2024年高考數(shù)學(xué)第一輪題型歸納與解題 考點(diǎn)36 空間直線、平面的垂直13種常見(jiàn)考法歸類(lèi)（原卷版+解析）

考點(diǎn)36空間直線、平面的垂直13種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

考點(diǎn)一線面垂直的判斷考點(diǎn)八證面面垂直

考點(diǎn)二證線面垂直考點(diǎn)九利用空間向量法證面面垂直

考點(diǎn)三利用空間向量法證線面垂直考點(diǎn)十面面垂直的探索性問(wèn)題

考點(diǎn)四線面垂直的探索性問(wèn)題考點(diǎn)I-面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

考點(diǎn)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(證線線垂直)考點(diǎn)十二平行與垂直的綜合問(wèn)題

考點(diǎn)六利用線面垂直求體積考點(diǎn)十三平行、垂直關(guān)系與幾何體的度量

考點(diǎn)七面面垂直的判斷

i.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線/與平面a互相垂直，

記作LLa.直線/叫做平面。的垂線，平面a叫做直線/的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)尸

叫做垂足.過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

(2)判定定理

文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言lA.ni,wc?,nua,〃?n〃=A=/_La.

(3)性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

aa

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言a_La,b±a=hi//b.

注：證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與

性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.

2.證明線面垂直的方法：

一是線面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性質(zhì)定理(a邛,an￡=a,/_Lm/u夕n/_La)；

三是平行線法(。〃力，：

若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；

四是利用面面平行的性質(zhì)（〃_La,a〃ga邛）：

一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直；

解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直

關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、

菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長(zhǎng)度，經(jīng)計(jì)算滿(mǎn)足勾股定理）、直角梯形等等.

3.常見(jiàn)證明線線垂直的常用方法:

（1）相交直線①等腰三角形（等邊三角形）的如圖：AB=AC,D為BC中點(diǎn)，則A￡>_L3C

“三線合一”

②勾股定理的逆定理如圖：如果，則

③正方形、菱形的對(duì)角線互相垂如圖：四邊形ABCD是菱形，所以

直

C

④直徑所對(duì)的圓周角是

如圖：AB是圓的直徑，ZACB=W

⑤相似（全等）轉(zhuǎn)化出直角（需若在正方形ABCD中，E,F分別是BC和CD的

證明）中點(diǎn)，則有

/4.__________

f

RVFC0V上1

證明如下：易證

Rt^ABE=Rt\BCF

Z2=Z3,Z1+Z2=9O°

Zl+Z3=90°

⑥其他常見(jiàn)垂直關(guān)系（1）正方形、矩形、直角梯形

（2）數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系

（3）利用直二面角的定義得其平

面角為直角

(2)異面直線①通過(guò)證線面垂直證線線垂直

注：若題目要證已知且是異面直線，要證，一般

是證所在的平面。

注：直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，圓柱的母線垂直

于底面

②平移法通過(guò)三角形的中位線或者構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行平

移

4.平面與平面垂直

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在

兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以

用它的平面角度量.二面角的范圍是［0。，180。］.

(2)判定定理

文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言l-La,luRna邛.

(3)性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一

文字語(yǔ)言

個(gè)平面垂直.

圖形語(yǔ)言/依/

符號(hào)語(yǔ)言a上6,aC\fi=atbup,6_La=/?_La.

5.三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

6.判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定埋(a_L6,aua=a_LB).

7.證面面垂直的思路

(1)關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮.

(2)條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)

系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理.

8.常用結(jié)論

(1)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.

(4)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

9.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

(4)垂直、平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

10.垂直與平行的綜合問(wèn)題

求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定

理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

11.與探索性問(wèn)題有關(guān)的解題策略

(1)求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過(guò)命題成立

的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.

(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中

點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).

12.證明折疊問(wèn)題中的平行與垂直

關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變.一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線

間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會(huì)發(fā)生變化.對(duì)

于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.

13.空間垂直關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表不

直線，2的方向向量分別為〃1,〃2/|1/2n\_L〃2=2IM=O

直線/的方向向量為〃，平面。的法向量為加l-Lan//=km(k￡R)

平面Q,夕的法向量分別為〃，相n.Lni<^iim=0

4

W考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一線面垂直的判斷

1.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題：

①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；

②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂宜，則這條直線與平面垂直；

③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；

④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線.

其中正確的命題共有個(gè).

2.（2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模）已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，則下

列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若，，貝IJ

B.若，，則

C.若，，，則

D.若，，，則

3.【多選】（2023?廣東珠海?珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎莾蓷l不相同的直線，是兩個(gè)不重合

的平面，則下列命題為真命題的是（）

A.若是異面直線，mua、mlI0、〃u0,〃l/a,則.

B.若機(jī)_L則

C.若尸，則

D.若〃?"La,n!Ip.a!I,則

4.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）給定空間中的電線/及平面，條件：“直線/與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直''是"直

線i與平面垂直”的（）

A.充分條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

5.【多選】（2023?河北?校聯(lián)考一模）如圖，在直四棱柱ABO-ASGA中，底面是菱形，點(diǎn)P,Q,M

分別為，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）

A.平面B.該四棱柱有外接球，則四邊形為正方形

C.與平面不可能垂直D.BDLQM

6.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方體48CO-A4GA中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)

（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（）

A.B.

C.平面D.平面平面

考點(diǎn)二證線面垂直

7.(2023春?湖南邵陽(yáng)?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)如圖，在四棱錐P-ABCO中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，與

交于點(diǎn)，面，且.

(1)求證平面.；

(2)求與平面所成角的大小.

8.(2023?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，

為AC邊的中點(diǎn)，E在邊上，且EC=2BE,沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸的位置，如圖2,連

接FO,FB,FE,OE,使得.

(1)證明:平面A8C;

⑵求點(diǎn)到平面的距離.

9.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱A4C-44G中，在平面A4C的射影恰為等邊三角形A6C

(1)證明：平面：

⑵求二面角的正弦值.

10.(2023?河南開(kāi)封??？寄M預(yù)測(cè))如圖1所示，在長(zhǎng)方形中，八4=2八。=2,是的中點(diǎn)，將△人沿

折起，使得ADJ■身W,如圖2所示，在圖2中.

⑴求證：平面；

⑵求點(diǎn)到平面的距離.

11.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面,

AB1AD,AC1CD^ABC=6O°,PA=AB=BC,E是的中點(diǎn).

(1)求證：CDLAE；

(2)求證：面；

(3)若，求三楂錐體積.

12.【多選】(2023.遼寧?朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模)《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)楂垂

直于底面的三棱柱稱(chēng)為“塹堵”：底面為矩形，?條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三

角形的四面體稱(chēng)為“鱉瞞”，如圖在塹堵ABC-A4G中，AC.LBC,且.下列說(shuō)法正確的是()

A.四棱錐為“陽(yáng)馬”

B.四面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面匕且球的表面積為

C.四棱錐體積最大值為

D.四面體為“鱉胭”

13.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A&CQ中，，，，為棱，的中點(diǎn)，棱

上存在一點(diǎn)，使得平面8MNO.

⑵當(dāng)正四棱臺(tái)ABC。-AB?。的體積最大時(shí)，證明：平面BMNQ.

考點(diǎn)三利用空間向量法證線面垂直

14.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線

UINUHUUI

段DO上，且PO=/iOO,若平面PBC,則實(shí)數(shù)（）

A.B.C.D.

15.（2023?上海黃浦?上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D，直三棱柱ABC-AMG中，/3AC=90,,,D為

8c的中點(diǎn)，E為上的點(diǎn)，且.

(1)求證:8E_L平面；

(2)求二面角的大小.

16.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，已知直三棱柱

ABC—FGE,AC=8C=4,ACJL8C,O為的中點(diǎn)，為側(cè)棱上一點(diǎn)，月.，三棱柱人AC-尸GE的體積為32.

r>^nG

(1)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，求證：平面；

⑵求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

17.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，正三棱柱/中，AB=AI^=2,

點(diǎn)為線段上一點(diǎn)(含端點(diǎn)).

(1)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面;

(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為.若存在，求出的位置：若不存在，說(shuō)明理由.

考點(diǎn)四線面垂直的探索性問(wèn)題

18.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，在直三楂柱A4G中，ZBAC=90°,AB=AC=l.

(1)試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)“，使得平面，并寫(xiě)出證明過(guò)程；

(2)若平面與底面所成的銳二面角為60。，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

19.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若圖，三棱柱A8C-A8G的側(cè)面是平行四邊形，，，且、分別是、的中

點(diǎn).

⑴求證：平面；

(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2023.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四棱錐S-A8CD中，四邊形A8CO是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZABC

=60。，ASA。為正三角形.側(cè)面S4XL底面A8CQ,E,尸分別為棱A。，S8的中點(diǎn).

(1)求證：A廠〃平?面SEC；

(2)求證：平面4s4_L平面CS&

(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M,使得BO_L平面MAC?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.(2023春?河南?高三洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)如圖，四邊形是菱形，NAZX?=120。，平面，F(xiàn)B//ED,,

設(shè)m二花5()＜幾＜1),連接，交于點(diǎn)，連接，.

E

(1)試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得平面?若存在，請(qǐng)求出的值，并寫(xiě)出求解過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

22.(2023春?云南曲靖?高三曲靖市麒麟?yún)^(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))在三棱柱ABC-A/IG中，已知

AB=AC=AA=y/5,BC=4,點(diǎn)在底面的射影是線段的中點(diǎn).

力〈：二..../…y

B

(1)證明：在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長(zhǎng)；

(2)求二面角的平面角的正切值.

考點(diǎn)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(證線線垂直)

23.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，A5=AC=AO,AD與平面所成

角的余弦值為.

(1)求證：ADJ.BC、

(2)求二面角的平面角的正弦值.

24.(2023?四川成都?樹(shù)德中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖所示，在直角三角形中，

ZABC=90,DE//BC,BD=2AD=4,DE=\,將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿(mǎn)足CM=2MP.

(1)證明：BC上ME；

(2)求點(diǎn)到平面的距離.

25.（2023?江西撫州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體/WC。中，NBAD=NCBD=§AD=2瓜BC=6,E為

的中點(diǎn)，aACE為等邊三角形，則異面直線AC與8E所成角為（）

A.B.C.D.

26.（2023春?重慶萬(wàn)州?高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐Q-A8CD中,

平面，四邊形為正方形，PA=AB=\,,為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）

A.B.平面

C.二面角的大小為定值D.的最小值為

27.（2023春?上海徐匯?高三上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)分別是線

段上的點(diǎn)（不為端點(diǎn)），給出如下兩個(gè)命題：①對(duì)任意點(diǎn)，均存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，對(duì)任意的，均有

則（）

A.①②均正確B.①②均不正確

C.①正確，②不正確D.①不正確，②正確

28.（2023?湖南郴州?安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，已知為正三角形，CA=CB=45,AB=2.

⑴求證：；

（2）若，求二面角的正弦值.

29.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，已知矩形，AB=1、BC=6.將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻

折，在翻折過(guò)程中，（）

A1

A.對(duì)任意位置,三組直線“與”，“與”,“與”均不垂直

B.存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

C.存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

D.存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直

30.（2023春?重慶?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)尸是半圓弧上一-動(dòng)點(diǎn)

（點(diǎn)P與點(diǎn)8,C不重合），E為弧的中點(diǎn)，AB=AD=4.

⑴證明：；

（2）若平面與平面所成的銳二面角的平面角為，求此時(shí)點(diǎn)。到平面的距離.

考點(diǎn)六利用線面垂直求體積

31.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，出"PIC的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，BF1AO.

⑴求證：〃平面；

（2）若NPOb=120。，求三棱錐的體積.

32.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，線段上的點(diǎn)滿(mǎn)足，則三棱錐P-AMN和三

棱錐的體積之比為（）

A.B.C.D.

33.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）三楂錐的側(cè)棱、、兩兩垂直，測(cè)面面積分別是6,4,3,則三楂錐的體積

是（）

A.4B.6C.8D.10

34.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，/M=P8=2,PC=G，則該棱錐

的體積為（）

A.1B.C.2D.3

考點(diǎn)七面面垂直的判斷

35.（2023?全國(guó)?高一:專(zhuān)題練習(xí)）已知〃?，〃是兩條不同的直線，”，夕是兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題:

①若，，則②若，，則

③若，，則④若，，，則

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

36.【多選】（2023?重慶萬(wàn)州?重慶市萬(wàn)州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，為不同的直線，，為不同的平面,

則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若，，，則B.若，，，則

C.若，，，貝I」D.若，，，則

37.（2023?四川成都??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在已知直四棱柱ABC。-口中，四邊形為平行四邊形,

分別是的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若，，則

B.MNHCD

C.平面

D.若,則平面平面

38.【多選】（2023?廣東?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與平面有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.平面內(nèi)存在直線與直線平行

B.平面內(nèi)存在直線與直線垂直

C.存在平面與直線和平面都平行

D.存在過(guò)直線的平面與平面垂直

39.（2023?陜西咸陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的菱形中，A8=2,N84Q=60,對(duì)角線交于點(diǎn)，將沿折到位

置，使平面平面.以下命題：

①。r>_L4C；

②平面平面；

③平面平面；

④三棱錐體積為.

其中正確命題序號(hào)為（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

考點(diǎn)八證面面垂直

40.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐P-A3C。中，45//CD,,,,為等邊三角形，ZPDC=ZADC=45°.

（1）證明：平面平面P3G

（2）求點(diǎn)C到平面叢3的距離.

41.（2023?貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一個(gè)類(lèi)似隧

道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，

EF〃AB,EF=6,EA=ED=FB=FC=3.

(1)證明：平面平面.

(2)求四棱錐C-ABFE的體積.

42.(2023?遼寧錦州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在直角梯形中(如圖一)，AB//DC,AO_LOC,.將沿折起，使AO_L

(如圖二).

(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.

43.(2023?峽西西安,西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，已知三棱柱ABC-A4G,4c8=90。，，

為線段上的動(dòng)點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；

(2)若，為線段的中點(diǎn)，AC=28C=2,求與平面所成角的正弦值.

44.(2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，四邊形ABC。為菱形，平面A8C。，，BD=ED=2FB.

(1)求證：平面&)￡F_L平面AFC：

(2)記三棱錐的體枳為，三棱錐的體積為，求的值.

45.(2023?湖北武漢?武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱A8C-中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊

(2)求平面與平面夾角的余弦值.

46.(2023?云南?校聯(lián)考三模)如圖，在三樓臺(tái)ABC-AB?中.4c=8,/W=AC=5,AG=CC；=4,分別

為，的中點(diǎn)，側(cè)面為等腰梯形.

(1)證明：平面平面；

(2)記二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

47.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，在三棱柱A4C中，平面A3C,NAC3=90。.

(1)證明：平面平面；

(2)設(shè)AB=A&A4,=2,求四棱錐A-88CC的高.

48.(2023春?江蘇?高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))在三棱柱ABC-A4cl中，側(cè)面，為棱的中

點(diǎn)，三角形為等邊三角形,

(1)求證：面面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

49.(2023?上海虹I」?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既?已卻圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓心為。，半徑為

2,母線S4、S8的長(zhǎng)為，/408=90。且M為線段A8的中點(diǎn).

(1)證明:平面SOM平面SAB；

(2)求直線SM與平面SOA所成角的大小.

考點(diǎn)九利用空間向量法證面面垂直

50.(2023?北京?北京四中校考模擬預(yù)測(cè))如圖，正三棱柱ABC-ABC1中，分別是棱上的點(diǎn)，.

⑴證明：平面平面；

(2)若AC=AE=2,求二面角的余弦值.

51.(2023?河南開(kāi)封??？寄M預(yù)測(cè))如圖，在四棱雉入"8中，底面為正方形，底面48CDPA=A8=4,E

為的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面:

(2)求二面角的余弦值.

52.(2023?北京豐臺(tái)?北京豐臺(tái)二中?？既?如圖，在四楂錐P-ABCD中，平面，AOJLC。，AD//BC,

Q4=AO=a)=2,.為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

(1)求證：平面平面；

(2)求平面與平面所成角的余弦值；

(3)若棱上一點(diǎn)，滿(mǎn)足尸G=2G8,求點(diǎn)到平面的距離.

考點(diǎn)十面面垂直的探索性問(wèn)題

53.(2023春?江西宜春?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面為矩形，底面，，為線段

上的一點(diǎn)，且PE=2PB，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面，并說(shuō)明理由；

(2)若，，平面平面，匕=1：6,求出點(diǎn)到平面的距離.

54.(2023春?安徽滁州?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試)如圖，在三棱錐中，平面，，ZABC=120,,為線段上一點(diǎn),

且BCLBD.

p

R

(1)在線段上求一點(diǎn)，使得平面平面，并證明；

(2)求二面角的余弦值.

55.(2023春?浙江溫州?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)如圖，在四楂錐尸-ABCO中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形且,

(1)求的值；

(2)若BH=ABP，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

56.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，已知四棱錐P-A8co的底面是平行四邊形，側(cè)面南8是等邊三角

形，BC=2AB,ZABC=60°,.

⑴求證：面面ABC。；

(2)設(shè)Q為側(cè)棱PO上一點(diǎn)，四邊形8EQ尸是過(guò)8,Q兩點(diǎn)的截面，且平面是否存在點(diǎn)0,使得平面

平面以。？若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

考點(diǎn)十一面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

57.(2023?湖南衡陽(yáng)??？寄M預(yù)測(cè))如圖，AADM是等腰直角三角形，ADVDM,四邊形是直角梯形，，

MC1BC,且A8=23C=2cM=2,平面平面.

⑴求證：AD1BM；

(2)若點(diǎn)E是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí)，三棱錐”-八。石的體枳為?

58.(2023?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))如圖，三棱臺(tái)A8C-4MG，,,平面平面,

AB=6,BC=4,,與相交于點(diǎn)，AE=2EB，且〃平面.

(1)求三棱錐的體積；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

59.(2023?北京?人大附中?？既?已知四棱錐尸-ABC。的底面為梯形，且AB7C。，又以_1_人力,

AB=AD=\,,平面平面，平面平面.

(1)判斷直線和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若點(diǎn)到平面的距離為，請(qǐng)從下列①②中選出一個(gè)作為已知條件，求二面角余弦值大小.

①CO_LAO：

②為二面角的平面角.

60.(2023春?貴州黔東南?高三?？茧A段練習(xí))如圖，在四棱錐O-人AC7)中，底面ABCO為菱形，為正三

角形，平面平面，ZAPC=60°.

(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

61.(2023春?貴州黔東南?高三?？茧A段練習(xí))如圖，在四棱錐O-A8CD中，底面為菱形，為正三角形,

平面平面，ZAT>C=60o.

(1)證明：OAA.CD；

(2)若為線段上靠近的三等分點(diǎn)，且平面，平面平面，平面，求的值.

62.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖.在直三棱柱ABC-中，48=明==2,平面平面.

⑴求點(diǎn)A到平面的距離；

(2)設(shè)。為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值.

考點(diǎn)十二平行與垂直的綜合問(wèn)題

63.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖,在三棱錐中，，，，，BP,AP,的中點(diǎn)分別為D,E,O,,點(diǎn)

尸在AC上，BFLAO.

(1)證明：平面；

(2)證明：平面平面BEE

(3)求二面角的正弦值.

64.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)如圖所示，直三棱柱ABC-A與G中，=AG,,、分別是、的中點(diǎn).

(1)求證：平面；

⑵求證：；

(3)求證：平面平面；

(4)求與的夾角.

65.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)如圖，在四棱錐--48。中，，AB1AD,AB=AD=AP=2CD=2,M

是棱上一點(diǎn).

(1)若求證：平面；

⑵若平面平面，平面平面，求證：平面I

(3)在(2)的條件下，若二面角A-4C-M的余弦值為，求的值.

考點(diǎn)十三平行、垂直關(guān)系與幾何體的度量

66.(2023?全國(guó)?鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在直四棱柱ABC。-A4CQ中，四邊形為平行四邊形，，

ZAM/?=60°.

(1)證明：與平面的交點(diǎn)為的重心；

⑵再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線與平面所成角的正弦值.

條件①：；

條件②：面與面所成角的正切值為.

67.（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）三棱臺(tái)A4G中，若面A4cA4_LAC,A4=AC=AA,=2,AG=1,

⑵求平面與平面所成夾角的余弦值：

(3)求點(diǎn)到平面的距離.

68.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，在四棱錐P-A4CO中，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)尸為的中點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，求證；C產(chǎn)〃平面;

⑵若Q4=AB=2,直線與平面所成的角為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇幾個(gè)作為己知，

使四棱錐尸-488唯一確定，求：

(i)直線到平面的距離；

(?)二面角的余弦值.

條件①：平面；

條件②：；

條件③：平面平面.

69.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)如圖，四棱錐P-ABCQ的底面是矩形，平面，E、尸分別是、的中點(diǎn)，又

二面角尸一大小為.

(1)求證：平面；

(2)求證：平面平面；

⑶設(shè)=2,|cq=2V2,求點(diǎn)A到平面的距離.

70.(2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐戶(hù)-AAC。中，ABHCD,ABJ.AD,平面平面.

(1)證明：平面平面：

⑵若4)=245=2,,,與平面所成的角為，求的最大值.

考點(diǎn)36空間直線、平面的垂直13種常見(jiàn)考法歸類(lèi)

考點(diǎn)一線面垂直的判斷考點(diǎn)八證面面垂直

考點(diǎn)二證線面垂直考點(diǎn)九利用空間向量法證面面垂直

考點(diǎn)三利用空間向量法證線面垂直考點(diǎn)十面面垂直的探索性問(wèn)題

考點(diǎn)四線面垂直的探索性問(wèn)題考點(diǎn)I-面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

考點(diǎn)五直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(證線線垂直)考點(diǎn)十二平行與垂直的綜合問(wèn)題

考點(diǎn)六利用線面垂直求體積考點(diǎn)十三平行、垂直關(guān)系與幾何體的度量

考點(diǎn)七面面垂直的判斷

i.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線/與平面a互相垂直，

記作LLa.直線/叫做平面。的垂線，平面a叫做直線/的垂面.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)尸

叫做垂足.過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.

(2)判定定理

文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言lA.ni,wc?,nua,〃?n〃=A=/_La.

(3)性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

aa

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言a_La,b±a=hi//b.

注：證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與

性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.

2.證明線面垂直的方法：

一是線面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性質(zhì)定理(a邛,an￡=a,/_Lm/u夕n/_La)；

三是平行線法(?！?，：

若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；

四是利用面面平行的性質(zhì)（〃_La,a〃ga邛）：

一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平面垂直，則該直線與另一個(gè)平面也垂直；

解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直

關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、

菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長(zhǎng)度，經(jīng)計(jì)算滿(mǎn)足勾股定理）、直角梯形等等.

4.常見(jiàn)證明線線垂直的常用方法:

（1）相交直線①等腰三角形（等邊三角形）的如圖：AB=AC,D為BC中點(diǎn)，則A￡>_L3C

“三線合一”

②勾股定理的逆定理如圖：如果，則

③正方形、菱形的對(duì)角線互相垂如圖：四邊形ABCD是菱形，所以

直

C

④直徑所對(duì)的圓周角是

如圖：AB是圓的直徑，ZACB=W

⑤相似（全等）轉(zhuǎn)化出直角（需若在正方形ABCD中，E,F分別是BC和CD的

證明）中點(diǎn)，則有

/4.__________

f

RVFC0V上1

證明如下：易證

Rt^ABE=Rt\BCF

Z2=Z3,Z1+Z2=9O°

Zl+Z3=90°

⑥其他常見(jiàn)垂直關(guān)系（1）正方形、矩形、直角梯形

（2）數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系

（3）利用直二面角的定義得其平

面角為直角

(2)異面直線①通過(guò)證線面垂直證線線垂直

注：若題目要證已知且是異面直線，要證，一般

是證所在的平面。

注：直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，圓柱的母線垂直

于底面

②平移法通過(guò)三角形的中位線或者構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行平

移

4.平面與平面垂直

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在

兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以

用它的平面角度量.二面角的范圍是［0。，180。］.

(2)判定定理

文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言l-La,luRna邛.

(3)性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一

文字語(yǔ)言

個(gè)平面垂直.

圖形語(yǔ)言/依/

符號(hào)語(yǔ)言a上6,aC\fi=atbup,6_La=/?_La.

6.三垂線定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

6.判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定埋(a_L6,aua=a_LB).

7.證面面垂直的思路

(1)關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮.

(2)條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理，如已知兩平面互相垂直，我們就要聯(lián)

系到兩平面互相垂直的性質(zhì)定理.

8.常用結(jié)論

(1)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

(3)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.

(4)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.

9.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

(4)垂直、平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化

10.垂直與平行的綜合問(wèn)題

求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定

理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

11.與探索性問(wèn)題有關(guān)的解題策略

(1)求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：①先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；②先通過(guò)命題成立

的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.

(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中

點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).

12.證明折疊問(wèn)題中的平行與垂直

關(guān)鍵是分清折疊前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變.一般地，折疊前位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線

間的位置和數(shù)量關(guān)系折疊后不變，而折疊前位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線間的位置關(guān)系折疊后會(huì)發(fā)生變化.對(duì)

于不變的關(guān)系可在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.

13.空間垂直關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表不

直線，2的方向向量分別為〃1,〃2/|1/2n\_L〃2=2IM=O

直線/的方向向量為〃，平面。的法向量為加l-Lan//=km(k￡R)

平面Q,夕的法向量分別為〃，相n.Lni<^iim=O

3考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一線面垂直的判斷

1.（2023?全國(guó),高三對(duì)口高考）給出下列四個(gè)命題:

①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直;

②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂宜，則這條直線與平面垂直;

③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線;

④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線.

其中正確的命題共有個(gè).

【答案】②③

【分析】根據(jù)線面垂直的定義，以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】①中，根據(jù)線面垂直的判定定理，直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線與平面垂直,

所以①不正確;

②中，根據(jù)直線與平面垂直的定義知，若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直,

所以②正確;

③中，因?yàn)樘菪蔚膬裳谕黄矫鎯?nèi)，且不平行，所以?xún)裳鼤r(shí)相交直線，若直線垂直于梯形的兩腰所在的

直線，可得直線垂直梯形底面所在的平面，所以這條直線垂直于兩底邊所在的直線，所以③正確;

④中，因?yàn)樘菪蔚膬傻姿诘闹本€相互平行，根據(jù)線面垂直判定定理，直線與這個(gè)平面不一定垂直，這條

直線不一定垂直于兩腰所在的直線，所以④不正確.

故答案為：②③

2.（2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模）已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個(gè)不同的平面，則下

列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若，，則

B.若，，則

C.若，，，則

D.若，，，則

【答案】A

【分析】設(shè)出、、的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷B,C,D；根據(jù)線面關(guān)系判斷A.

【詳解】設(shè)平面、、的法向量分別為、、，直線，的方向向量為，，

對(duì)于A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若，則，又,則，所以，則，故B正確；

對(duì)于C：若，，則，，又，貝IJ,所以，則，故C正確；

對(duì)于D：因，，則，，因此向量、共面于平面，

令直線的方向向量為，顯然，，

而平面，即、不共線，于是得，所以，故D正確.

故選：A

3.【多選】（2023?廣東珠海?珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎莾蓷l不相同的直線，是兩個(gè)不重合

的平面，則下列命題為真命題的是（）

A.若是異面直線,。,川ia,則.

B.若〃?_L4，貝ij

C.若〃//a,〃_!_〃，則

D.若加_La,〃//0a〃夕,則

【答案】ACD

【分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.

【詳解】對(duì)于A,mua,m〃p,則平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，

同理，在平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，由于是異面直線，與是相交的，〃與也是相交的，

即平面內(nèi)存在兩條相交的直線，分別與平面平行，，正確：

設(shè)，并且〃?/〃,〃/〃，則有機(jī)//人〃〃。，顯然是相交的,錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若，則不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若，則平面上必然存在一條直線/與〃平行，，即，正確；

對(duì)于D,若，必然存在一個(gè)平面，使得，并且，，又〃?正確；

故選:ACD.

4.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）給定空間中的直線/及平面，條件：“直線/與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直”是“直

線，'與平面垂直”的（）

A.充分條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

【答案】C

【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可?判定二者間的邏輯關(guān)系.

【詳解】由直線/與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，可得/與平面相交或或；

由直線/與平面垂直，可得直線/與平面內(nèi)任意一條直線垂直.

則“直線/與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直”是“直線/與平面垂直”的必要非充分條件.

故選：c

5.【多選】（2023?河北?校聯(lián)考一模）如圖，在直四棱柱中，底面是菱形，點(diǎn)P,Q,M

分別為，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）

2Wc

A.平面B.該四棱柱有外接球，則四邊