2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)§2.7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【課件】

第二章§2.7指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.課標要求內(nèi)容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.根式(1)一般地，如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子

叫做

，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(3)＝

.當(dāng)n為奇數(shù)時，

＝

，x根式aa2.分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪：

＝

(a>0，m，n∈N*，n>1).0的正分數(shù)指數(shù)冪等于

,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.03.指數(shù)冪的運算性質(zhì)aras＝

；(ar)s＝

；(ab)r＝

(a>0，b>0，r，s∈R).4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是

.ar＋sarsarbrR(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>1

0<a<1圖象

定義域____值域__________R(0，＋∞)

a>10<a<1性質(zhì)過定點

，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，

；當(dāng)x<0時，_______當(dāng)x<0時，

；當(dāng)x>0時，_______

函數(shù)____函數(shù)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1增減1.指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(0,1)，(1，a)，2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)＝－4.(

)(2)2a·2b＝2ab.(

)(3)指數(shù)函數(shù)y＝ax與y＝a－x(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱.(

)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，則m<n.(

)×××√2.已知函數(shù)y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數(shù)函數(shù)，則a＋b等于A.不確定

B.0C.1D.2√由函數(shù)y＝a·2x是指數(shù)函數(shù)，得a＝1，由y＝2x＋b是指數(shù)函數(shù)，得b＝0，所以a＋b＝1.3.已知關(guān)于x的不等式

≥3－2x，則該不等式的解集為A.[－4，＋∞) B.(－4，＋∞)C.(－∞，－4) D.(－4,1]√不等式

≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函數(shù)，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集為[－4，＋∞).返回＝－4＋1＋0.5×16＝5.5第二部分探究核心題型例1計算：題型一指數(shù)冪的運算原式＝原式＝＝6×3＝18.(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為整數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).跟蹤訓(xùn)練1

(多選)下列計算正確的是B.D.已知x2＋x－2＝2，則x＋x－1＝2√√對于B，所以B正確；對于D，因為(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D錯誤.例2

(1)(多選)已知實數(shù)a，b滿足等式3a＝6b，則下列可能成立的關(guān)系式為A.a＝b

B.0<b<aC.a<b<0 D.0<a<b題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用√√√由題意，在同一平面直角坐標系內(nèi)分別畫出函數(shù)y＝3x和y＝6x的圖象，如圖所示，由圖象知，當(dāng)a＝b＝0時，3a＝6b＝1，故選項A正確；作出直線y＝k，當(dāng)k>1時，若3a＝6b＝k，則0<b<a，故選項B正確；作出直線y＝m，當(dāng)0<m<1時，若3a＝6b＝m，則a<b<0，故選項C正確；當(dāng)0<a<b時，易得2b>1，則3a<3b<2b·3b＝6b，故選項D錯誤.(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_______.(0,2)在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當(dāng)0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點.∴實數(shù)b的取值范圍是(0,2).對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論.跟蹤訓(xùn)練2

(多選)已知函數(shù)f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的圖象如圖所示，則A.a>1 B.0<a<1C.b>1 D.0<b<1√√觀察圖象得，函數(shù)f(x)＝ax－b是減函數(shù)，因此0<a<1，設(shè)圖象與y軸交點的縱坐標為y0，則0<y0<1，當(dāng)x＝0時，y＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1，所以0<a<1,0<b<1.題型三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3

(2024·?？谀M)已知a＝1.30.6，

，則A.c<b<a

B.a<b<cC.c<a<b

D.b<c<a√命題點1比較指數(shù)式的大小所以b<c<1，所以b<c<a.例4

(2023·青島模擬)已知y＝4x－3·2x＋3的值域為[1,7]，則x的取值范圍可以是A.[2,4] B.(－∞，0)C.(0,1)∪[2,4] D.(－∞，0]∪[1,2]命題點2解簡單的指數(shù)方程或不等式√∵y＝4x－3·2x＋3的值域為[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.又2x>0，∴0<2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.例5已知函數(shù)f(x)＝

(a為常數(shù)，且a≠0，a∈R)是奇函數(shù).(1)求a的值；命題點3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，(2)若?x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求實數(shù)m的取值范圍.由(1)知a＝－1，令t＝2x，t∈[2,4]，(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量.(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(多選)(2023·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝

，則下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)f(x)的定義域為RB.函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)C.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)為減函數(shù)√√√因為ex>0，所以ex＋1>0，所以函數(shù)f(x)的定義域為R，故A正確；所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)，故B正確；所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，故C正確；因為函數(shù)y＝ex＋1是增函數(shù)，所以y＝ex＋1>1，(2)(2023·銀川模擬)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大

，則a的值為________.當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，返回當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，課時精練一、單項選擇題1.下列結(jié)論中，正確的是A.若a>0，則

＝a1234567891011121314√1234567891011121314對于A，根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，可得當(dāng)a＝1時，

＝a；當(dāng)a≠1時，

≠a，故A錯誤；對于C，a＋a－1＝3，則

＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因為a>0，所以

＝

，故C錯誤；2.已知函數(shù)f(x)＝ax－a(a>1)，則函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限1234567891011121314√1234567891011121314y＝ax(a>1)是增函數(shù)，經(jīng)過點(0,1)，因為a>1，所以函數(shù)f(x)的圖象需由函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象向下平移超過1個單位長度得到，所以函數(shù)f(x)＝ax－a的圖象如圖所示.故函數(shù)f(x)的圖象不經(jīng)過第二象限.3.(2023·宜昌模擬)設(shè)a＝30.8，b＝90.5，c＝

，則A.a>b>c

B.c>b>aC.b>a>c

D.b>c>a√1234567891011121314因為a＝30.8，b＝90.5＝(32)0.5＝31，c＝又函數(shù)y＝3x是增函數(shù)，且1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5，所以b>a>c.4.(2023·新高考全國Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A.(－∞，－2] B.[－2,0)C.(0,2] D.[2，＋∞)√1234567891011121314函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，1234567891011121314所以a的取值范圍是[2，＋∞).5.(2023·廣州模擬)已知正數(shù)a，b滿足

＝3，則3a＋2b的最小值為A.10B.12C.18D.241234567891011121314√1234567891011121314因為a，b為正數(shù)，所以3a＋2b的最小值為24.√12345678910111213146.(2023·濰坊模擬)“關(guān)于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實數(shù)解”的一個必要不充分條件是1234567891011121314a(2|x|＋1)＝2|x|，因為2|x|＋1>0，因為2|x|≥20＝1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|沒有實數(shù)解，1234567891011121314D為充要條件，不符合要求.二、多項選擇題7.(2023·重慶模擬)已知函數(shù)y＝

，則下列說法正確的是A.定義域為RB.值域為(0,2]C.在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增D.在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減1234567891011121314√√√由函數(shù)y＝

，可得函數(shù)的定義域為R，故A正確；設(shè)t＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1∈[－1，＋∞)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的值域為(0,2]，故B正確；t＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，可得函數(shù)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，故C錯誤，D正確.12345678910111213148.已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，實數(shù)a，b滿足f(a)＝f(b)(a<b)，則A.2a＋2b>2B.?a，b∈R，使得0<a＋b<1C.2a＋2b＝2D.a＋b<01234567891011121314√√1234567891011121314畫出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖所示.由圖知1－2a＝2b－1，則2a＋2b＝2，故A錯誤，C正確；所以2a＋b<1，則a＋b<0，故B錯誤，D正確.三、填空題1234567891011121314原式＝＝2－1＋8＋(23×32)＝81.8110.已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，則實數(shù)a的取值范圍是________________________.1234567891011121314(－∞，－2)∪(1，＋∞)令g(x)＝2x－2－x，定義域為R，且g(－x)＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，且是增函數(shù)，因為f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，則g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(a2)>g(2－a)，又因為g(x)是增函數(shù)，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(1，＋∞).1234567891011121314四、解答題11.如果函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1,1]上的最大值是14，求a的值.12345678910111213141234567891011121314令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當(dāng)a>1時，因為x∈[－1,1]，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)；當(dāng)0<a<1時，因為x∈[－1,1]，1234567891011121314123456789101112131412.已知函數(shù)f(x)＝2x＋

.(1)若f(0)＝7，解關(guān)于x的方程f(x)＝5；1234567891011121314由題意得f(0)＝1＋a＝7，整理得(2x)2－5×2x＋6＝0，可得2x＝2或2x＝3，∴x＝1或x＝log23.1234567891011121314(2)討論f(x)的奇偶性，并說明理由；1234567891011121314由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為R，①當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時，f(－x)＝－f(x)，經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝－1時，f(x)為奇函數(shù)；②當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時，f(－x)＝f(x)，1234567891011121314∴a＝1，經(jīng)檢驗，當(dāng)a＝1時，f(x)為偶函數(shù)；③當(dāng)a≠±1時，f(x)為非奇非偶函數(shù)，綜上，當(dāng)a＝－1時，f(x)為奇函數(shù)；當(dāng)a＝1時，f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠±1時，f(x)為非奇非偶函數(shù).1234567891011121314(3)若f(x)<3在[1,3]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.1234567891011121314若f(