【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪專項強化訓練(一)導數(shù)的綜合應用-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。專項強化訓練(一)導數(shù)的綜合應用1.(2021·濰坊模擬)5A級景區(qū)沂山為提高經濟效益,現(xiàn)對某一景點進行改造升級,提高旅游增加值,經過市場調查,旅游增加值y萬元與投入x(x≥10)萬元之間滿足:y=f(x)=ax2+10150x-blnx10,a,b為常數(shù),當x=10萬元時,y=19.2萬元;當x=50萬元時,y=74.4萬元.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5(1)求f(x)的解析式.(2)求該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值.(利潤=旅游增加值-投入)【解題提示】(1)由條件:“當x=10萬元時,y=19.2萬元;當x=50萬元時,y=74.4萬元”列出關于a,b的方程組,解得a,b的值即得f(x)的解析式.(2)先寫出函數(shù)T(x)的解析式,再利用導數(shù)爭辯其單調性,進而得出其最大值,從而解決問題.【解析】(1)由條件可得a解得a=-1100,b≈1.則f(x)=-x2100+10150x-ln(2)由T(x)=f(x)-x=-x2100+5150x-lnx則T′(x)=-x50+5150-1x令T′(x)=0,則x=1(舍)或x=50,當x∈(10,50)時,T′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù);當x>50時,T′(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是減函數(shù),故x=50為T(x)的極大值點,也是最大值點,且最大值為24.4萬元.即該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值為T(50)≈24.4萬元.【加固訓練】(2021·湖南四校聯(lián)考)張林在李明的農場四周建了一個小型工廠,由于工廠生產須占用農場的部分資源,因此李明每年向張林索賠以彌補經濟損失并獲得確定凈收入.工廠在不賠付農場的狀況下,工廠的年利潤x(元)與年產量t(噸)滿足函數(shù)關系x=2000.若工廠每生產一噸產品必需賠付農場s元(以下稱s為賠付價格).(1)將工廠的年利潤w(元)表示為年產量t(噸)的函數(shù),并求出工廠獲得最大利潤的年產量.(2)若農場每年受工廠生產影響的經濟損失金額y=0.002t2(元),在工廠依據(jù)獲得最大利潤的產量進行生產的前提下,農場要在索賠中獲得最大凈收入,應向張林的工廠要求賠付價格s是多少?【解析】(1)工廠的實際年利潤為:w=2000-st(t≥0).w=2000-st=當t=時,w取得最大值.所以工廠取得最大年利潤的年產量t=(噸).(2)設農場凈收入為v元,則v=st-0.002t2.將t=代入上式,得:v=又v′=令v′=0,得s=20.當s<20時,v′>0;當s>20時,v′<0,所以s=20時,v取得最大值.因此李明向張林要求賠付價格s=20(元)時,獲最大凈收入.2.已知函數(shù)f(x)=1-,g(x)=x-lnx.(1)證明:g(x)≥1.(2)證明:(x-lnx)f(x)>1-.【證明】(1)g′(x)=,當0<x<1時,g′(x)<0,當x>1時,g′(x)>0,即g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+∞)上為增函數(shù).所以g(x)≥g(1)=1,得證.(2)f(x)=1-,f′(x)=,所以0<x<2時,f′(x)<0,x>2時,f′(x)>0,即f(x)在(0,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù),所以f(x)≥f(2)=1-,又由(1)x-lnx≥1,所以(x-lnx)f(x)>1-.3.已知函數(shù)f(x)=(x2+2x-2)·ex,x∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的極值.(2)若方程f(x)=m有兩個不同的實數(shù)根,試求實數(shù)m的取值范圍.【解題提示】(1)依據(jù)求極值的方法求極值.(2)畫出圖象,依據(jù)圖象分析求解.【解析】(1)f′(x)=(2x+2)·ex+(x2+2x-2)·ex=(x2+4x)·ex,令f′(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下:x(-∞,-4)-4(-4,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)單調遞增極大值單調遞減微小值單調遞增由表可得當x=-4時,函數(shù)f(x)有極大值f(-4)=6e-4;當x=0時,函數(shù)f(x)有微小值f(0)=-2.(2)由(1)及當x→-∞,f(x)→0;x→+∞,f(x)→+∞大致圖象為如圖,“方程f(x)=m有兩個不同的實數(shù)根”轉化為函數(shù)f(x)的圖象與y=m的圖象有兩個不同的交點,故實數(shù)m的取值范圍為(-2,0]∪{6e-4}.4.(2021·日照模擬)已知函數(shù)f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1處取得極值c+2,a,b,c為常數(shù).(1)試確定a,b的值.(2)爭辯函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.(3)若對任意x>0,不等式f(x)≤c2恒成立,求c的取值范圍.【解析】(1)由于f(x)=ax3lnx+bx3+c,所以f′(x)=3ax2lnx+ax2+3bx2,由于函數(shù)f(x)=ax3lnx+bx3+c在x=1處取得極值c+2,所以f'(1)=a+3b=0,(2)由(1)得f′(x)=-18x2lnx,x>0,由f′(x)>0,得0<x<1,所以增區(qū)間為(0,1).由f′(x)<0,得x>1,所以減區(qū)間為(1,+∞).(3)當x>0時,f(x)≤c2恒成立的充要條件是f(x)最大值≤c2,由(2)知f(x)最大值=f(1)≤c2,即c2≥2+c,解得c≤-1或c≥2.所以c的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞).5.(2022·四川高考)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.(2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點,求a的取值范圍.【解題提示】本題主要考查導數(shù)的運算、導數(shù)在爭辯函數(shù)中的應用,函數(shù)的零點等基礎學問,考查推理論證力氣、運算求解力氣、創(chuàng)新意識,考查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想,并考查思維的嚴謹性.【解析】(1)由于f(x)=ex-ax2-bx-1,所以g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,又g′(x)=ex-2a,由于x∈[0,1],1≤ex≤e,所以:①若a≤,則2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增,g(x)min=g(0)=1-b.②若<a<,則1<2a<e,于是當0≤x≤ln(2a)時,g′(x)=ex-2a≤0,當ln(2a)<x≤1時,g′(x)=ex-2a>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單調遞減,在區(qū)間(ln(2a),1]上單調遞增,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b.③若a≥,則2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減,g(x)min=g(1)=e-2a-b.綜上所述,當a≤時,g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=g(0)=1-b;當<a<時,g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;當a≥時,g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為g(x)min=g(1)=e-2a-b.(2)由f(1)=0?e-a-b-1=0?b=e-a-1,又f(0)=0,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內不行能單調遞增,也不行能單調遞減,由(1)知當a≤或a≥時,函數(shù)g(x)即f′(x)在區(qū)間[0,1]上單調,不行能滿足上述要求.故只有<a<,此時g(x)min=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1,令h(x)=x-xlnx-e+1(1<x<e),則h′(x)=-lnx.由h′(