廣東省深圳市2024屆高三第二次調(diào)研考試（二模）數(shù)學(xué)試題

廣東省深圳市2024屆高三第二次調(diào)研考試（二模）數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知n為正整數(shù)，且n2A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n≥42．已知正方體ABCD?A1B1C1DA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形3．對于任意集合M，N，下列關(guān)系正確的是A．M∪B．?C．M∩D．?4．已知a>0，且a≠1，則函數(shù)y=loA．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限5．已知z=21+i，其中iA．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i6．已知某六名同學(xué)在CMO競賽中獲得前六名（無并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有A．72種 B．96種 C．144種 D．288種7．P是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、A．12 B．33 C．638．設(shè)函數(shù)f(x)=x+ex，g(x)=x+lnx，若存在x1，xA．1e B．1 C．2 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知m，n是異面直線，m?α，n?β，那么A．當(dāng)m⊥β，或n⊥α?xí)r，α⊥βB．當(dāng)m∥β，且n∥α?xí)r，α∥βC．當(dāng)α⊥β時(shí)，m⊥β，或n⊥αD．當(dāng)α，β不平行時(shí)，m與β不平行，且n與α不平行10．已知函數(shù)f(x)=sinωx+acosωx（A．a(chǎn)=B．函數(shù)f(x?πC．滿足條件的正實(shí)數(shù)ω，存在且唯一D．f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為π11．設(shè)函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，則在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=f(x)的圖象與圓(x?t)2+(y+t)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知樣本x1，x2，x3的平均數(shù)為2，方差為1，則x12，x13．已知圓錐的內(nèi)切球半徑為1，底面半徑為2，則該圓錐的表面積為．注：在圓錐內(nèi)部，且與底面和各母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的球，稱為圓錐的內(nèi)切球．14．已知△ABC中，tanB2=3tanC2，雙曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A，則E的兩條漸近線的夾角為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面（1）證明：AA（2）若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A16．已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex，f'(x)是（1）若曲線y=f(x)在x=0處的切線為y=kx+b，求k，b的值；（2）在（1）的條件下，證明：f(x)≥kx+b．17．某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn)．經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為97%．（1）從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來自甲工廠的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)．已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率．設(shè)事件A=“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件B=“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”、已知0<P(B)<1，證明：P(A|B)>P(A|B18．設(shè)拋物線C：x2=2py（p>0），直線l：y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)．過原點(diǎn)O作l的垂線，交直線y=?2于點(diǎn)M．對任意（1）求C的方程；（2）若直線l'∥l，且l＇與C相切于點(diǎn)N，證明：△AMN的面積不小于19．無窮數(shù)列a1，a2，…，an，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是an﹔如果n是奇數(shù)，就對（1）寫出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；（2）如果an=m且（3）記an=f(n)，n∈N

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：令an=n當(dāng)n≥4時(shí)，an+1an因此當(dāng)n≥4時(shí)，n2所以n為正整數(shù)，且n2>2故答案為：C【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造數(shù)列an2．【答案】A【解析】【解答】解：連接AC,因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?所以BB又四邊形ABCD為正方形，所以BD⊥AC，又BB1∩BD=B，B所以AC⊥平面BB因?yàn)锽1D?平面所以AC⊥B同理可證明AD因?yàn)锳D1∩AC=A，A故B1D⊥平面故平面α即為平面ACD則α截該正方體所得截面的形狀為三角形.故答案為：A【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到DB1⊥平面ACD1，故平面3．【答案】B【解析】【解答】解：對于A：如圖所知，

?M∪NN為區(qū)域①，所以M∪?M∪N對于B：?M∪N(M∩N)為區(qū)域①和③；(?M∪NM)為區(qū)域③，(?M∪NN)為區(qū)域①，則對于C：(?M∪NN)為區(qū)域①，M∩?M∪NN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域?qū)τ贒：?M∪N(M∩N)為區(qū)域①和③；而(?M∪NM)為區(qū)域③，(故答案為：B.【分析】利用韋恩圖進(jìn)行判斷即可得到結(jié)果.4．【答案】D【解析】【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=lo則當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)y=lo故答案為：D【分析】由函數(shù)y=loga5．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知，z=2所以z=1+i所以z(故答案為：B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得z=1?i，進(jìn)而z=1+i6．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是C3若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是C3所以所有符合條件的可能是72+72=144種.故答案為：C.【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示：

設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，延長OQ由題意知OQ∥PF1，O為F1F2又PF1?PF又由∠QPA=π4，則故有m+n=2am2+n2代入m2+n即a2+b2=2所以e2=2故答案為：C.【分析】設(shè)|PF1|=m，|PF28．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得f(x1)=g(x2又f'(x)=1+ex>0即f(x1)=f(且|x令h(x)=lnx?x，則h'(x)=1令h'(x)=0，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h'當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，h'所以當(dāng)x=1時(shí)，h(x)有極大值，即最大值，所以h(x)≤h(1)=?1，|h(x)|≥1，所以|x故答案為：B【分析】根據(jù)題意，由條件可得f(x1)=f(lnx9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A：當(dāng)m⊥β，m?α?xí)r，α⊥β；當(dāng)n⊥α，n?β時(shí)，α⊥β，故A正確；B：當(dāng)m//β，n//α?xí)r，又C：當(dāng)α⊥β時(shí)，由m?α，得m//β或m與當(dāng)α⊥β時(shí)，由n?β，得n//α或n與D：當(dāng)α,β不平行時(shí)，可能m//β或m與β相交，n//故答案為：AB【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=sinωx+acosωx=a又f(x)max=又f(0)=a>0，所以a=3則f(x)=sin又f(π4)=2結(jié)合圖象可知πω4+π又T2>π4，所以2πω所以f(x)=2sin(2x+πf(x)是周期函數(shù)，且最小正周期T=2π故答案為：ACD【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的最大值及f(0)>0求出a，由f(π4)=1求出ω11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由(x?t)2+(易知該圓過原點(diǎn)，由f(x)得f(x)由圖可知，當(dāng)0<t<12時(shí)，圓與函數(shù)當(dāng)t=12時(shí)，圓與函數(shù)當(dāng)12<t≤5當(dāng)52<t≤13根據(jù)圓與函數(shù)f(故答案為：ABD【分析】由題意確定圓心坐標(biāo)和半徑，易知該圓過原點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)12．【答案】5【解析】【解答】解：由題意知，x1+x由(x1?2所以x1故答案為：5【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義建立方程組，解之即可求解.13．【答案】8π【解析】【解答】解：由題過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖如下：設(shè)圓錐高為h，母線長為l，則在三角形SO1B中有h2又由△SDO～△SO1B得Rr所以由①②得l=32所以圓錐的表面積為S=S故答案為：8π.【分析】借助過圓錐的軸以及內(nèi)切球球心的截面圖求出圓錐的母線長，即可求出圓錐表面積.14．【答案】π3；【解析】【解答】解：如圖所示，

設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c.設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，過點(diǎn)I向三邊作垂線，垂足分別為M根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，|AP又因?yàn)殡p曲線E以B，C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A，所以||AC|?|AB||=2a，即||AN|+|CN|?|AP|?|BP||=||CN|?|BP||=||CM|?|BM||=2a，因?yàn)閠anB2=3tanC所以點(diǎn)A在雙曲線的左支上，所以|CM而|CM所以|CM所以M為雙曲線的左頂點(diǎn).所以tanB所以rc?a=3r所以ba=3所以兩條漸近線的夾角為π3又因?yàn)閠anA所以tanA而tanC所以14故答案為：π3；【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)心性質(zhì)得到垂足M的位置，再由tanB2=3tanC15．【答案】（1）證明：取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、MA因?yàn)锳B=AC，A1B=A1C由于AM，A1M?平面A1因此BC⊥平面A1因?yàn)锳1A?平面A1又因?yàn)锳1A∥B因?yàn)槠矫鍮B1C1C⊥且B1B?平面BB因?yàn)锳1A∥B（2）解：（法一）因?yàn)椤螧AC=90°，且BC=2，所以AB=AC=2以AB，AC，AA則A1(0,0,2)，所以A1B=(2,設(shè)平面A1BC的法向量為m=(x1令z1=1，則設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(令z2=1，則設(shè)平面A1BC與平面A1BC所以平面A1BC與平面A1（法二）將直三棱柱ABC?A1B連接C1D，過點(diǎn)C作CP⊥C因?yàn)锽D⊥平面CDD1C1，且所以BD⊥CP．又因?yàn)镃P⊥C1D，由于BD，C1D?平面A1BD由于A1B?平面A1因?yàn)镃Q，PQ?平面CPQ，且CQ∩PQ=Q，所以A1因?yàn)镃Q?平面CPQ，所以CQ⊥A則∠CQP為平面A1BC與平面在ΔA1BC因?yàn)镻Q=A1C因此平面A1BC與平面A1【解析】【分析】（1）取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)MA、MA1，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和線面垂直判定定理得BC⊥平面A1MA，進(jìn)而由A1A∥B（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于A116．【答案】（1）解：因?yàn)閒(x)=(ax+1)ex，所以則f'因?yàn)閒'(x)?f(x)=2e則曲線y=f(x)在點(diǎn)x=0又因?yàn)閒(0)=1，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)x=0即得k=3，b=1．（2）解：設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+1)ex?3x?1則g'設(shè)g'(x)=h(x)，則所以，當(dāng)x>?52時(shí)，h'又因?yàn)間'所以，x>0時(shí)，g'(x)>0，?52<x<0時(shí)，g又當(dāng)x≤?52時(shí)，綜上g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在所以當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最小值g(0)=0，即(2x+1)ex?3x?1≥0，所以，當(dāng)x∈R【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得a的值，再由導(dǎo)數(shù)意義可求切線，得到答案；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=(2x+1)ex?3x?117．【答案】（1）解：設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件，事件M=“混合放在一起零件來自甲工廠”，事件N=“混合放在一起零件來自乙工廠”，事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”，則P(M)=mm+n，P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%計(jì)算得3m=n．所以P(M)=mX的可能取值為0，1，2，3，X~E(X)=3×1P(X=0)=C30P(X=2)=C32所以，X的分布列為：X0123P272791（2）證明：因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，所以P(B|A)>P(B|A即P(AB)P(A)因?yàn)镻(A)>0，P(A所以P(AB)P(A因?yàn)镻(A)=1?P(A)，所以P(AB)(1?P(A))>(P(B)?P(AB))P(A)．即得P(AB)>P(A)P(B)，所以P(AB)?P(AB)P(B)>P(A)P(B)?P(AB)P(B)．即P(AB)(1?P(B))>P(B)(P(A)?P(AB))．又因?yàn)??P(B)=P(B)，所以P(AB)P(B因?yàn)?<P(B)<1，0<P(B所以P(AB)P(B)即得證P(A|B)>P(A|B【解析】【分析】（1）設(shè)出甲乙兩廠的零件數(shù)，表示事件發(fā)生的概率，由題意知X服從二項(xiàng)分布，寫出分布列和期望即可.（2）因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率，即P(B|A)>P(B|A18．【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)A(x1,由題可知，當(dāng)k=0時(shí)，顯然有kAM當(dāng)k≠0時(shí)，直線OM的方程為y=?1kx聯(lián)立直線AB與C的方程得x2?2pkx?4p=0，所以x1+x因?yàn)橹本€AM，AB，BM的斜率成等差數(shù)列，所以y1即kx1+4化簡得2(k將x1+x則p=2，所以曲線C的方程為x2（2）解：（法一）設(shè)直線l＇：y=kx+n，聯(lián)立C的方程，得x2由Δ=0，得n=?k2，點(diǎn)設(shè)AB的中點(diǎn)為E，因?yàn)閤1+x22因?yàn)?k所以點(diǎn)M，N，E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)N為ME的中點(diǎn)，所以△AMN面積為△ABM面積的14記△AMN的面積為S，點(diǎn)M(2k,?2)到直線AB：kx?y+2=0的距離所以S=1當(dāng)k=0時(shí)，等號成立．所以命題得證．（法二）設(shè)直線l＇：y=