八年級數(shù)學(xué)上冊第一章勾股定理知識點與常見題型總結(jié)及練習(xí)新版北師大版

第1章勾股定理一．學(xué)問歸納1．勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：假如直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)覺并證明白直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2.勾股定理的證明勾股定理的證明方法許多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會變更②依據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，，化簡可證．方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡得證3.勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必需明白所考察的對象是直角三角形4.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的隨意兩邊長，求第三邊在中，，則，，②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運用勾股定理解決一些實際問題5.勾股定理的逆定理假如三角形三邊長，，滿意，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形態(tài)，在運用這肯定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不行認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿意，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形6.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）7．勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在運用勾股定理時，必需把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加協(xié)助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確運用勾股定理進(jìn)行求解．8．勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系推斷一個三角形是否是直角三角形，在詳細(xì)推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不行不加思索的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．9.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或詳細(xì)的幾何問題中，是密不行分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：題型一：干脆考查勾股定理例１.在中，．⑴已知，．求的長⑵已知，，求的長分析：干脆應(yīng)用勾股定理解：⑴⑵題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.⑴在中，，，，于，＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為，斜邊長為，則這個三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長為，斜邊長為，則這個三角形的面積為分析：在解直角三角形時，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時可依據(jù)勾股定理列方程求解解：⑴，⑵設(shè)兩直角邊的長分別為，，，⑶設(shè)兩直角邊分別為，，則，，可得例３.如圖中，，，，，求的長分析：此題將勾股定理與全等三角形的學(xué)問結(jié)合起來解：作于，，在中在中，，例4.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積答案：6題型三：實際問題中應(yīng)用勾股定理例5.如圖有兩棵樹，一棵高，另一棵高，兩樹相距，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了分析：依據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖，，，過點作，垂足為，則，在中，由勾股定理得答案：題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長為，，，判定是否為①，，②，，解：①，是直角三角形且②，，不是直角三角形例7.三邊長為，，滿意，，的三角形是什么形態(tài)？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角形題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例8.已知中，，，邊上的中線，求證：證明：為中線，在中，，，，，，選擇題1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三邊長分別為a、b、c，則下列結(jié)論中恒成立的是() A、2ab<c2 B、2ab≥c2 C、2ab>c2 D、2ab≤c22、已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，假如以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（） A、5 B、25 C、7 D、153、直角三角形的始終角邊長為12，另外兩邊之長為自然數(shù)，則滿意要求的直角三角形共有（）A、4個 B、5個 C、6個 D、8個4、下列命題①假如a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②假如直角三角形的兩邊是3、4，那么斜邊必是5；③假如一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正確的是（）A、①② B、①③ C、①④ D、②④5、若△ABC的三邊a、b、c滿意a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此△為（）A、銳角三角形 B、鈍角三角形 C、直角三角形 D、不能確定6、已知等腰三角形的腰長為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長的正方形的面積為（）A、40 B、80 C、40或360 D、80或3607、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，且DA=DB=5，又△DAB的面積為10，那么DC的長是（）ADBCADBCB′A′C′D′第9題圖ABABDC第7題圖ACDBE第8題圖8、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6㎝，BC=8㎝。現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）A、2㎝ B、3㎝ C、4㎝ D、5㎝9.一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路途的長是_____________。10.在安靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是________m。二.解答題ABABCD第1題圖AAA′BAA′OA2、數(shù)組3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股數(shù)，若奇數(shù)n為直角三角形的始終角邊，用含n的代數(shù)式表示斜邊和另始終角邊。并寫出接下來的兩組勾股數(shù)。3、一架方梯長25米，如圖，斜