初中數(shù)學(xué)思想方法

1、初中數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)發(fā)表時(shí)間：2012-3-7 來源：時(shí)代報(bào)告（學(xué)術(shù)版）2011年12月（上）供稿作者：孫志仁導(dǎo)讀 在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想、方法是全面提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。孫志仁（河南省洛陽市第24中學(xué)河南洛陽 471000）中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：41-1413（2011）12-0000-01新課程教學(xué)大綱提出：初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的要領(lǐng)法規(guī)、公式、性質(zhì)、公理、定理以及其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)思想、方法反映著數(shù)學(xué)概念、原理及規(guī)律的聯(lián)系和本質(zhì)，是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和紐帶，是培養(yǎng)學(xué)生能力的橋梁。在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)

2、思想、方法是全面提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。一、初中數(shù)學(xué)思想和方法數(shù)學(xué)思想是研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的指導(dǎo)思想，是在對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和概括的基礎(chǔ)上形成的一般性觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)方法是指具有可操作性并能具體解決數(shù)學(xué)問題的方法，數(shù)學(xué)思想來源于數(shù)學(xué)方法，是數(shù)學(xué)方法的抽象和概括，反過來又指導(dǎo)數(shù)學(xué)方法的實(shí)施，而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)。（一）數(shù)學(xué)思想初中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想很多，這里著重談一談轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類思想。1.轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是指在研究和解決數(shù)學(xué)學(xué)問題時(shí)由一種教學(xué)對象轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對象時(shí)所采用的數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)思想。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以把生疏的新的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的舊的問題，把

3、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，把一般問題轉(zhuǎn)化成特殊的問題，從而完成數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化，形與形的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法、代換法、換元法、配方法等也是體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想的具體的數(shù)學(xué)方法，下面看兩個(gè)例子：例1 已知：如圖1，在ABC中，BAC=90，AB=AC，BD平分ABC交AC于E，BDCD。求證：CD= BE。分析一：要證明CS= BE，只須證明2CD=BE為此，需要延長CD，BA交于F點(diǎn)，只要證明DF=CD，CFABEA。分析二：要證明CD= BE，在BE上取中點(diǎn)G，只須證明CD=EG。為此，需要作GHBE交BC于H，連結(jié)HE（如圖2）。只要證明CDEEGH。分析三：要證明CD= BE，取BE

4、中點(diǎn)G，連接AG、AD（如圖3）。只須證明，AG=AD=CD為此，只要證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓，1=2=45，3=4=22.5說明，把證明線段的和、差、倍、分問題轉(zhuǎn)化或證明兩條線段相等的問題。例2 已知：如圖4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA:PB:PC=1:2:3。求證：APB=135分析一：要證明，APB=135=45 90為此，將APB繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90，落到CPB的位置，只須證明BPP=45，PPC=90，只要證明BP=BP=2X，PP2 PC2=9X2=PC2。分析二：要證明APB=135，只須證明tgAPB=-1，只質(zhì)證明sinAPB=-cosAPB，為此，設(shè)PA=X，PB=2X，

5、PC=3X，AB=BC=a只須證明，只要證明cosPBC= ,sinABP=cosPBC說明，分析一體現(xiàn)著把135轉(zhuǎn)化成兩個(gè)特殊角（45和90），由旋轉(zhuǎn)法完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。分析二體現(xiàn)著把求APB=135問題轉(zhuǎn)化成用正弦定理，余弦定理，同角或互為余角間的三角函數(shù)關(guān)系式來解決。2.方程思想方程思想是指利用方程或方程組解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想。在研究平面幾何時(shí)，若所涉及到元素之間的關(guān)系，可考慮通過設(shè)輔助未知數(shù)并列出方程或方程組，使有關(guān)的幾何量之間的關(guān)系顯現(xiàn)出來，從而使所研究的問題比較簡捷地加以解決。例3，已知：如圖5，AB、CD分別切O于A/D點(diǎn)，且ABDC，BC切O于E。求證：OE BC分析：要證明

6、OE BC只須證明 2OEBC只須證明 4OE2BC2只須證明 BC2-4OE20由已知 BE CE=BC只要證明 BECE=OE2，那么BE、CE就是方程X2-BCX OE2=0的二根。為此，連結(jié)OB、OC，只要證明BOC=90。說明由分析體現(xiàn)幾何問題可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程及其根的判別式的性質(zhì)問題，例2的分析二也體現(xiàn)了方程思想。3.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)與形的結(jié)合來研究和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中運(yùn)用最普遍的思想，它可以使抽象問題具體化、形象化，使幾何的圖形問題數(shù)量化，下面我們也看兩上例題。例4 K為何值時(shí)，方程X2 2（K 3）X 2K 4=0的一個(gè)根小于3，而

7、另一個(gè)根大于3。分析：為了求出K值，設(shè)y=x2 2(k 3)x 2k 4，并根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象的草圖（如圖6），yx=30。例5 已知：如圖7，圓內(nèi)接四邊形ABCD。求證：ACBD=ABCD BCAD分析：要證明 ACBD=ABCD BCAD，ABCD=ACX，只須證明 BCAD=ACYX Y=BD這時(shí)的X、Y為BD上的兩條線須，其長待定，在BD上設(shè)一待定點(diǎn)P，PD=X，PB=Y，連結(jié)CP。只質(zhì)證明只須證明ABCDCP，BCPACD為此，需作DCP=ACB交BD于P點(diǎn)。說明，前例體現(xiàn)方程問題可以充分利用同次函數(shù)的圖象和性質(zhì)幫助我們分析和解決問題。后一例是利用待定的思想方法，逐步推斷出輔助線C

8、P的引法。4.分類思想分類思想是根據(jù)要求確定分類標(biāo)準(zhǔn)，然后將數(shù)學(xué)對象劃分為不同種類加以研究的指導(dǎo)思想。對數(shù)學(xué)對象分類時(shí)應(yīng)遵循兩個(gè)原則：（1）在同一問題中分類按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）分類要做到不重、不漏。分類有利于對問題的深入研究，有助于發(fā)現(xiàn)解題思路和運(yùn)用技能技巧，這對培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力大有幫助?？聪旅胬}：例6 已知：如圖8，正方形ABCD的邊長為a，分別以A、B、C、D為圓心，以a為半徑向正方形內(nèi)作圓弧，求圖中陰影部分的面積。分析由圖形的對稱性，把正方形分割為三類圖形，其面積分別以x、y、z來表示說明，把圖形進(jìn)行分類，將面積問題轉(zhuǎn)化為解方程組，這是求面積問題的一種巧妙、簡捷的解法

9、。（二）數(shù)學(xué)方法初中數(shù)學(xué)所涉及到的數(shù)學(xué)方法也很多，如構(gòu)造法、代換法、消元法、降次法、換元法、配方法、配方法、特定系數(shù)法、圖象法、輔助元素法等等，另外還包括一些常用的推理論證方法，如歸納法、類比法、演繹法、分析法、綜合法、反證法、同一法等。這些數(shù)學(xué)方法都是研究數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常用到的，因此需要很好地掌握。二、數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)（一）認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法我們在備課時(shí)要認(rèn)真鉆研教材，充分發(fā)掘提煉在教材中的數(shù)學(xué)思想和方法，并弄清每一章節(jié)主要體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)方法，做到心中有數(shù)。例如平面幾何圓這一章就是用分類和聯(lián)系的思想把全章分成；圓的有關(guān)性質(zhì)；直線和圓的位置關(guān)

10、系；圓和圓的位置關(guān)系；正多邊形和圓四大類，在根據(jù)不同的類型研究各自圖形的性質(zhì)和判定，此外還要掌握四點(diǎn)共圓的方法，把直線形的問題轉(zhuǎn)化成圓的問題，再歸納在四大類中分別運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)加以解決。再如一元二次方程這一章，內(nèi)容豐富，方法多樣，蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的思想，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，把多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題等。（二）提高認(rèn)識(shí)，把數(shù)學(xué)思想和方法的數(shù)學(xué)納入教學(xué)目的數(shù)學(xué)思想、方法的數(shù)學(xué)是數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的重要組成部分，為了使數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)落到實(shí)處，首先要從思想上提高對數(shù)學(xué)思想、方法教學(xué)的重要性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而把數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)納入教學(xué)目的中去，并且具體落實(shí)在每節(jié)課的教學(xué)目的中。（三）結(jié)合教材內(nèi)容，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和方法的滲透、解釋和歸納在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對教材內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想、方法要結(jié)合教學(xué)實(shí)際分別予以滲透、解釋和總結(jié)歸納，以提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法解決問題的能力。例如在代數(shù)中數(shù)形結(jié)合的思想就滲透到各個(gè)章