北京市門頭溝區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月綜合練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試卷

北京市門頭溝區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月綜合練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合1．已知集合A={0,1,2,A．{2,3} B．{0,1,2}2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足iz=3?4i，則z的虛部為（）A．3i B．?3i C．3 D．?33．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0A．y=x12 B．y=1x 4．已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，離心率為A．x2?y23=1 B．x5．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．54 B．63 C．72 D．1356．設(shè)a>0，b>0，則“l(fā)g(a+b)>0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．在△ABC中，∠A=120°，a=19，b?c=1，則△ABCA．332 B．32 C．38．在△ABC中，AB=4，AC=3，且|AB+ACA．16 B．?16 C．20 D．?209．在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線kx?y?3k+4=0A．2 B．3 C．4 D．610．如圖，正方體ABCD?A1B1C①三棱錐A?D②直線AP與平面ACD③直線AP與A1④A1A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．(1x?2x12．已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，若|MF|=313．若函數(shù)f(x)=2sinx2cosx14．已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a1a3=16，S3=14，則a2=15．設(shè)a∈R，函數(shù)f(①當(dāng)a=1時(shí)，f(x)②存在a>0，使得f(③存在a>0，使得f(④?a∈(?∞,0)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，BC=12AD，PA=AB=2（1）求證：EC//平面PAB（2）當(dāng)PC=3時(shí)，求直線PC與平面BCE所成角的正弦值.17．設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，已知?x∈R條件①：(π3,條件②：直線x=7π12為函數(shù)條件③：函數(shù)f(x)注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）求ω,（2）當(dāng)x∈[?π4,π418．2024年1月11日，記者從門頭溝區(qū)兩會(huì)上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速）全線35座橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項(xiàng)目整體進(jìn)度已達(dá)到95%（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對(duì)獨(dú)立，且均選擇上表中的一個(gè)高速出口下高速）.項(xiàng)目齋堂出口清水出口安家莊出口雁翅出口火村出口西臺(tái)子出口上班4082532旅游30201010128出行161010554（1）從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；（2）用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取2人，從出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，用“ξ1=1”表示此人從齋堂出口下高速，“ξ1=0”表示此人不從齋堂出口下高速；從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，用“ξ219．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，橢圓（1）求橢圓E的方程；（2）若過點(diǎn)P(2,0)且不過點(diǎn)Q(3,1x=4交于點(diǎn)C，試判斷直線CN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.20．已知函數(shù)f(（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)（2）當(dāng)a<0時(shí)，求f(（3）當(dāng)12≤a≤1時(shí)，判斷21．已知數(shù)列{an}:a1,a2,?aM，數(shù)列{bn}:b1（1）若{an}:2（2）若S={2,3,（3）若ai≤ai+1，bi≤b使得bi

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得，A∩B={2,故選：A【分析】本題考查集合的交集運(yùn)算.根據(jù)集合交集的定義找出兩個(gè)集合的公共元素，進(jìn)而求出A∩B.2．【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足iz=3?4i，所以z=3?4i所以z的虛部為-3，故選：D【分析】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.根據(jù)題目條件變形可得z=3?4ii，分子和分母同時(shí)乘以i，化簡后可求出復(fù)數(shù)3．【答案】D【解析】【解答】A：y=x12B：y=1x定義域?yàn)??∞,C：y=tanx為奇函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x≠πD：令y=f(x)=x|x|定義域?yàn)镽，且f(?x)=?x|?x|=?x|x|=?f(x)，所以y=x|x|為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)y=x2，函數(shù)在故選：D【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.先判斷函數(shù)的奇偶性，據(jù)此可排除A選項(xiàng)；再利用冪函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)在(0,4．【答案】C【解析】【解答】解：由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為y2因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，所以因?yàn)閑=ca=2所以b2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：C【分析】本題考查雙曲線的方程.根據(jù)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，可求出5．【答案】B【解析】【解答】等差數(shù)列{an}中，由S3=30，得3所以S9故選：B【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出a2，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S6．【答案】B【解析】【解答】解：若a>0,b>0，由lg(a+b)>0，取a=3，b=1而lg(ab)>0，則ab>1，又a>0,b>0，則若都小于等于1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，乘積也小于等于1，與乘積大于1矛盾，則a+b>1，故lg(a+b)>0，所以lg(a+b)>0是lg(ab)>0的必要而不充分條件.故選：B【分析】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，充分條件和必要條件的判斷.采用特殊值法：取a=3，b=13，可得lg(a+b)>0，但lg(ab)=0，充分性不成立；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得lg(ab)>0時(shí)，7．【答案】A【解析】【解答】解：cosA=解得c=2，則b=3，所以S△ABC故選：A.【分析】本題考查余弦定理解三角形，三角形的面積公式.先利用余弦定理求出c，再代入三角形的面積公式可求出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閨AB+AC即AB2所以AB?AC=0所以AB?故選：B【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積.對(duì)式子|AB+AC9．【答案】D【解析】【解答】解：由直線l:kx?y?3k+4=0整理得k(而由P(cosθ，sinθ)知，點(diǎn)P可看成圓O:于是求點(diǎn)P(cosθ，sinθ)到直線kx?y?3k+4=0的距離最值可通過求圓心到直線的距離得到.如圖知當(dāng)直線l與圓相交時(shí)，P(cosθ，sinθ)到直線kx?y?3k+4=0的距離最小值為dmin要使點(diǎn)P到直線l距離最大，需使圓心O(0,又因直線l過定點(diǎn)A(3,4)，故當(dāng)且僅當(dāng)l⊥OA時(shí)距離最大，（若直線l與OA不垂直，則過點(diǎn)O此時(shí)|OA|=5，故點(diǎn)P到直線l距離的最大值為dmax=故選：D.【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系.先根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)A(3,4)，而P(cosθ，sinθ)可看成單位圓上的一點(diǎn)，因此可將求點(diǎn)P10．【答案】C【解析】【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)锽C1//AD1，BC1?面ACD所以BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C對(duì)于②，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面AD1C對(duì)于③，設(shè)AD1∩A1D=M，則AD1⊥A1D，又又AP?平面ABC1D1，所以A1D⊥AP，所以點(diǎn)P在直線對(duì)于④，因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1為正方體，則AA1⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD所以BD⊥平面A1AC，且A1C平面又A1B1⊥平面BB1C1C且A1B1∩B1C=B1且A1C?平面A1又BC1∩BD=B，BC1,BD?且DP?平面BDC1，所以故選：C【分析】本題考查棱錐的體積公式，直線與平面所成的角，異面直線的夾角，直線與平面垂直的性質(zhì).

由已知可證明BC1//面ACD1，可得BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，利用等體積法可判斷①；點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面11．【答案】-160【解析】【解答】解：因?yàn)?1x?2x)令2r?6=0可得r=3，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T4故答案為：?160【分析】本題考查二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng).先根據(jù)二項(xiàng)式展開式求出通項(xiàng)公式，令2r?6=0可求出r，再反代回通項(xiàng)公式可求出常數(shù)項(xiàng).12．【答案】4【解析】【解答】解：由點(diǎn)M在C上，C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為x=?1，知M到直線x=?1而|MF|=3，故M到直線x=?1的距離為3.設(shè)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，由M到直線x=?1的距離為3，知|x0+1|=3所以M到直線x=?2的距離為|x故答案為：4.【分析】本題考查拋物線的定義.設(shè)M的坐標(biāo)為(x0,y0)，利用拋物線的定義可得方程|x13．【答案】1；6【解析】【解答】解：f(x)=2sinx由最大值為2，A>0，則A=1，所以f(x)=sinx+cosx=2所以f(π故答案為：1；6【分析】本題考查二倍角公式和輔助角公式.利用二倍角公式和輔助角公式化簡解析式，根據(jù)最大值為2，可求出A的值；據(jù)此可得解析式為：f(x)=2sin(x+π14．【答案】4；3或4【解析】【解答】解：等比數(shù)列{an}中，公比q>0；由a1?所以a1?a3=16若a1=2a3=8且a1,a2,…,所以不會(huì)存在n0使得a若a1=8a3=2且a1,a可知數(shù)列{an}單調(diào)遞減，從第5前4項(xiàng)均為正數(shù)且大于等于1，所以存在n0=3或n0綜上，可得n0的一個(gè)可能值是3或4故答案為：4；3或4【分析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的單調(diào)性.先利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求出a2=4，又S3=14，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可得方程組a1?a3=16a115．【答案】②③【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)=2當(dāng)x<1時(shí)f(x)=2x?a又函數(shù)y=x2?3ax+2對(duì)于①：當(dāng)a=1時(shí)f(x)=2當(dāng)x<1時(shí)0<2x<2，所以?1<2x對(duì)于②：當(dāng)零點(diǎn)位于(?∞,1)時(shí)，則21此時(shí)0<3a若0<3a2≤1，即0<a≤23此時(shí)只需f(1)=1?3a+2a2>0，解得a>1或a<若3a2>1，即a>23時(shí)，此時(shí)Δ=9a2?8所以0<a<1當(dāng)零點(diǎn)位于[1,+∞)，此時(shí)f(x)在(?∞,1)上無零點(diǎn)，則此時(shí)Δ>0且3a2要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則只需f(1)=1?3a+2a2<0又a>2，顯然a無解，所以此種情況不符合題意；綜上可得當(dāng)0<a<12時(shí)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，故對(duì)于③：使得f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必然是在(?∞,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，在則21?a>0a>0所以當(dāng)1≤a<2時(shí)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④：若f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則21?a≤1?3a+2a所以當(dāng)a≤1?32時(shí)f(x)在R故答案為：②③【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值.當(dāng)a=1時(shí)，分析函數(shù)在(?∞,1)上的取值范圍，求出函數(shù)的值域據(jù)此可判斷①；對(duì)零點(diǎn)在(?∞,1)、[1,+∞)討論，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，據(jù)此可判斷②和16．【答案】（1）證明：取PA中點(diǎn)為M，連接ME,在△PAD中，因?yàn)镸,E分別為PA,PD的中點(diǎn)，故又AD//BC,BC=12AD，故ME//BC又MB?面PAB,EC?面PAB，故EC//面（2）解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.又因?yàn)锳D⊥AB，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)~xyz如圖所示：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，又因?yàn)锳B⊥AD，AD∥BC，所以AB⊥BC，又因?yàn)锳B∩PA=A所以BC⊥平面PAB所以BC⊥PB在Rt△PBC中，PB=22，PC=3，可得BC=1，又因?yàn)锽C=1由題意得B(2，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，所以PC設(shè)平面BCE的法向量為n=(x，y，z)，所以n?BC=0,令X=1，則z=2.所以平面BCE的一個(gè)法向量為n=(1，0，2).所以cos設(shè)直線PC與平面BCE所成角為θ，則sin所以直線PC與平面BCF所成角的正弦值為2【解析】【分析】本題考查直線與平面平行的判定，利用空間向量求直線平面所成的角.（1）取PA中點(diǎn)為M，利用三角形的中位線定理可推出ME//BC,ME=BC，進(jìn)而證明四邊形MBCE為平行四邊形，推出EC//（2）利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理可推出PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC，進(jìn)而證明BC⊥平面PAB，推出BC⊥PB，利用勾股定理可求出BC，AD，結(jié)合已知條件建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)~xyz，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，求出平面BCE的法向量，利用空間向量求出直線與平面所成的角.17．【答案】（1）解：由f(x)≤f(π12)，知sin而f(x)在區(qū)間[π12，7π12這意味著7π12≤π12+注意到π12π2>φ=π所以π2>π3+2kπ，?π2從而π12ω+φ=π若選擇條件①，則(π3，0)為函數(shù)y=f(x)所以sin(π3ω+π所以ω=?2+4k(k∈Z)，由0<ω≤2知ω=2，故f(x)=2sin(ωx+π2?若選擇條件②，則直線x=7π12為函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸，從而而f(x)在區(qū)間[π12，7π12從而2sin(7π12ω+所以ω=2+4k(k∈Z)，由0<ω≤2知ω=2，故f(x)=2sin(ωx+π2?若選擇條件③，函數(shù)f(x)與y=sin2x的振幅不一致，無法通過平移得到，故不能選擇；（2）解：條件等價(jià)于，關(guān)于x的方程f(x)=m即2sin(2x+π3)=m在[?π4，π4]上恰有一個(gè)解.

記2x+π3=u，則x=12(u?π3)，從而x∈[?π4，π4]和[?π6，5π6]一一對(duì)應(yīng)，

這就表明條件等價(jià)于關(guān)于u的方程sinu=m2在[?π6，5π6]上恰有一個(gè)解.

設(shè)g(u)=sinu，則在[?π6，π2]上遞增，在[π2，5π6]上遞減，g(?π6)=?12，g(π2)=1，g(5π6)=12.

此時(shí)，若m>2，則g(u)=sinu≤1<m2，方程sinu=m2無解，不滿足條件；

若m<?1，則當(dāng)u∈[?π6，π2]時(shí)，g(u)≥g(?π6)=?12>m2；

當(dāng)u∈[π2，5π6]【解析】【分析】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用.（1）先根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可列出不等式據(jù)此可求出0<ω≤2，根據(jù)正弦函數(shù)的最值可列出方程據(jù)此可求出π12ω+φ=π2，若選擇條件①，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱中心的公式可求出ω，進(jìn)而求出φ的值，求出解析式；若選擇條件②，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸的公式可求出ω，進(jìn)而求出φ的值，求出解析式；若選擇條件③，函數(shù)（2）采用換元法記2x+π3=u，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的方程sinu=m2在[?π6，18．【答案】（1）解：樣本中被調(diào)查的居民人數(shù)為200，其中利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數(shù)為10，

所以該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率為10200=1（2）解：從樣本中所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為23；從樣本中所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為1由題設(shè)，X的所有可能取值為0，1，2，3.PPPP所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P2279124所以X的數(shù)學(xué)期望EX=0×（3）D【解析】【解答】解：（3）由題意可知P(ξ所以Eξ所以D由題意可知P(ξ所以Eξ所以D故D【分析】本題考查古典型概率公式，二項(xiàng)分布.（1）先找出利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數(shù)，利用古典概型用清水出口下高速的人數(shù)除以總樣本數(shù)可求出概率；（2）先找出隨機(jī)變量X的所有可能為0，1，2，3，利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式分別求出對(duì)應(yīng)的概率，據(jù)此可求出X分布列，利用期望公式可求出期望。（3）通過對(duì)ξ1，ξ2方差的估算，可得出19．【答案】（1）解：由題意可得1解得a=2所以橢圓E的方程為x（2）解：方法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，代入橢圓方程x2不妨設(shè)此時(shí)M(2，1)，N(2，-1)，.則C(4，1)，直線NC的斜率k當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x-2)(k≠1)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程x2+4由于點(diǎn)P在橢圓E內(nèi)，所以必有△>0，則x直線MQ的方程為y?1=令x=4，得Ckk======因此k綜上，直線CN的斜率為1.方法二：當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，直線l的方程為y=0時(shí)，代入橢圓方程x28不妨設(shè)此時(shí).M直線MQ的方程為y?l=令x=4，得C直線NC的斜率k當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my+2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程x2+4由于點(diǎn)P在橢圓E內(nèi)，所以必有Δ>0，則y直線MQ的方程為y?1=令x=4，得Ck=====因此k綜上，直線CN的斜率為1.【解析】【分析】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，三角形的面積公式，和橢圓的關(guān)系式a2（2）設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，先考慮直線l斜率不存在的情況求出CN的斜率為定值1，若CN的斜率存在，設(shè)出直線l的方程y=k(x-2)(k≠1)，與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示x1+x2,20．【答案】（1）解：當(dāng)a=1時(shí)f(x)=xlnx?12x2，則所以f'所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為（2）解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且令g(x)=f'(x)=a因?yàn)閍<0，所以g'(x)<0恒成立，所以g(x)在即f'(x)在又f'所以當(dāng)0<x<1時(shí)f'(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)則