2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二上冊(cè)10月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市黃浦區(qū)高二上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）1.“直線和平交于點(diǎn)”的符號(hào)表達(dá)為_____．【正確答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系用符合表達(dá)即可.【詳解】“直線和平交于點(diǎn)”的符號(hào)表達(dá)為．故．2.已知空間兩個(gè)角和，若，，則__________．【正確答案】或【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間中等角定理分析求解即可.【詳解】因?yàn)?，，?dāng)和開口方向相同時(shí)，；當(dāng)和開口方向相反時(shí)，；綜上所述：或.故或.3.一個(gè)水平放置的邊長(zhǎng)為2的正三角形的直觀圖面積為______.【正確答案】##【分析】作出直觀圖，根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】如圖，建立坐標(biāo)系，根據(jù)斜二測(cè)畫法作出直觀圖，根據(jù)斜二測(cè)畫法的特征可知，，所以直觀圖面積為.故4.將長(zhǎng)為3，寬為2的矩形繞著較長(zhǎng)邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積為________.【正確答案】【分析】判斷幾何體為圓柱，根據(jù)圓柱體積公式可得結(jié)果.【詳解】由題意知，形成的幾何體為圓柱，且底面圓的半徑，圓柱的高，所以底面圓面積，所以圓柱的體積，故答案為.5.已知球的表面積為,則該球的體積為______.【正確答案】【分析】設(shè)球半徑為，由球的表面積求出，然后可得球的體積．【詳解】設(shè)球半徑為，∵球表面積為，∴，∴，∴該球的體積為．故答案為．解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果．6.已知圓錐的底面半徑是1，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為________.【正確答案】【分析】通過圓錐側(cè)面展開圖是半圓，求出底面母線，再用側(cè)面積公式計(jì)算即可.【詳解】圓錐側(cè)面展開圖是半圓，底面半徑為1，圓錐底面周長(zhǎng)是，則母線長(zhǎng)為.則圓錐側(cè)面積為.故答案為.7.如圖，在三棱臺(tái)的9條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有___________條.【正確答案】3【分析】利用異面直線的判定定理判斷即可.【詳解】空間直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面，即不平行也不相交則異面，由圖可知九條棱中，，，，，與相交，沒有直線與平行，所以與直線是異面直線的共有3條，分別為，，，故38.已知平面外兩點(diǎn)A，B到平面的距離分別是2和4，則的中點(diǎn)P到平面的距離是_________.【正確答案】3或1【分析】根據(jù)點(diǎn)到平面距離的意義，分A，B在同側(cè)和A，B在異側(cè)兩種情況求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A、B在平面的投影分別為點(diǎn)，，依題意，，，若A，B在同側(cè)，如圖1，設(shè)點(diǎn)P在平面的投影為點(diǎn)，則P到的距離為；若A，B在異側(cè)，如圖2，設(shè)點(diǎn)P在平面的投影為點(diǎn)O，過A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則P到的距離為，所以的中點(diǎn)P到平面的距離為3或1.故3或1.9.圓柱底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，一只小蜘蛛從某條母線上的一端點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱表面爬行兩周到該母線的另一個(gè)端點(diǎn)，則蜘蛛所走的最短路程為________.【正確答案】【分析】把圓柱側(cè)面展開后得一矩形，矩形對(duì)角線長(zhǎng)為所求最短距離．【詳解】沿這條母線展開圓柱側(cè)面是一矩形，矩形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)為，矩形的寬為圓柱的母線長(zhǎng)5，矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為，即為所求最短距離．故10.三棱錐的4個(gè)面無限延展后把空間分成________個(gè)部分.【正確答案】15【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征分析即可求解.【詳解】三個(gè)側(cè)面平面兩兩相交，可以將空間分成8個(gè)部分，再增加一個(gè)底面，其中有1個(gè)封閉的空間，另外還有6個(gè)部分，所以三棱錐的4個(gè)面無限延展后把空間分成個(gè)部分.故15.11.如圖，在正方體中，AB＝1，中點(diǎn)為Q，過三點(diǎn)的截面面積為_____．【正確答案】##1.125【分析】先作出經(jīng)過三點(diǎn)的截面，如圖所示為梯形，然后求出截面的面積即可【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)P，連接、AQ和，∵分別是，的中點(diǎn)，∴，且，∵，∴，所以四邊形是過三點(diǎn)的截面，且四邊形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高為，∴截面面積為，故12.在一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的密封正方體盒子中，放一個(gè)半徑為1cm的小球．無論怎樣搖動(dòng)盒子，小球在盒子中不能達(dá)到的空間體積是_________cm3.【正確答案】【分析】小球不能到達(dá)的位置為正方體的8個(gè)頂點(diǎn)附近和12條棱附近的部分組成.【詳解】頂點(diǎn)部分不能到達(dá)部分為棱長(zhǎng)為1的正方體減去半徑為1的球體的，如下圖，所以8個(gè)頂點(diǎn)部分體積為，棱部分不能到達(dá)部分為底面是邊長(zhǎng)為1，高為4的長(zhǎng)方體減去底面半徑為1，高為4的圓柱體的，如下圖，12條棱部分不能到達(dá)的體積是，所以不能到達(dá)的體積為.故二、選擇題（本大題共有4題，每題4分，滿分16分）13.設(shè)、是平面外的兩條直線，且，那么是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【正確答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定及充分條件、必要條件判斷.【詳解】證明充分性：若，結(jié)合，且b在平面M外，可得，是充分條件；證明必要性：若，結(jié)合，且a，b是平面M外，則a，b可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．故是的“充分非必要”故選：A．14.已知，表示兩條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，下列說法錯(cuò)誤的是A.若，，，則a∥b B.若，，，則C.若，，，則 D.若，a∥b，則或【正確答案】C【詳解】若，，則;若，則，，；若，，則而，則或；若，，則由線面平行判定定理得或；因此選C.15.如圖所示，一個(gè)燈籠由一根提竿PQ和一個(gè)圓柱組成，提竿平行于圓柱的底面，在圓柱上下底面圓周上分別有兩點(diǎn)A、B，AB與圓柱的底面不垂直，則在圓柱繞著其旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的過程中，直線PQ與直線AB垂直的次數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】A【分析】作出與垂直的平面后判斷幾何關(guān)系【詳解】作出平面，使得平面，當(dāng)時(shí)，平面或平面，結(jié)合旋轉(zhuǎn)分析可知有兩次使得．故選：A16.如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，以下結(jié)論中正確的是（）A.直線與直線CP可能相交 B.直線與直線CP始終異面C.直線與直線CP可能垂直 D.直線與直線BP不可能垂直【正確答案】B【分析】證明平面，從而可證四點(diǎn)不共面，即可判斷AB；設(shè)，將分別用表示，假設(shè)直線與直線CP垂直，則，求出即可判斷C；證明平面，即可判斷D.【詳解】在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別為棱AB、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，，，所以四點(diǎn)不共面，所以直線與直線CP始終異面，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，若直線與直線CP垂直，則，即，所以，即，解得，因?yàn)?，所以不存在點(diǎn)使得直線與直線CP垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以?dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，直線與直線BP垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分42分）17.用文字語言表述“線面平行的判定定理”，寫出已知、求證并證明.【正確答案】答案見解析【分析】先根據(jù)線面平行的判定定理寫出已知、求證，利用反證法證明即可.【詳解】平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行；已知，求證；證明如下：假設(shè)，由于，則，則在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線，使得，由于，則，這與矛盾，故假設(shè)不成立，故18.已知三棱錐滿足.（1）證明：直線與直線是異面直線；（2）求異面直線與所成角大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)異面直線的定義，結(jié)合點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，即可判斷；（2）根據(jù)平行關(guān)系可證明異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），結(jié)合余弦定理可得.【小問1詳解】因?yàn)橹本€平面，點(diǎn)平面，點(diǎn)，點(diǎn)平面,所以直線與直線是異面直線.【小問2詳解】如圖：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，所以，，所以異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)?，所以，，在中，，，，所以有，由余弦定理得，所以異面直線與所成角大小為.19.如圖，已知點(diǎn)P在圓柱的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑，圓柱的表面積為，，．（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)圓柱的特征可得直線與平面的夾角，即為，然后利用圓柱的表面積為求出，求出，進(jìn)而求解；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法即可求解.【小問1詳解】由題意知，直線與平面的夾角，即為，易知，，又，故，進(jìn)而有，，由圓柱的表面積為，可得，故，故直線與平面的夾角為．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，，，因?yàn)槠矫鍭BP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即點(diǎn)A到平面的距離為．20.如圖，幾何體中，為邊長(zhǎng)為2的正方形，為直角梯形，，，，，.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面垂直知識(shí)可求解.（2）利用割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法可得，從而求出體積.【小問1詳解】由題意得：，，，CD、都在平面內(nèi)，所以：平面，因?yàn)椋浩矫?，所以：，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以：，因?yàn)椋?，且、AD都在平面內(nèi)，所以：平面，因：平面，所以：，又因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，，，，，所以：，，則：，所以：,又因?yàn)椋?，且、都在平面?nèi)，所以：平面.【小問2詳解】連接，過作CD的垂線，垂足為，由（1）可得：平面，且，所以：，所以：幾何體的體積為.21.如圖，在四面體ABCD中，平面，點(diǎn)M為AD上一點(diǎn)，且，連接BM，CM.（1）；（2）求二面角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由平面，得，而，則由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證