【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(文科)-北師大版-課時作業(yè)-第八章-立體幾何-1-

第1講簡潔幾何體的三視圖、直觀圖、表面積與體積基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2022·貴陽適應(yīng)性監(jiān)測)一個簡潔幾何體的主視圖、左視圖分別為如圖所示的矩形、正方形，則其俯視圖不行能為 ()A．矩形 B．直角三角形C．橢圓 D．等腰三角形解析依題意，題中的幾何體的俯視圖的長為3、寬為2，因此結(jié)合題中選項(xiàng)知，其俯視圖不行能是等腰三角形，故選D.答案D2．(2021·合肥質(zhì)量檢測)某簡潔幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 ()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)解析由三視圖可得該幾何體是平放的直三棱柱，該直三棱柱的底面是腰長為2的等腰直角三角形、側(cè)棱長為4，所以表面積為eq\f(1,2)×2×2×2＋4×2×2＋4×2eq\r(2)＝20＋8eq\r(2)，故選D.答案D3.(2022·西安模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 ()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案A4．(2022·四川卷)某三棱錐的左視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．3 B．2 C.eq\r(3) D．1解析由俯視圖可知，三棱錐底面是邊長為2的等邊三角形．由左視圖可知，三棱錐的高為eq\r(3).故該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.答案D5．(2022·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27) B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27) D.eq\f(1,3)解析該零件是兩個圓柱體構(gòu)成的組合體，其體積為π×22×4＋π×32×2＝34π(cm3)，圓柱體毛坯的體積為π×32×6＝54π(cm3)，所以切削掉部分的體積為54π－34π＝20π(cm3)，所以切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為eq\f(20π,54π)＝eq\f(10,27)，故選C.答案C二、填空題6.如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是________(填序號)．解析由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④錯誤．答案②③7．(2022·山東卷)一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為________．解析設(shè)六棱錐的高為h，斜高為h0.由于該六棱錐的底面是邊長為2的正六邊形，所以底面面積為eq\f(1,2)×2×2×sin60°×6＝6eq\r(3)，則eq\f(1,3)×6eq\r(3)h＝2eq\r(3)，得h＝1，所以h0＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，所以該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×2×2×6＝12.答案128．(2022·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________．解析由三視圖可知該幾何體的直觀圖如圖所示，并由三視圖的外形特征及數(shù)據(jù)，可推知PA⊥面ABC，△ABC為等腰直角三角形，且PA＝2，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，則AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝eq\r(2).所以最長的棱為PC，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)三、解答題9．如圖是一個幾何體的主視圖和俯視圖．(1)試推斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其左視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．解(1)正六棱錐．(2)其左視圖如圖：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1,2)eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.10．如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積．解(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)cm，A1D1＝AD＝2cm，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．(2021·成都診斷)如圖是一個封閉幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．7πcm2 B．8πcm2C．9πcm2 D．11πcm2解析依題意，題中的幾何體是從一個圓柱中挖去一個半球后所剩余的部分，其中該圓柱的底面半徑是1cm、高是3cm，該球的半徑是1cm，因此該幾何體表面積等于eq\f(1,2)×(4π×12)＋π×12＋2π×1×3＝9π(cm2)，故選C.答案C12．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為 ()A．3eq\r(3) B．2eq\r(3) C.eq\r(3) D．1解析由題意知，如圖所示，在棱錐S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一個角為30°的直角三角形，其中AB＝eq\r(3)，SC＝4，所以SA＝SB＝2eq\r(3)，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D點(diǎn)，連接AD，易證SC⊥平面ABD，因此V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×4＝eq\r(3).答案C13．(2022·江西統(tǒng)一檢測)已知球O的體積等于eq\f(125π,6)，假如長方體的八個頂點(diǎn)都在球O的球面上，那么這個長方體的表面積的最大值等于________．解析由球O的體積為eq\f(125π,6)＝eq\f(4,3)πR3，得球O的半徑R＝eq\f(5,2).設(shè)長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則x2＋y2＋z2＝(2R)2＝25，所以該長方體的表面積2xy＋2xz＋2yz≤2(x2＋y2＋z2)＝50，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時取等號，所以表面積的最大值為50.答案5014．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D－ABC的體積．(1)證明在題圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，