即滿足題意的數(shù)列為，即的最小值為64.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：由數(shù)列最后一項為，為了首項最小，可考慮遞減幅度最小，公差為的數(shù)列探索求解即可.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知事件、發(fā)生的概率分別為，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.一定有 D.若，則與相互獨立【答案】ABD【解析】【分析】由對立事件的概率公式可判斷A選項；由可判斷B選項；根據(jù)事件的包含關(guān)系可判斷C選項；根據(jù)獨立事件的定義和性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由對立事件的概率公式可得，A對；對于B選項，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又因為，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，綜上所述，，B對；對于C選項，因為，，無法確定、的包含關(guān)系，C錯；對于D選項，因為，所以，，則、獨立，進而可知，與相互獨立，D對故選：ABD.10.已知函數(shù)則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.僅有個極大值點C.無最大值，有最小值D.當(dāng)時，關(guān)于的方程共有個實根【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項；利用函數(shù)的極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷C選項；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，A錯；對于B選項，由A選項知，函數(shù)在上有一個極大值點，當(dāng)時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)有極小值點，無極大值點，綜上所述，函數(shù)僅有個極大值點，B對；對于C選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無最大值，C對；對于D選項，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，關(guān)于的方程共有個實根，D錯.故選：BC.11.已知正方體的棱長為，、、分別為棱、、上的動點，是空間中任意一點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.用一個平面截該正方體，所得截面面積的最大值為C.若，則的最大值為D.若，則三棱錐的體積最大時，其外接球的體積為【答案】ACD【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項；計算出截面的面積，可判斷B選項；利用空間向量法結(jié)合基本不等式可判斷C選項；確定點的位置，利用補形法求出三棱錐外接球的半徑長，結(jié)合球體體積公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為平面，平面，則，因為四邊形為正方形，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，A對；對于B選項，取截面，因為平面，平面，則，易得，，且四邊形為矩形，則，所以，用一個平面截該正方體，所得截面面積的最大值不是，B錯；對于C選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點、，，，因為，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)時，則的最大值為，C對；對于D選項，設(shè)點，則，，因為，則，可得，所以，的最大值為，此時，，即當(dāng)點的坐標(biāo)為，點到平面的距離達到最大值，因為為定值，此時，三棱錐的體積取最大值，且，由于平面，將三棱錐補成長方體，如下圖所示：則三棱錐的外接球直徑為，可得，所以，其外接球的體積為，D對.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟饶Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)代其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則______________.【答案】16【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】因為，所以，，故答案為：1613.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則______________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域確定對稱軸得出，再由軸對稱的關(guān)系式化簡確定得解.【詳解】由知，即，所以函數(shù)的定義域為由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，且恒成立，即，所以，整理得，所以，故故答案為：314.已知定點和，當(dāng)點在橢圓上運動時，的面積的最小值為2，最大值為18，則______________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程，點的坐標(biāo)，求出點到直線的距離，分析出最大值與最小值，利用比例得出，即可由面積公式求.【詳解】由題知直線不與橢圓相交，可設(shè)直線的方程為，點，則點到直線的距離為，由題可知為定值，則當(dāng)變化時，的最大值與最小值的比值為，因為的值不為0，所以其值恒為正或恒為負.由輔助角公式可知的最大值為，為正，所以的最小值也為正，所以，解得，所以，因為的面積的最小值為2，所以，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用不為零，得出恒正或恒負，由的最大值為正，據(jù)此得出最小值的符號也為正，因此可利用最大值與最小值的比值求.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上存在最小值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的最值、最小正周期、取最大值時的值確定解析式的從而得的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的最值與正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)列不等式求解實數(shù)的取值范圍即可.【小問1詳解】由圖可得，由，則最小正周期，即，又當(dāng)時，取到最大值，則，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】當(dāng)時，，若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.16.如圖，在幾何體中，平面，，且，四邊形為菱形，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直，再證明線面垂直即可得線線垂直;（2）利用空間向量法來求二面角夾角余弦值即可.【小問1詳解】由平面，平面，得：，再由四邊形為菱形，得：，因為，所以平面，且，所以平面，又因為平面，所以；【小問2詳解】以菱形中心為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，，可知，再由，可知，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，即，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為.17.在直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上兩動點，滿足.（1）證明：直線過定點；（2）設(shè)直線過定點，以為直徑作圓，過點且斜率為的直線與交于，兩點，將圓沿軸折起，使平面平面，求折起后的長度的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為：，且，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線得交點坐標(biāo)關(guān)系，利用得，進行坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)換即可得的值，從而證得結(jié)論；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與圓的方程,可得，結(jié)合折疊后的線段關(guān)系可得，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，從而可得折起后的長度的取值范圍.【小問1詳解】由題可設(shè)直線的方程為：，且，設(shè)，則，，所以，因為，所以，解得（舍）或，則直線的方程為：，故直線過定點；【小問2詳解】由（1）得，以為直徑作圓，則圓心，半徑，則圓的方程為，設(shè)直線，聯(lián)立直線與圓的方程,可得，所以，作軸于軸于，連接，因為平面平面，交線為軸，，平面，所以平面，則，故折起后，又，所以，即折起后的長度的取值范圍為.18.（1）證明：，其中，，且.（2）證明：若服從二項分布，則.（3）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲贏的概率為，乙贏的概率為.雙方約定比滿局，贏的局數(shù)多的人獲勝.設(shè)甲獲勝的概率為，證明是遞增數(shù)列，并說明該結(jié)論的實際含義.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析，結(jié)論見解析.【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)的階乘公式計算推理得證.（2）利用二項分布的概率公式及期望的定義列式，結(jié)合（1）的結(jié)論及二項式定理推理得證.（3）利用全概率公式，結(jié)合條件概率求出與的關(guān)系即可得證，進而寫出實際含義.【詳解】（1）.（2）令，由服從二項分布，得，因此，令，所以（3）設(shè)事件“比滿局甲獲勝”，“第局甲勝”，“第局甲勝”，因此，而，則，所以是遞增數(shù)列，該結(jié)論實際含義是：比賽局數(shù)越多，對實力較強者（如甲）越有利.19.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（1）求，的值.（2）若正項數(shù)列的前項和為，且，，證明：（ⅰ）；（ⅱ）.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求，，結(jié)合切線方程可得，的值；（2）（i）結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，要證轉(zhuǎn)換為，設(shè)，不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定單調(diào)性與最值即可得結(jié)論；（ii）先證明，即證，構(gòu)造函數(shù)即可得證，從而可得，結(jié)合等比數(shù)列的前項和即可證得結(jié)論.【小問1詳解】，由題意可得，則，又，切點在切線上，所以，則，所以，解得；【小問2詳解】（?。┮驗?，所以要證，即證又，所以即證，因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以可設(shè)，不等式化