中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題14 將軍飲馬（解析版）

題型十四將軍飲馬【要點提煉】模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點A、B在直線異側(cè)時，在直線上找一點P，使PA+PB最小。連接AB交直線于點P，點P即為所求作的點。PA+PB的最小。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使PA+PB最小。作點B關(guān)于直線的對稱點B′，連接AB′交直線于點P，點P即為所求作的點。PA+PB的最小值為AB′。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使最大。連接AB并延長交直線于點P，點P即為所求作的點。的最大值為AB。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使最大。作點B關(guān)于直線的對稱點B′，連接AB′并延長交直線于點P，點P即為所求作的點。的最大值為AB′。當(dāng)兩定點A、B在直線同側(cè)時，在直線上找一點P，使最小。連接AB，作AB的垂直平分線交直線于點P，點P即為所求作的點。的最小值為0。A、E是兩個定點，CD在直線上運動，但是CD的長保持不變，求AC+CD+DE的最小值將AC平移到BD處，作點B關(guān)于直線對稱的點B’，連接B’E，即為AC+DE的最小值A(chǔ)C+CD+DE的最小值為B’E+CD【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共6小題）1．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC上，BD＝3，DC＝1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最?。連D＝3，DC＝1∴BC＝4，∴BD＝3，連接BC′，由對稱性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝4，根據(jù)勾股定理可得DC′=BC故選：B．2．如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動點P滿足S△PAB=13S矩形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA+A．29 B．34 C．52 D．41【答案】D【解析】解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．∵S△PAB=13S矩形∴12AB?h=13AB∴h=23∴動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對稱點E，連接AE，連接BE，則BE的長就是所求的最短距離．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE=A即PA+PB的最小值為41．故選：D．3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為（）A．10 B．8 C．53 D．6【答案】B【解析】解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，AC＝55，AC邊上的高為=AB?BCAC=25，所以BE∵△ABC∽△EFB，∴ABEF=EF＝8．故選：B．4．如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE最小，則這個最小值為（）A．3 B．23 C．26 D．6【答案】B【解析】解：由題意，可得BE與AC交于點P．∵點B與D關(guān)于AC對稱，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面積為12，∴AB＝23．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝23．故所求最小值為23．故選：B．5．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN＝30°，點B為劣弧AN的中點．P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）A．2 B．1 C．2 D．22【答案】A【解析】解：作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、AB′，則AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，PA+PB的最小值＝AB′，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°，∵點B為劣弧AN的中點，∴∠BON=12∠AON由對稱性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=2OA=2×即PA+PB的最小值=2故選：A．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上．頂點B的坐標(biāo)為（3，3），點C的坐標(biāo)為（12，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PCA．132 B．312 C．3+19【答案】B【解析】解：法一：作A關(guān)于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，∵DP＝PA，∴PA+PC＝PD+PC＝CD，∵B（3，3），∴AB=3，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝23由三角形面積公式得：12×OA×AB=12∴AM=3∴AD＝2×3∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN=12AD=32∵C（12∴CN＝3?1在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=1即PA+PC的最小值是312法二：如圖，作點C關(guān)于OB的對稱點D，連接AD，過點D作DM⊥OA于M．∵AB=3，OA∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°∵OC＝OD∴△OCD是等邊三角形∴DM＝CD?sin60°=34，OM＝CM＝CD∴AM＝OA﹣OM＝3?∴AD=即PA+PC的最小值為312故選：B．二．填空題（共2小題）7．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點P是直線y＝x上的動點，A（1，0），B（2，0）是x軸上的兩點，則PA+PB的最小值為5．【答案】5【解析】解：如圖所示：作A點關(guān)于直線y＝x的對稱點A′，連接A′B，交直線y＝x于點P，此時PA+PB最小，由題意可得出：OA′＝1，BO＝2，PA′＝PA，∴PA+PB＝A′B=1故答案為：5．8．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是5．【答案】5【解析】解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC′，交AB于E，連接CE，此時DE+CE＝DE+EC′＝DC′的值最?。B接BC′，由對稱性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝2，∵D是BC邊的中點，∴BD＝1，根據(jù)勾股定理可得DC′=BC故答案為：5．三．解答題（共2小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），把△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（Ⅰ）如圖①，若α＝90°，求AA′的長；（Ⅱ）如圖②，若α＝120°，求點O′的坐標(biāo)；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為P′，當(dāng)O′P+BP′取得最小值時，求點P′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）【解析】解：（1）如圖①，∵點A（4，0），點B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=3∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′，∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°，∴△ABA′為等腰直角三角形，∴AA′=2BA＝52（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，∴∠HBO′＝60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°，∴BH=12BO′=32，O′H∴OH＝OB+BH＝3+3∴O′點的坐標(biāo)為（332，（3）∵△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點P的對應(yīng)點為P′，∴BP＝BP′，∴O′P+BP′＝O′P+BP，作B點關(guān)于x軸的對稱點C，連接O′C交x軸于P點，如圖②，則O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此時O′P+BP的值最小，∵點C與點B關(guān)于x軸對稱，∴C（0，﹣3），設(shè)直線O′C的解析式為y＝kx+b，把O′（332，92），C（0，﹣3）代入得3∴直線O′C的解析式為y=53當(dāng)y＝0時，533x﹣3＝0，解得x=335∴OP=3∴O′P′＝OP=3作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°，∴∠DP′O′＝30°，∴O′D=12O′P′=3310，P′D=∴DH＝O′H﹣O′D=3∴P′點的坐標(biāo)為（635，10．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣4x的圖象與x軸、直線y＝x的一個交點分別為點A、B，CD是線段OB上的一動線段，且CD＝2，過點C、D的兩直線都平行于y軸，與拋物線相交于點F、E，連接EF．（1）點A的坐標(biāo)為（4，0），線段OB的長＝52；（2）設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m①當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，求m的值；②連接AC、AD，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值．【解析】解：（1）∵y＝x2﹣4x中，令y＝0，則0＝x2﹣4x，解得x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），解方程組y=xy=x=0y=0或x=5∴B（5，5），∴OB=52+故答案為：（4，0），52；（2）①∵點C的橫坐標(biāo)為m，且CF∥DE∥y軸，∴C（m，m），F(xiàn)（m，m2﹣4m），又∵CD＝2，且CD是線段OB上的一動線段，∴D（m+2，m+2），E（m+2，（m+2）2∴CF＝m﹣（m2﹣4m），DE＝m+2?[（m+2）2﹣4（∵當(dāng)四邊形CDEF是平行四邊形時，CF＝DE，∴m﹣（m2﹣4m）＝m+2?[（m+2）2﹣4（解得m=5②如圖所示，過點A作CD的平行線，過點D作AC的平行線，交于點G，則四邊形ACDG是平行四邊形，∴AC＝DG，作點A關(guān)于直線OB的對稱點A'，連接A'D，則A'D＝AD，∴當(dāng)A'，D，G三點共線時，A'D+DG＝A'G最短，此時AC+AD最短，∵A（4，0）