2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系一．選擇題（共10小題）1．已知實數(shù)a，b，c，d滿足：a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式一定正確的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)d＞bc C．a(chǎn)+c＞b+d D．a(chǎn)c＞bd2．設(shè)集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x|x＜﹣2}，則A∪（?RB）＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣2，1） C．[﹣2，+∞） D．（1，+∞）3．若p：2-xx+1≤A．﹣1≤x≤2 B．|x|＞1 C．|x|＞2 D．2＜x≤54．若A={x∈Z|x-28-x≤0}，B＝{A．0 B．1 C．2 D．35．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B＝（）A．[2，3） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（0，+∞）6．設(shè)集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6} B．{x|1＜x＜5} C．{3，4，5} D．{2，3，4}7．命題p：(12)x＜1，命題q：lnxA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若集合M={x|logA．{x|0＜x≤2} B．{x|0≤x＜9} C．{x|x＜9} D．{x|0＜x＜9}9．已知A={x|mx+1mx-A．-12≤m＜C．m≤-12或m＞1210．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，則（1+1a）（1A．49 B．50 C．51 D．52二．填空題（共5小題）11．已知x＞0，則x+4x的最小值為12．已知ab=12，a，b∈（0，1），則11-a+413．已知x＞1，求x+4x-1的最小值是14．已知兩個正數(shù)a，b的幾何平均值為1，則a2+b2的最小值為．15．已知正實數(shù)a，b，c滿足b+c＝1，則8ab2+abc三．解答題（共5小題）16．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范圍；（2）求a+317．已知函數(shù)f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且1a+12b+13c=18．已知a，b，c為正實數(shù)且a+2b+3c＝5．（1）求a2+b2+c2的最小值；（2）當(dāng)2ab+3ac+6bc19．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|（1）求實數(shù)m的范圍；（2）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足4a+5b+13a20．已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為D，值域為A．若D?A，則稱f（x）為“M型函數(shù)”；若A?D，則稱f（x）為“N型函數(shù)”．（1）設(shè)f(x)=x2-5x+8x，D＝[1，（2）設(shè)f(x)=x12，g（x）＝af（2+x）+bf（2﹣x），若g（x）既是“M型函數(shù)”又是“（3）設(shè)f（x）＝x2﹣2ax+b，D＝[1，3]，若f（x）為“N型函數(shù)”，求f（2）的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之相等關(guān)系與不等關(guān)系參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知實數(shù)a，b，c，d滿足：a＞b＞0＞c＞d，則下列不等式一定正確的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)d＞bc C．a(chǎn)+c＞b+d D．a(chǎn)c＞bd【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】ABD可舉出反例，可根據(jù)不等式的基本性質(zhì)檢驗選項C．【解答】解：不妨設(shè)a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，此時a+d＝b+c，A錯誤，ad＝﹣4＜bc，B錯誤；因為a＞b，c＞d，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，同向可加性得到：a+c＞b+d，C正確；a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2時，ac＝bd，D顯然錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．設(shè)集合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}，B＝{x|x＜﹣2}，則A∪（?RB）＝（）A．（﹣2，1） B．[﹣2，1） C．[﹣2，+∞） D．（1，+∞）【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解．【解答】解：合A＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x＞1}，?RB＝{x|x≥﹣2}，故A∪（?RB）＝[﹣2，+∞）．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查并集、補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．若p：2-xx+1≤A．﹣1≤x≤2 B．|x|＞1 C．|x|＞2 D．2＜x≤5【考點(diǎn)】其他不等式的解法；充分條件與必要條件．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；簡易邏輯；數(shù)學(xué)抽象．【答案】B【分析】解不等式2-xx+1≤0得x＜﹣1或【解答】解：p：2-xx+1≤0，即（2﹣x）（x+1）≤0且x≠﹣1，解得x＜﹣1或所以p：x＜﹣1或x≥2，對于A，﹣1≤x≤2是p的既不充分也不必要條件；對于B，|x|＞1即x＜﹣1或x＞1，是p的必要不充分條件；對于C，|x|＞2即x＜﹣2或x＞2，是p的充分不必要條件；對于D，2＜x≤5是p的充分不必要條件；故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式不等式的求解，還考查了充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．若A={x∈Z|x-28-x≤0}，B＝{A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；其他不等式的解法；交集及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】分別確定集合A，B，再求交集．【解答】解：根據(jù)題意，可得集合A＝{x∈Z|x≤2或x＞8}，B＝{x|0＜x＜5}，則A∩B＝{1，2}，所以A∩B的元素個數(shù)為2個．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|1＜x＜3}，則A∪B＝（）A．[2，3） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．（0，+∞）【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】先求出集合A，然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解．【解答】解：由A＝{x|log2x≥1}＝[2，+∞），B＝{x|1＜x＜3}，可得A∪B＝（1，+∞）．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．設(shè)集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B＝（）A．{x|1＜x＜6} B．{x|1＜x＜5} C．{3，4，5} D．{2，3，4}【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；補(bǔ)集及其運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先求出兩集合，再求兩集合的交集即可．【解答】解：∵A＝{x∈N|1＜x＜6}＝{2，3，4，5}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{2，3，4}．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．命題p：(12)x＜1，命題q：lnxA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；充分條件與必要條件．【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡易邏輯．【答案】B【分析】分別求出關(guān)于p，q成立的x的范圍，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：p：(12)x＜1命題q：lnx＜1，即：0＜x＜e，則p是q成立的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．8．若集合M={x|logA．{x|0＜x≤2} B．{x|0≤x＜9} C．{x|x＜9} D．{x|0＜x＜9}【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】先化簡集合M，N，再根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解．【解答】解：由題意得M＝{x|0＜x＜9}，N＝{x|0≤x≤2}，則M∪N＝{x|0≤x＜9}．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，并集的運(yùn)算及定義，是基礎(chǔ)題．9．已知A={x|mx+1mx-A．-12≤m＜C．m≤-12或m＞12【考點(diǎn)】其他不等式的解法；元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】由已知結(jié)合元素與集合關(guān)系及分式不等式的求法即可求解．【解答】解：因為A={若2∈A，則2m解得-1故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了元素與集合關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，則（1+1a）（1A．49 B．50 C．51 D．52【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】先變形，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b＝1，∴（1+1a）（1+8b）＝（1+＝（2+ba）（9+8≥2144+26＝50當(dāng)且僅當(dāng)9ba=16ab，即∴（1+1a）（1+8故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．二．填空題（共5小題）11．已知x＞0，則x+4x的最小值為【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】因為x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：∵x＞0，則x+4x≥24=4故答案為4．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式的使用條件，并注意檢驗等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．12．已知ab=12，a，b∈（0，1），則11-a+41-【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)條件消掉b，即將b=12a代入原式得11-【解答】解：∵ab=12，a，b∈（0，∴b=1∴1﹣a＞0，1﹣b＝1-12∴2a﹣1＞0，∴11-=1=11-=22-2＝2（12-2a+＝2（12-2a+22a-1）[（2﹣2a）+＝2（1+2+2a-≥2（3+22a-12-2a?2(2-2a)2a-1當(dāng)且僅當(dāng)2a-12-2故11-a+4故答案為：10+42【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，涉及消元，裂項，湊配，乘1等恒等變形，以及取等條件的確定，屬于難題．13．已知x＞1，求x+4x-1的最小值是【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用關(guān)系式的變換和基本不等式，求出最小值．【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，所以x+4x-1=(故答案為：5【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．14．已知兩個正數(shù)a，b的幾何平均值為1，則a2+b2的最小值為2．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】2．【分析】由幾何平均值的定義得到ab＝1，利用基本不等式求解即可．【解答】解：由題意得ab=1，即ab＝1，故a2+b2≥2ab＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15．已知正實數(shù)a，b，c滿足b+c＝1，則8ab2+abc【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】變形得到8a【解答】解：任意的正實數(shù)a，b，c，滿足b+c＝1，所以8a由于b，c為正實數(shù)，故由基本不等式得9bc+cb≥29所以a?(9bc+cb綜上，8ab2故答案為：16．【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范圍；（2）求a+3【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值．【專題】計算題；整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）(1（2）8．【分析】（1）由a+b＝3得|b﹣1|＜b，則﹣b＜b﹣1＜b，可得結(jié)果．（2）利用基本不等式先求出a+3+b+2的最值，再求出（a【解答】解：（1）因為a+b＝3（a＞0，b＞0），所以a＝3﹣b且0＜b＜3，所以|b﹣1|＜b，則﹣b＜b﹣1＜b，解得b＞又0＜b＜3，所以b的取值范圍為(1（2）(a+1)b≤(a+1+b2)2=(3+14×即a+3+b+2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1所以a+3+b+2+(【點(diǎn)評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．17．已知函數(shù)f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[﹣1，1]．（1）求m的值；（2）若a，b，c∈（0，+∞），且1a+12b+13c=【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】方程思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）運(yùn)用絕對值的解法，即可得到所求值；（2）運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得到證明．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[﹣1，1]，可得m﹣|x|≥0的解集為[﹣1，1]，即有[﹣m，m}＝{﹣1，1]，可得m＝1；（2）證明：a，b，c∈（0，+∞），且1a+則a+2b+3c＝（a+2b+3c）（1a＝3+（2ba+a2b）+（≥3+22ba?a＝3+2+2+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c＝3，取得等號．【點(diǎn)評】本題考查絕對值不等式的解法，注意運(yùn)用絕對值的含義，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．已知a，b，c為正實數(shù)且a+2b+3c＝5．（1）求a2+b2+c2的最小值；（2）當(dāng)2ab+3ac+6bc【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用．【專題】計算題；整體思想；對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）a2+b2+c2的最小值為2514；（2）a+b+c=【分析】（1）由已知條件，應(yīng)用三元柯西不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件；（2）由基本不等式可得2ab+3ac+6bc≤5，結(jié)合條件得2ab+3ac+6【解答】解：（1）由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2＝25，故a2+b2+c2≥25當(dāng)且僅當(dāng)a1=b2=c3，即a=故a2+b2+c2的最小值為2514（2）由基本不等式可得，a+2b≥22aba+3c≥23ac2b+3c≥6故2（a+2b+3c）≥2（2ab故2ab+當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c，且a+2b+3c＝5，即a=53，b=56又∵2ab∴2ab+即a=53，b=56a+b+c=55【點(diǎn)評】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．19．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|（1）求實數(shù)m的范圍；（2）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足4a+5b+13a【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得出；（2）利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）∵函數(shù)的定義域為R，∴|x+2|+|x﹣4|﹣m≥0在R上恒成立，即m≤（|x+2|+|x﹣4|）min，∴|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6；（2）由（1）知n＝6，4a+7b=16（4a+7b）（4a+5b+13a+2b）=16[（a+5b）當(dāng)且僅當(dāng)a=126，b∴4a+7b的最小值為32【點(diǎn)評】本題考查了絕對值不等式的性質(zhì)、函數(shù)的定義域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20．已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為D，值域為A．若D?A，則稱f（x）為“M型函數(shù)”；若A?D，則稱f（x）為“N型函數(shù)”．（1）設(shè)f(x)=x2-5x+8x，D＝[1，（2）設(shè)f(x)=x12，g（x）＝af（2+x）+bf（2﹣x），若g（x）既是“M型函數(shù)”又是“（3）設(shè)f（x）＝x2﹣2ax+b，D＝[1，3]，若f（x）為“N型函數(shù)”，求f（2）的取值范圍．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．【專題】數(shù)形結(jié)合；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）f（x）是“M型函數(shù)”；（2）a＝﹣1，b＝1；（3）[1，2]．【分析】（1）利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域可求解；（2）分a＞0，b＜0和a＜0，b＞0結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解；（3）分a不同的取值結(jié)合“N型函數(shù)”的定義即可求范圍．【解答】解：（1）當(dāng)x∈[1，4]時，f(當(dāng)且僅當(dāng)x=2由于f（1）＝4，f（4）＝1，所以函數(shù)f（x）的值域為A=[4因為42-5＜1所以f（x）是“M型函數(shù)”；（2）g(x)=a2+x+由題意得函數(shù)g（x）的值域也為[﹣2，2]，顯然ab＜0，否則值域不可能由負(fù)到正，當(dāng)a＞0，b＜0時，g（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞增，則g(2)=2a=2g(-2)=2b=-2，得a當(dāng)a＜0，b＞0時，g（x）在[﹣2，2]上單調(diào)遞減，則g(2)=2a=-2g(-2)=2b=2（3）f（x）＝x2﹣2ax+b＝（x﹣a）2+b﹣a2，D＝[1，3]，由題意得函數(shù)f（x）的值域A?[1，3]，當(dāng)a≤1時，f（x）的最小值f（1）＝1﹣2a+b≥1，當(dāng)1＜a≤3時，f（x）的最小值f（a）＝b﹣a2≥1，當(dāng)a≥3時，f（x）的最小值f（3）＝9﹣6a+b≥1，當(dāng)a≤2時，f（x）的最大值f（3）＝9﹣6a+b≤3，當(dāng)a＞2時，f（x）的最大值f（1）＝1﹣2a+b≤3，因為f（2）＝4﹣4a+b，由點(diǎn)（a，b）所在的可行域，當(dāng)a＝2，b＝6時，f（2）取最大值，最大值為2，當(dāng)f（2）＝4﹣4a+b與b＝a2+1相切，即a＝2，b＝5時，f（2）取最小值，最小值為1，因此f（2）的取值范圍是[1，2]．【點(diǎn)評】本題以新定義為載體，主要考查了基本不等式及函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．并集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算形狀：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．3．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．4．補(bǔ)集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U．（通常把給定的集合作為全集）．對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．其圖形表示如圖所示的Venn圖．．【解題方法點(diǎn)撥】常用數(shù)軸以及韋恩圖幫助分析解答，補(bǔ)集常用于對立事件，否命題，反證法．【命題方向】通常情況下以小題出現(xiàn)，高考中直接求解補(bǔ)集的選擇題，有時出現(xiàn)在簡易邏輯中，也可以與函數(shù)的定義域、值域，不等式的解集相結(jié)合命題，也可以在恒成立中出現(xiàn)．5．交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，每年高考一般都是單獨(dú)命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．6．充分條件與必要條件【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．7．等式與不等式的性質(zhì)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且8．不等關(guān)系與不等式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如42與84就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．9．基本不等式及其應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2實例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當(dāng)0＜x解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，y=用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項點(diǎn)評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+a技巧六：整體代換點(diǎn)評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點(diǎn)評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．10．運(yùn)用基本不等式求最值運(yùn)用基本不等式求最值11．指、對數(shù)不等式的解法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則．（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：12．其他不等式的解法【知