《高考導航》2022屆新課標數(shù)學(理)一輪復習講義-第九章-第2講-排列與組合

第2講排列與組合1．排列與排列數(shù)公式(1)排列與排列數(shù)eq\x(\a\al(從n個不同元,素中取出,m（m≤n）個元素))eq\o(→,\s\up7(依據(jù)確定的挨次),\s\do5(排成一列))eq\x(\a\al(排,列))eq\o(→,\s\up7(全部不同),\s\do5(排列的個數(shù)))eq\x(排列數(shù))(2)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)．(3)排列數(shù)的性質(zhì)①Aeq\o\al(n,n)＝n?。虎??。?．2．組合與組合數(shù)公式(1)組合與組合數(shù)eq\x(\a\al(從n個不同元,素中取出,m（m≤n）個元素))eq\o(→,\s\up7(合成一組))eq\x(\a\al(組,合))eq\o(→,\s\up7(全部不同),\s\do5(組合的個數(shù)))eq\x(組合數(shù))(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！).(3)組合數(shù)的性質(zhì)①Ceq\o\al(0,n)＝1；②Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(Ceq\o\al(n－m,n))；③Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)．[做一做]1．某校一班級有5個班，二班級有7個班，三班級有4個班，分班級進行班與班之間的籃球單循環(huán)賽，共需進行競賽的場數(shù)是()A．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(2,4)C．Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,7)＋Aeq\o\al(2,4) D．Ceq\o\al(2,16)答案：A2．用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()A．8 B．24C．48 D．120答案：C1．辨明兩個易誤點(1)易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關鍵是看選出的元素是否與挨次有關，排列問題與挨次有關，組合問題與挨次無關．(2)計算Aeq\o\al(m,n)時易錯算為n(n－1)(n－2)…(n－m)．2．排列與組合問題的識別方法識別方法排列若交換某兩個元素的位置對結果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素挨次有關組合若交換某兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素挨次無關[做一做]3．(2022·高考大綱全國卷)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種 B．70種C．75種 D．150種解析：選C.由題意知，選2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生的方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,5)＝75(種)．4．在一展覽會上，要展出5件藝術作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標志性建筑設計1件，在展臺上將這5件作品排成一排，要求2件書法作品必需相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該次展出這5件作品不同的擺放方案共有________種．(用數(shù)字作答)解析：將2件必需相鄰的書法作品看作一個整體，同1件建筑設計展品全排列，再將2件不能相鄰的繪畫作品插空，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(種)不同的展出方案．答案：24eq\a\vs4\al(考點一)__排列應用題__________________________3名男生，4名女生，依據(jù)不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體站成一排，男、女各站在一起；(4)全體站成一排，男生不能站在一起；(5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾．[解](1)問題即為從7個元素中選出5個全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520(種)排法．(2)前排3人，后排4人，相當于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040(種)排法．(3)相鄰問題(捆綁法)：男生必需站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法；女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；全體男生、女生各視為一個元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)．(4)不相鄰問題(插空法)：先支配女生共有Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個女生隔成的五個空中支配共有Aeq\o\al(3,5)種排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．(5)先支配甲，從除去排頭和排尾的5個位中支配甲，有Aeq\o\al(1,5)＝5(種)排法；再支配其他人，有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)排法．所以共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝3600(種)排法．在本例條件下，求不同的排隊方案的方法種數(shù)：(1)甲不在中間也不在兩端；(2)甲、乙兩人必需排在兩端．解：(1)先排甲有4種，其余有Aeq\o\al(6,6)種，故共有4·Aeq\o\al(6,6)＝2880(種)排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)排法．[規(guī)律方法]求解排列應用題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先支配特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時留意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮挨次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法eq\a\vs4\al(考點二)__組合應用題__________________________要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；(3)男生甲、女生乙至少有一個人入選．[解](1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分類加法計數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771(種)．法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”可用間接法求解．從12名人中任選5人有Ceq\o\al(5,12)種選法，其中全是男代表的選法有Ceq\o\al(5,7)種．所以“至少有1名女生入選”的選法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771(種)．(2)男生甲和女生乙入選，即只要再從除男生甲和女生乙外的10人中任選3名即可，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,10)＝120(種)選法．(3)間接法：“男生甲、女生乙至少有一個人入選”的反面是“兩人都不入選”，即從其余10人中任選5人有Ceq\o\al(5,10)種選法，所以“男生甲、女生乙至少有一個人入選”的選法數(shù)為Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,10)＝540(種)．在本例條件下，求至多有2名女生入選的選法種數(shù)．解：至多有2名女生入選包括以下幾種狀況：0女5男，1女4男，2女3男，由分類加法計數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＝546(種)．[規(guī)律方法]解決組合類問題的方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必需格外重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解．通常用直接法分類簡潔時，考慮逆向思維，用間接法處理．eq\a\vs4\al(考點三)__排列、組合的綜合應用(高頻考點)______排列與組合是高考命題的一個熱點，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為簡潔題或中檔題．高考對排列與組合綜合應用題的考查主要有以下四個命題角度：(1)支配問題；(2)排列問題；(3)定位問題；(4)選派問題．(1)(2022·高考四川卷)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種 B．216種C．240種 D．288種(2)(2021·蘭州市、張掖市聯(lián)合診斷)某校從8名老師中選派4名老師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有()A．150種 B．300種C．600種 D．900種(3)(2022·高考北京卷)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．[解析](1)第一類：甲在最左端，有Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120(種)方法；其次類：乙在最左端，有4Aeq\o\al(4,4)＝4×4×3×2×1＝96(種)方法．所以共有120＋96＝216(種)方法．(2)若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的5名老師中選2名，有Ceq\o\al(2,5)×Aeq\o\al(4,4)＝240種方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從6名老師中選4名，共有Ceq\o\al(4,6)×Aeq\o\al(4,4)＝360種方法．因此共有600種不同的選派方案．(3)將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進行全排列，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法．于是符合題意的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．[答案](1)B(2)C(3)36[規(guī)律方法]解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(1)(2022·高考遼寧卷)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24(2)(2021·東北三校聯(lián)合模擬)一個五位自然數(shù)a1a2a3a4a5，ai∈{0，1，2，3，4，5}，i＝1，2，3，4，5，當且僅當a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5時稱為“凹數(shù)”(如32014，53134等)，則滿足條件的五位自然數(shù)中“凹數(shù)”的個數(shù)為()A．110 B．137C．145 D．146(3)將6名老師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．(4)(2021·保定市調(diào)研考試)已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A、B、C為M的非空子集，若?x∈A、y∈B、z∈C，x＜y＜z恒成立，則稱“A—B—C”為集合M的一個“子集串”，則集合M的“子集串”共有________個．解析：(1)插空法．在已排好的三把椅子產(chǎn)生的4個空檔中選出3個插入3人即可．故排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24.故選D.(2)分四種狀況進行爭辯：①a3是0，a1和a2有Ceq\o\al(2,5)種排法，a4和a5有Ceq\o\al(2,5)種排法，則五位自然數(shù)中“凹數(shù)”有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＝100個；②a3是1，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36個；③a3是2，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＝9個；④a3是3，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,2)＝1個．由分類加法計數(shù)原理知五位自然數(shù)中“凹數(shù)”共有100＋36＋9＋1＝146個．(3)將6名老師分組，分三步完成：第一步，在6名老師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種取法；其次步，在余下的5名老師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種取法；第三步，余下的3名老師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種取法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種取法．再將這3組老師支配到3所中學，有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法．故共有60×6＝360種不同的分法．(4)由題意可先分類，再分步：第一類，將6個元素全部取出來，可分兩步進行：第一步，取出元素，有Ceq\o\al(6,6)種取法，其次步，分成三組，共Ceq\o\al(2,5)種分法，所以共有Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)個子集串；其次類，從6個元素中取出5個元素，共Ceq\o\al(5,6)種取法，然后將這5個元素分成三組共Ceq\o\al(2,4)種分法，所以共有Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)個子集串；同理含4個元素的子集串數(shù)為Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)；含3個元素的子集串數(shù)為Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2).集合M的子集串共Ceq\o\al(6,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,2)＝111個．答案：(1)D(2)D(3)360(4)111

方法思想——分類爭辯思想求解排列、組合問題(2022·高考重慶卷)某次聯(lián)歡會要支配3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出挨次，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72 B．120C．144 D．168[解析]解決該問題分為兩類：第一類分兩步，先排歌舞類Aeq\o\al(3,3)，然后利用插空法將剩余3個節(jié)目排入左邊或右邊3個空，故不同排法有Aeq\o\al(3,3)·2Aeq\o\al(3,3)＝72.其次類也分兩步，先排歌舞類Aeq\o\al(3,3)，然后將剩余3個節(jié)目放入中間兩空排法有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)，故不同的排法有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝48，故共有120種不同排法，故選B.[答案]B[名師點評]對于有附加條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按大事發(fā)生的過程分類．本題在排歌舞類節(jié)目后再進行分類，把剩余3個節(jié)目插入兩個空還是三個空．1.航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架殲－15飛機預備著艦．假如甲、乙兩機必需相鄰著艦，而甲、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．16種C．24種 D．36種解析：選D.當甲排在邊上時，有2Aeq\o\al(3,3)＝12種方法；當甲不排在邊上時，有12Aeq\o\al(2,2)＝24種方法，這樣一共有12＋24＝36種不同的著艦方法．2．(2022·高考浙江卷)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎．將這8張獎券支配給4個人，每人2張，不同的獲獎狀況有________種(用數(shù)字作答)．解析：把8張獎券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎，無獎)、(二等獎，無獎)、(三等獎，無獎)、(無獎，無獎)四組，分給4人有Aeq\o\al(4,4)種分法；另一種是一組兩個獎，一組只有一個獎，另兩組無獎，共有Ceq\o\al(2,3)種分法，再分給4人有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種分法，所以不同獲獎狀況種數(shù)為Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝24＋36＝60.答案：601．數(shù)列{an}共有六項，其中四項為1，其余兩項各不相同，則滿足上述條件的數(shù)列{an}共有()A．30個 B．31個C．60個 D．61個解析：選A.在數(shù)列的六項中，只要考慮兩個非1的項的位置，即得不同數(shù)列，共有Aeq\o\al(2,6)＝30個不同的數(shù)列．2．(2021·昆明市第一次摸底)從4部甲型和5部乙型手機中任意取出3部，其中至少要有甲型與乙型手機各1部，則不同取法共有()A．35種 B．70種C．84種 D．140種解析：選B.由題知不同取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＝70種．3．(2021·陜西西安檢測)某市擬從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度要啟動的項目，則重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法的種數(shù)是()A．15 B．45C．60 D．75解析：選C.從4個重點項目和6個一般項目中各選2個項目作為本年度啟動的項目，全部的選法種數(shù)是Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(2,6)＝90.重點項目A和一般項目B都沒有被選中的選法種數(shù)是Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(2,5)＝30，故重點項目A和一般項目B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是90－30＝60.4．(2021·福建三明調(diào)研)將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中挨次為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有()A．12種 B．20種C．40種 D．60種解析：選C.(排序確定用除法)五個元素沒有限制全排列數(shù)為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序確定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(3,3))×2＝40.5．身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A．24 B．28C．36 D．48解析：選D.穿紅色衣服的人相鄰的排法有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48種，同理穿黃色衣服的人相鄰的排法也有48種．而紅色、黃色同時相鄰的有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝24種．故穿相同顏色衣服的不相鄰的排法有Aeq\o\al(5,5)－2×48＋24＝48種．6．Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝________．解析：由組合數(shù)的定義得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n,0≤9－n≤n＋1))，解之得4≤n≤5，∵n∈N*，∴n＝4或n＝5.當n＝4時，原式＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5，當n＝5時，原式＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.答案：5或167．(2021·濰坊檢測)張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園，為平安起見，首尾確定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩確定要排在一起，則這6人的入園挨次排法種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)解析：第一步：將兩位爸爸排在兩端有2種排法；其次步：將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上有Aeq\o\al(3,3)種排法；第三步：將兩個小孩排序有2種排法．故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24(種)．答案：248．(2021·江蘇揚州中學檢測)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如：“102”“546”為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1，2，3，4，5這五個數(shù)字構成的無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為________．解析：三位“駝峰數(shù)”中1在十位的有Aeq\o\al(2,4)個，2在十位的有Aeq\o\al(2,3)個，3在十位上的有Aeq\o\al(2,2)個，所以全部三位“駝峰數(shù)”的十位上的數(shù)字之和為12×1＋6×2＋2×3＝30.答案：309．男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員．解：(1)任選3名男運動員，方法數(shù)為Ceq\o\al(3,6)，再選2名女運動員，方法數(shù)為Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(種)方法．(2)法一：至少1名女運動員包括以下幾種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．法二：“至少有1名女運動員”的反面是“全是男運動員”，因此用間接法求解，不同選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．10．從1到9的9個數(shù)字中取3個偶數(shù)4個奇數(shù)，試問：(1)能組成多少個沒有重復數(shù)字的七位數(shù)？(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有幾個？(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在4個偶數(shù)中取3個，有Ceq\o\al(3,4)種狀況；其次步，在5個奇數(shù)中取4個，有Ceq\o\al(4,5)種狀況；第三步，3個偶數(shù)，4個奇數(shù)進行排列，有Aeq\o\al(7,7)種狀況．所以符合題意的七位數(shù)有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(7,7)＝100800(個)．(2)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝14400(個)．(3)上述七位數(shù)中，3個偶數(shù)排在一起，4個奇數(shù)也排在一起的有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝5760(個)．1．5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有()A．150種 B．180種C．200種 D．280種解析：選A.依題意5個人支配到3個學校且每校至少去一個人，因此可將5人按人數(shù)分成1，2，2與1，1，3兩種，當人數(shù)是1，2，2時，有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝90(種)．當人數(shù)是1，1，3時，則有eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，因此共有90＋60＝150(種)．2．(2021·浙江溫州十校聯(lián)考)任取三個互不相等的正整數(shù)，其和小于100，則由這三個數(shù)構成的不同的等差數(shù)列共有()A．528個 B．1056個C．1584個 D．4851個解析：選B.先確定等差數(shù)列的中間項，再確定第一、三項．設這三個成等差數(shù)列的數(shù)分別為a，b，c.由題意得a＋b＋c≤100，即3b≤100，得b可以取2，3，…，33，共32個數(shù)．第一類，b＝2時，a，c的取值共有2個(a＝1，c＝3和a＝3，c＝1，對應的是兩個數(shù)列)；其次類，b＝3時，a，c的取值共有4個；…第三十二類，b＝33時，a，c的取值共有64個．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得滿足題意的數(shù)