【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)選修2-1課時作業(yè)：3.2.2

3.2.2平面的法向量與平面的向量表示課時目標(biāo)1.理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式.2.把握線面垂直的判定定理以及三垂線定理和三垂線定理的逆定理，會證明兩平面的平行和垂直．1．已知平面α，假如向量n的基線與平面α________，則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α________.2.設(shè)A是空間任一點，n為空間任一非零向量，則適合條件eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0的點M構(gòu)成的圖形是過空間一點并且與一個向量垂直的________，____________稱作一個平面的向量表示式．3．設(shè)n1、n2分別是平面α、β的法向量，α∥β或α與β重合?n1______n2.α⊥β?__________?____________.4．假如在________內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的________垂直，則它也和這條________垂直；反之，假如平面內(nèi)的一條直線和這個平面的一條________垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的________垂直．5．假如一條直線和平面內(nèi)的________________垂直，那么這條直線__________這個平面．一、選擇題1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量能作為平面α的一個法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)2．若直線l的方向向量為a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．l與α斜交3．平面α的一個法向量為(1,2,0)，平面β的一個法向量為(2，－1,0)，則平面α與平面β的位置關(guān)系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能確定4．已知平面α上的兩個向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，則平面α的一個法向量為()A．(1，－1,1)B．(2，－1,1)C．(－2,1,1)D．(－1,1，－1)5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B、AC的中點，則MN與平面BB1CA．相交B．平行C．垂直D．不能確定6．斜線b在平面α內(nèi)的射影為c，直線a⊥c，則a與b()A．垂直B．不垂直C．共面或垂直D．以上都有可能題號123456答案二、填空題7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量坐標(biāo)為_________．8．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，且l∥α，則m＝________.9．下列命題中：①若u，v分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a與α共面，則u·a＝0；③若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面確定不垂直．正確的命題序號是________．(填寫全部正確的序號)三、解答題10．已知平面α經(jīng)過三點A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，試求平面α的一個法向量．11.如圖所示，在六面體ABCD—A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD求證：(1)A1C1與AC共面，B1D1與BD共面(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.力氣提升12.已知：如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中點，F(xiàn)是AC與BD的交點，求證：A1F⊥平面1．平行問題的證明方法證明線線平行只需證明表示兩條直線的向量滿足實數(shù)倍數(shù)關(guān)系，如證明AB∥CD只需證eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))；證明線面平行可轉(zhuǎn)化為證直線的方向向量和平面的法向量垂直，然后說明直線在平面外；證面面平行可轉(zhuǎn)化證兩面的法向量平行．2．垂直問題的證明方法立體幾何中的垂直有：線與線垂直、線與面垂直、面與面垂直，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化．要證線線垂直，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量垂直．要證線面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直．要證面面垂直，可以轉(zhuǎn)化為證明兩個平面的法向量垂直．非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0.設(shè)非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.3．三垂線定理及其逆定理常用于判定空間直線相互垂直，在應(yīng)用時關(guān)鍵在于構(gòu)造三垂線定理的基本圖形，創(chuàng)設(shè)應(yīng)用定理的環(huán)境．構(gòu)造三垂線定理基本圖形時要抓住下面三個環(huán)節(jié)：(1)確定投影面；(2)作出垂線；(3)確定射影．3．2.2平面的法向量與平面的向量表示學(xué)問梳理1．垂直正交2．平面eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝03．∥n1⊥n2n1·n2＝04．平面射影斜線斜線射影5．兩條相交直線垂直于作業(yè)設(shè)計1．D[只要是與向量n共線且非零的向量都可以作為平面α的法向量．故選D.]2．B[∵n＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α3．C[∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴兩法向量垂直，從而兩平面也垂直．]4．C[明顯a與b不平行，設(shè)平面α的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0，,b·n＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝0，,5x＋6y＋4z＝0.))令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)．]5．B[可以建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面的法向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(MN,\s\up6(→))的關(guān)系推斷．]6．D[若a?α，由三垂線定理知a⊥b.當(dāng)a不在平面α內(nèi)時．a(chǎn)與b的位置關(guān)系不確定．]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))8．－8解析∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直．∴(2，m,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))＝2＋eq\f(1,2)m＋2＝0，∴m＝－8.9．①②③10．解∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－4，－3)，設(shè)平面α的一個法向量為n＝(x，y，z)．依題意，應(yīng)有n·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y－4z＝0,2x－4y－3z＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y,z＝0)).令y＝1，則x＝2.∴平面α的一個法向量為n＝(2,1,0)．11．證明如圖所示，以D為坐標(biāo)原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2)，C1(0,1,2)，B(2,2,0)，B1(1,1,2)．(1)∵eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(B1D1,\s\up6(→))，∴A1C1與AC共面，B1D1與BD共面(2)eq\o(DD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0，eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0.∴eq\o(DD1,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).∵DD1與DB是平面B1BDD1內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面B1BDD1.又AC?面A1AC