2024講與練高中數(shù)學(xué)1(必修第一冊(cè)·A版)第4章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.1指數(shù)

4.1.1〃次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)

m

1.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)森病（a〉0,且/1,/〃，1.通過〃次方根和〃次根式的概念的形成過

〃為整數(shù)，且〃乂））含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)早的程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

拓展過程.2.通過正確運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，

發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2.掌握指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì).

志備知識(shí)梳理課前列（習(xí)?息址務(wù)實(shí)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第085頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)一n次方根

如果?=出那么x叫做〃的人次方根，其中心1,且〃￡N?.可用下表表示:

〃為奇數(shù)n為偶數(shù)

?>0a=0a<0

x=%x=0不存在

知識(shí)點(diǎn)二根式

1.式子缶叫做根式，〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

2.性質(zhì)：當(dāng)〃>1,時(shí)，

(1)(般)〃=公

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，97』幺；

a,。沁，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),y[a^=\a\=

—q,a<0.

「提醒

（1）對(duì)于（缶）"=a，若〃為奇數(shù)，則a￡R；若〃為偶數(shù)，則aNO.

(2)超與(跖)"的意義是不同的，比如十F=-3,跖=#=2,而(妒工)6沒有意義；若

〃為奇數(shù)，則加=(缶)”，若〃為偶數(shù)，在運(yùn)算過程中一定要注意被開方數(shù)。和根指數(shù)”的

取值情況.

知識(shí)點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義/>0，/〃，且〃>1)

m

正分?jǐn)?shù)指數(shù)事

m11

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞an~

a"標(biāo)

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)耗0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)箱等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義

分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉中，規(guī)定底數(shù)60,因?yàn)楫?dāng)〃=0時(shí)，及〃的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義；當(dāng)a<0

m

時(shí)，若〃為偶數(shù)，，〃為奇數(shù)，則/，a—々無意義.因此這樣規(guī)定就省去了不必要的討論，便

于學(xué)習(xí)和應(yīng)用.

知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)導(dǎo)的運(yùn)算性質(zhì)

\.(fa!=ar+s(a>0,r,s^Q).

2.(〃)=叫“>0,r,s^Q).

3.mb)r=a'Z/(a>0,b>0,?￡Q).

KFWS-

(l)^；=ar~s(a>0,r,s￡Q).

(2)CJ=%>。，b>0,r^Q).

m

(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)募/不可理解為々個(gè)“相乘，它是根式的一種寫法.

(2)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù).

判斷正誤.(正確的畫"J"，錯(cuò)誤的畫“x”)

1.任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有1個(gè).(J)

2.正教的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù).(J)

3、(3—兀)2=3—兀.(X)

2

4.用分?jǐn)?shù)指數(shù)除表示4(〃一/川(。>份為(。一/>9(X)

5(初產(chǎn))一次一聶

/?>0).(J

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第086頁(yè)

類型一根式的化簡(jiǎn)與求值

【例I】(1)化簡(jiǎn)下列各式：

①靂毋+(短四

②N丁飛2Z(i一。產(chǎn)+7(1一。)3；

(2)已知xW-3,求，『一2x+1一.1+6*+9的值.

【解】(1)①原式=|一2|+2=2+2=4.

②由題意知。一120,即

原式="一I+|1一3+I—a=a-1+〃-1+I—a=a~\.

(2)原式=、(x—1/一、3+3)2=卜一1|一|二+3|.

,?'xW—3,

/.A-l<0.x+3W0,

原式=—(x—l)+(x+3)=4.

遷移：在本例(1)中，若將“xW—3”變?yōu)椤耙?4<3”，則結(jié)果又是什么？

解：原式=N(X-1>一NQ+3F=

|X-1|-|A+3|,

.?.當(dāng)一3<x<l時(shí)，

原式=—(X—1)—a+3)=—2/—2;

當(dāng)lWx<3時(shí)，原式=(工一1)一。+3)=—4.

-2.X-2,-3令<1,

.?.原式=

—4,lWx<3.

,通法提煉

1.解決根式的化簡(jiǎn)或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的

性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值.

2.(1)班中?？扇∪我鈱?shí)數(shù)，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，超=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，超=同.

(2

解-

2-

V3-

.3-

類型三分?jǐn)?shù)指數(shù)基與根式的混合運(yùn)算

【例3】計(jì)算下列各式：

(1)(24+2-2乂(2?2-0.01°5：

(202.34時(shí)一|)3仙＞0,3).

0.「2伍3/尸)5

【解】⑴原式=】十卜蹴一(七A1+6-10：=15-

13

42.422a4^44

(2)原式=-^~“『?。一彳?。一彳?〃=對(duì)0〃=石.

/通法提煉k

指數(shù)尋運(yùn)算的解題方法

(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.

(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)轅化成正指數(shù)暴的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù).

(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)扉，并盡可能用轅的形式表示，運(yùn)用指數(shù)鞋的運(yùn)算性質(zhì)來解答.

(5)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)看，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)累，形式力求統(tǒng)

【變式訓(xùn)練3】計(jì)算下列各式:

211

缶2/1、而*'aLb'

解：(1)原式一]1—

加."一押

（慨+:—1+細(xì)+；—2—；=加1

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第087頁(yè)

82

的值

簡(jiǎn)

是

化--

--5

125

解析：原式=_?

2.若則化簡(jiǎn)叱44—1的結(jié)果是1-4”

解析：,??〃<(，.,?4a—l<0,

3.若X),將一」「友示成分?jǐn)?shù)指數(shù)恭,其結(jié)果是j.

]1z

解析：由題意，得原式=〃2一5一

4.0.25X（-1）-4+2°-（勤:士.

解析：原式="x16—4+1—Q）=4—4—4=—4.

211,155

5.化簡(jiǎn)（2"）（一6萬(wàn)）（一3〃一鏟）3>0,心0）的結(jié)果是迎正

2111]￡211115-

解析：（2"片）（—6a%3）（—3a—^b6）=2X（—6）X（—3）"+]—1萬(wàn)+?+不=36ab\

1.知識(shí)回顧

⑴根式的化簡(jiǎn)與求值.

(2)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的互化.

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)制與根式的混合運(yùn)算.

2.易錯(cuò)提醒

注意避免兩個(gè)錯(cuò)誤：（1）混淆（缶）”與加，（2）對(duì)于猊，切記當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，應(yīng)有〃N0.

課時(shí)作業(yè)27

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第278頁(yè)

一、單項(xiàng)選擇題

I.下列各式正確的是(D)

2

A.27)=3

B.(S-4

C.^/(n—4)2=n—4

4.42

解析：27*=(3)3=33X,=32=9,故A錯(cuò)誤;=23=8,故B4菁誤：y（Jt—4尸=|兀一4|=

4f故C錯(cuò)誤：（露4=［勖］一（=04乂（一§=0-3=畀故D正確.故選D.

2.設(shè)小〃為非零實(shí)數(shù)，則下列運(yùn)和正確的是（B）

A.幅=aB.2a?（-2"）2=8/

C.6rl04-（7,0=UD.（2erb）

解析：當(dāng)〃取偶數(shù)，〃<0時(shí)不成立，比如，（一2）2，一2,故A錯(cuò)誤；2a?（—2a）2=2a?4/=&r*

3

故B正確；"叱"°=a°=1,故C錯(cuò)誤；（2a2b）=8於護(hù)，故D錯(cuò)誤.故選B.

3.若正數(shù)x,y滿足丁=8,/=81,則x+y=（C）

A.IB.3

C.5D.7

解析：因?yàn)檎龜?shù)x,y滿足V=8,y4=81,所以x=強(qiáng)=2,y=弧1=3,所以x+y=2+3

=5.故選C.

4.若對(duì)o,則H—五+霄的值為（C）

A.B.0

C.ID.2

解析：因?yàn)?o,所以k|—*=N—卜|+'=］.故選c.

5.化簡(jiǎn)水。一以+）（?！?的結(jié)果是（C）

A.0B.2（b-a）

C.0或2（。一。）D.l（a-b）

解析："\/（〃一/））2+］（〃一〃），=|〃一〃|+（〃一〃）.當(dāng)時(shí)，用式=〃-b+（/）—。）=0：當(dāng)a<h

時(shí)，原式=〃一“+（5一。）=2（〃一〃）.故選C.

二、多項(xiàng)選擇題

6.若〃￡N,a￡R,則下列四個(gè)式子中一定有意義的是（AC）

4/_____4i_______

A.,（-4）2"B.叱-4產(chǎn)一|

C.D.

解析：對(duì)于A,2〃為偶數(shù)，則（一4產(chǎn)>0恒成立，有意義；對(duì)于B,（—4產(chǎn)”<0,無意義；對(duì)

于C,/為恒大于或等于o的數(shù)，有意義：對(duì)于D,當(dāng)a<0時(shí)，式子無意義.故選AC.

7.設(shè)X）,〃/,〃是正整數(shù)，且〃>1,則下列各式中，正確的是（AB）

m

A.

B.d）=l

C.a-^=—y［（f>

D.y［（f=a

解析：〃是正整數(shù)，且〃>1,

；./=府,故A正確：顯然?！?1,故B正確：a--=~=----,故C不正確；當(dāng)〃取偶

，小行

數(shù)，歹？=同；當(dāng)”取奇數(shù)，汩=小故D不正確.故選AB.

三、填空題

8.二次根式-X成立的條件是國(guó)!.

解析：因?yàn)閁?=|x|=—x,所以xWO.

9.已知a>0,/?（）,化簡(jiǎn)：（/盧班^二次4用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥表示）

解析：(?=?(a〃')2=a?a%2=/!M.

10.卜舛關(guān)東式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)希的4化止確的是@］.（填序號(hào)）

①一5=D%>O）；

X1

②否=）3（yVO）；

?.r—1=—A/A-(A#0).

￡xJi

解析：當(dāng)x>0時(shí)，一/=-x2,故①錯(cuò)誤；當(dāng)）YO時(shí)，<p>0,/<0?故②錯(cuò)誤；當(dāng)x>0時(shí),

無一（=/與=、^0，故③正確：當(dāng)今0時(shí)，x—：=」一,故④錯(cuò)誤.

四、解答題

11.計(jì)算下列各式（式中字母均為正數(shù)）.

1）+聶+"（_*齊一獷

解：（1）原式=

（2）崎一9.5。一闔*|）=髀1一圖，+（1）與+0）,+0）T

12.（1）化筒?：27-|-（1）-，+（^-（<2）0.

a。一9/,4/>2

⑵先化簡(jiǎn)，再求值,已知4=2小，b=5y/2,求、（、”八的值.

446+6/f+9護(hù)-3b~）

解：（1）27—卜停）「+（舒-而。=（33）―卜7+R|）2卜］=97+圻］=-6.

心一朔_________從

（2）聲+6//+9///（。3-3的=

（〃一3層）（〃+3/）尤

，（“；+3+）2/（蘇-3b2）

（/一34）（/+3〃）

蘇+3〃*

h2_b2

/（/—3y）a~'

因?yàn)閍=26，b=5巾,所以

642

a-9birh(56尸5025

4/+6a3/>2+9〃/(/_3廬廠巾)2_28.14"

士曲?cPb2

13.化簡(jiǎn)，S，〃為正數(shù)）的結(jié)果是（C)

4揚(yáng)?3W)4

B

A-A-,

C.a2b2D.ab

3（_11?

劍土二遍?a2b?（a〃）％2護(hù)a'b'、、

解析：-1=—――

7炳柿）4份（j/肅

14.化簡(jiǎn)：yjy[ci^=L

解析：因?yàn)?7^有意義，所以”>0,所以原式=、/5?"一%\/=電系八/浸=a+a=

1.

15.求值:

3

(I

(2)0.008—q

(2)0.008

221IQ

(0.23)—§—1+2—§X3+2一1X3=5—I+工+工=亍

4.1.2無理數(shù)指數(shù)孱及其運(yùn)算性質(zhì)

課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)

1.逋過對(duì)實(shí)數(shù)指數(shù)每4(。>0，且"1,?GR)能夠結(jié)合教材實(shí)例了解指數(shù)疑的拓展過

含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)幕的拓展過程.程，掌握實(shí)數(shù)指數(shù)累及其運(yùn)算性質(zhì)在指數(shù)運(yùn)

2.掌握實(shí)數(shù)指數(shù)賽的運(yùn)算性質(zhì).算中的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

必備知識(shí)梳理課法談習(xí)?息吐務(wù)實(shí).

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第088頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)無理數(shù)指數(shù)事的運(yùn)算

1.無理數(shù)指數(shù)耗的運(yùn)算的實(shí)質(zhì)：即當(dāng)指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)拓展到了無理數(shù)時(shí)，它仍然是

一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，并且在數(shù)軸上有唯一的一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng).

2.無理數(shù)指數(shù)累：一般地，無理數(shù)指數(shù)累a〃(a>0,a為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).

3.實(shí)數(shù)指數(shù)箱的運(yùn)算法則：

(l)a"=，，(a>0,r,.yGR).

(2)(ar)s=an(a>0,r,s&R).

(3)(a〃)'=a7“a>0,b>0,rGR).

(4)拓展：^=ar~\a>0,r,s￡R).

特別強(qiáng)調(diào)底數(shù)a>0,如果〃<0,比如(一1/，無法判斷其值是1還是一1.

I判一判「

判斷正誤.(正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”)

1.當(dāng)aX)時(shí)，3)=3>(、')

2.6-十是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).(V)

3.他+小博-力?(小一巾川-普=1.(V)

4(加?4=22廣正(J)

快鍵能力提升課堂極定?要點(diǎn)心講

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第088頁(yè)

類型一無理數(shù)指數(shù)鬲的運(yùn)算

[例1]1\算下列各式的值(式中字母均為正數(shù))：

⑴(20而向寸：

(2)4#?3*-力->川?廠里

正

【解】（1）原式=（2g/JAf=

2近甘“普義鄧=1024〃戶.

..H2v5

（2）原式=_12入忑一審廣/5_￥=_12,3.

/通法提煉k

1.無理數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)與有理數(shù)指數(shù)零的運(yùn)算性質(zhì)相同.

2.在進(jìn)行無理數(shù)指數(shù)糯的運(yùn)算時(shí)，一定要注意按照運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行變形、計(jì)算，不能為了簡(jiǎn)化

某一個(gè)數(shù)字而改用、錯(cuò)用公式,若式子中含有根式，一般把底數(shù)中的根式化為指數(shù)式.

【變式訓(xùn)練I】計(jì)算下列各式的值：

⑴①x?。?-4X噴）2-（2023）。+加F-4小.2-20

（7r\P\H255

（2）原式=|半「=（n3）2=7t.

類型二指數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【例2】從盛滿2.5升飲料瓶中倒出一半，然后加滿水后搖勻，再倒出一半，后又用水填滿

搖勻，以此方式繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒生次后才能使飲料的濃度低于10%.

【解析】由題意，得第〃次操作后滂液的濃度為（】一0",令（0；*,驗(yàn)證可得〃X所以

至少應(yīng)倒4次后才能使飲料的濃度低于10%.

/通法提煉k

指數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用

在解決成倍數(shù)遞增（遞減）、固定增長(zhǎng)率等問題時(shí)，常常用到指數(shù)運(yùn)算，用來計(jì)算增減的次數(shù)、

增減前后的數(shù)量等.

【變式訓(xùn)練2】如果在某種紐菌培養(yǎng)過程中，細(xì)菌每5分鐘分裂?次（I個(gè)分裂成2個(gè)），那

么經(jīng)過1小時(shí)，一個(gè)這種細(xì)菌可以分裂成4（）96個(gè).

解析：經(jīng)過I小時(shí)可分裂12次，可分裂成2^=4096（個(gè)）.

類型三實(shí)數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算背景下的“給值求值”，問題）

【例3】已知）+/=3,求下列各式的值.

(l)a4+?-4：(2)-7----

a2-a~2

ii

【解】(1)將卞+。-5=3兩邊平方，得a+a「+2=9,即"+"「=7.

將a+〃r=7兩邊平方，有/+。-2+2=49,故q2+a2=47.

將cr+a~2=41兩邊平方，有/+〃r+2=2209,故a4+(r4=2207.

2_31_11I

3311cr—a'z(〃-aRm+a

(2)由于"一。一2=(/)3—(〃-2)3,所以有[----=---------T----j-------=

a~~a-^a~~a^

?+fl-,+l=7+l=8.

/通法提煉

利用整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計(jì)算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)

用恒等式是關(guān)鍵.

(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的計(jì)算問題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式.

常見的變形公式：

1I1]11

f+/2=(1±*-|)2孑2,2)2+2?r+x—7=(X4±X-J)2+2.

【變式訓(xùn)練3](1)已知x+#r=7,求值：①/+益②—2

(2)已知廣+/。=2小，A>1,且a<0,求y1--。的值.

I1

解：(1)①設(shè)〃?=/+與巧，兩邊平方得/〃2=%+/I+2=7+2=9,

因?yàn)閙>0,所以〃1=3,即W+/2=3.

②設(shè)n=^~x~2,兩邊平方得2=7—2=5,

因?yàn)?ER,所以八=±、/5,

即r-x~2=±y[5.

所以x—=8+/2)8-x?=±3小，

^2-X-2=(X+X-,)(A-x-')=±21小,

(2)由f+F。=2小，兩邊平方，

得/+/2“+2=20,

則口+/2"=18,

，(d-%一")2=~2=16.

VA>1,且a<0,x?>1,

則人—，

.*一—=—y[\6=—4.

即時(shí)演練達(dá)標(biāo)戰(zhàn)交檢潟?如識(shí)見田

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第089頁(yè)

1.計(jì)算(NlW的結(jié)果是:

解析：原式

x3n

2.oVo-n=L

解析：原式=4+竽一兀="°=L

3.(VW^XV^=46O8.

35.

解析：原式=(22X33)2V5=29X32=46O8.

4.方程30的解是三二中.

解析：???3fr=t'??30]=3一2,

y12x-1=-2,.*.x=一坐.

???方程3*門=志的解是x=一乎.

33

5.已知》+尸=3。＞0),則丁+「的值為2色.

解析：因?yàn)閤+xr=3,所以.￡+人工=7,所以12+/。：:=13+/3+2=(^+/，。2+.-2—1)

33

+2=3X6+2=20,所以/+上巧=24.

課堂小結(jié)

----------------------------D-----

1.知識(shí)回顧

(1)無理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算.

(2)指數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

(3)實(shí)數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算背景下的“給值求值”問題.

2.易錯(cuò)提醒

這和過程中，注意實(shí)數(shù)指數(shù)耗貶算性膜的前提條件.

課時(shí)作業(yè)28

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第280頁(yè)

g基礎(chǔ)鞏固

一、單項(xiàng)選擇題

1.對(duì)于a>0,bX）,以下運(yùn)算王確的是（B）

A.ar*a"=arsB.（aj=an

C.（f）=arbr

D.a9=（曲）大

解析：根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)簌的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷.

2.下列運(yùn)算中正確的是（D）

A.a2/=〃6d（a〉o）

B.（一/）3=（—/）2

C.（加-2）。=1（心0）

D.（—6?W=-a'。d（">0）

解析：///d=/d（a>0）,故A錯(cuò)誤；（一標(biāo)）3=-a2,3=-q6,（―/）?=。6,故B錯(cuò)誤:

當(dāng)a=4時(shí)，（g—2）°無意義，故C錯(cuò)誤；（一424）5=—/。小。>0）,故D正確.

3.若3。?9〃=/則下列等式正確的是（C）

A.a+〃=-IB.a-\-b=1

C.aI2b=~\D.aI25=1

解析：3“?9匕=3o?33=3"+2b=:=3-1,

J

??a-\-2b=-1.

4.3口義（；）+（22/*+1/=（B）

A.17B.18

C.6D.5

解析：原式=（3x；＞+2?d"d+l=l"+2"+l=18.

5.22A-,-22A+,4-22X=（C）

A.22*B.22c

C.-2^,D.

解析：原式=2"1—22X2"[+2X2有'=（l-4+2）X22*?=-22*?.

二、多項(xiàng)選擇題

6.下列計(jì)算正確的是（BC）

A.中（-3）4=后5

B.3%）（一34%*0/勾=-94（〃>°，b>0）

c.缶=/

D.已知f+/2=2,則》+r|=2

解析：1/二可=1狗中，故A錯(cuò)誤；（思）（一3節(jié)蔽）=

5

-

一炳+廠祉5+§6—9a,故B正確；由于故C正確;

因?yàn)閒+/2=*+/|）2-2=2,所以（X+X））2=4,則X+X「=±2,故D不正確.

7.已知a-d+d=3,下列各式中正確的是（ABCD）

A.a2ypA-a2yp—7

B./d+l3d=]8

C.a坐+a一坐=小

D."g+丁加=2小

解析：因?yàn)?2d=（“-W+N）2—2=9—2=7,所以A正確；a3yp+a~3yp=（a~

正

yp+（rj3）（a~2yp—\+a2^）=3X6=18,所以B正確；由f+tr^=3可知a>0,a2+a

一乎>0,（。*+。一坐）=cN+2+a/=5,所以。2+a—理=小，所以C正確：因?yàn)椤?/p>

___.鼻巧3S

一2附+7^菽=-2-"2’又廣邛+胃J“-3『+蘇小+2=20,

所以原式=2小，所以D正確.故選ABCD.

三、填空題

33

1?^+X~2~3.

8.若產(chǎn)+大-2=3,則*+、-2=]

解析：由J+x—g=3,兩邊平方，得x+x「=7,再平方得/+/2=47..?./+%-2-2=45,

11

9.設(shè)a,夕是方程5f+10x+l=0的兩個(gè)根，則2。?2"=1(2呼=2。

解析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得〃+/?=—2,磔==則2。?2。=2。+/'=2-2=；,(2"產(chǎn)

2

=2知=25.

10.當(dāng)a<0時(shí)，化簡(jiǎn)“蘇?胡？?小=二@

解析：yfcr9yfa19(i~1=|</|X?Xd-1=|t/|.Va<0,|?|=-a.

=\a\=-a.

四、解答跪

.33

11.已知x>0,而+不=2,求f+x-?的值.

解；因?yàn)?v>0,5.+右=2,所以/+*-*=2,■+/，=x+i-1+2=4..,?X+AT?=2..，?/+

12.已知。入=3,求的值.

(消一4、)(戶+〃f),lrI8

解:原式=聲萍=,a_〃」=3_?=不

是素養(yǎng)升級(jí)

13.己知2"=5"=m，且十+1=2,則6=(A)

A.V>0B.10

C.20D.100

解析：由題意得心0,,：2a=m,5b=m,：.2=nf,5=〃F,?；2義5=//=帖+木Aw2

=10,.*.m=7io.

14.已知2r=即力,3=3-9.則K+3，=22.

解析：由2心8汨，得2，=23y3,所以x=3y+3.①

由9V=3'?得32，=3L9,所以2)=L9.②聯(lián)立①②，解得i=21,y=6,所以x+y=27.

15.己知方程x2—8x+4=0的兩根為xi，M(XI<A2).

(1)求疝2一入屋的值；

⑵求X—21-x~22的值.

解：由題意知Xi+X2=8,

X\*X2=4,0<.V|<￥2.

（1訪2—后2=

（X|+X2）（X2-X|）_X2-X1_

U1X2）2-2一

73+x2>—4.M[X2*\/64-16

—1

A2

11V

-

2--?

(x

yjxi+也一2班兇-2xy/i

而=2=L

4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

課標(biāo)解讀素養(yǎng)目標(biāo)

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對(duì)底數(shù)的限制條1.通過理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，發(fā)展數(shù)學(xué)

件的合理性.抽象素養(yǎng).

2.了解指數(shù)增長(zhǎng)型和指數(shù)衰減型在實(shí)際問題2.通過指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模

中的應(yīng)用.素養(yǎng).

必備知識(shí)梳理課曲凝習(xí)?在吐芬實(shí)-

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第090頁(yè)

知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)v="（〃>0,且W1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

指數(shù)函數(shù)概念只是一個(gè)描述性妁形式上的定義，判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵有三點(diǎn)：

只有一個(gè)自變量

/

y=a'*\

系數(shù)為1底數(shù)大于。且不等于1

（1）"的系數(shù)必須為1;（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；（3）指數(shù)處只有一

個(gè)自變量，而不是含自變量的多項(xiàng)式.另外也要注意：由于因此也是

指數(shù)函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二兩類指數(shù)模型

].y=ka\kX）,00且/1）,當(dāng)日時(shí)為指數(shù)增長(zhǎng)型函數(shù)模型.

2j=h/">0,”>0且分1）,當(dāng)心旦時(shí)為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

I判一判r

判斷正誤.（正確的畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”）

1.函數(shù)），=31是指數(shù)函數(shù).iX）

2.若<*）=仆為指數(shù)函數(shù)，則>0.（X）

3.y=x'（xX））是指數(shù)函數(shù).（X）

4.），=G）是指數(shù)衰減型函數(shù)模型.（，）

5.我國(guó)2010年底的人口數(shù)為M,人口年平均增長(zhǎng)率為p,到2024年底我國(guó)的人口數(shù)是M（1

+〃）”.（4）

快鍵能力提升課交極完?要點(diǎn)也講

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第090頁(yè)

類型一指數(shù)函數(shù)的概念

【例1】（1）下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（D）

①y=（-8尸：@y=2xr—\x③y=/：④y=2?3》.

A.IB.2

C.3D.0

【解析】①中底數(shù)一8<0,所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量臬而是工的函數(shù)，所

以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)。，只有規(guī)定。>0且舁I時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)：④中3、前的系數(shù)是

2,而不是I,所以不是指數(shù)函數(shù).故選D.

（2）若p：函數(shù)/代）=（加一3卅+3）”是指數(shù)函數(shù)，q：〃?2-3〃?+2=0,則q是〃的（C）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】命邃p真,則〃尸一3〃?+3=1,解得/〃=1或2,又加#1,.?.〃J=2;q為真，則/〃

=1或2,??.，/是〃的必要不充分條件.故選C.

通法提煉

判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法

(1)底數(shù)的值是否符合要求.

(2)行前的系數(shù)是否為1.

⑶指數(shù)是否符合要求.

【變式訓(xùn)練I】下列函數(shù)既不是界函數(shù)乂不是指數(shù)函數(shù)的是(C)

A.負(fù)x)=(；)B.J(x)=y[x

C.J(x)=Zx2D.Xx)=2lv

解析：對(duì)于A,?r)=e)'是指數(shù)函數(shù)，不合題意：對(duì)于B,火工)=5=/是承函數(shù)，不合

題意：對(duì)于C,人工)=2-既不是指數(shù)函數(shù)，又不是簇函數(shù)，符合題意：對(duì)于D,51)=2￡=4*

是指數(shù)函數(shù)，不合題意.故選C.

類型二求指數(shù)函數(shù)的解析式或求值

【例2】⑴已知指數(shù)函數(shù)產(chǎn)d+3—2)(。-3)的圖象過點(diǎn)(2,4),則。=2.

【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義可知，(〃-2)(“-3)=0,解得。=2或a=3.

當(dāng)〃=2時(shí)，指數(shù)函數(shù))，=2、的圖象過點(diǎn)(2,4),符合題意；

當(dāng)。=3時(shí)，指數(shù)函數(shù)>，=3、的圖象不過點(diǎn)(2,4),應(yīng)舍去.綜上，a=2.

(2)若指數(shù)函數(shù)丁=/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一2,則人2)嗔1)=(C)

A.-3B.9

C.27D.81

【解析】由指數(shù)函數(shù))，=1X)=r3>0,且"1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一2,可得〃-2=/解得

a=3,函數(shù)的解析式為y=3L,A2)^1)=32X31=27.

/通法提煉k

求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，

求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2]⑴設(shè)函數(shù)/)=〃3>0,且的)滿足火2)=9,則項(xiàng)=(D)

9

A.5B.3

C.D.小

解析：??7(x)=",42)=9,，又0>o,，。=3,.\Ax)=3v,???_/(；)=小，故選D.

（2）已知函數(shù)為實(shí)數(shù)集上的漕函數(shù)，且滿足；（/（X）一2，）=3,則/（2）=（C）

A.3B.4C.5D.6

解析：因?yàn)開/（/。）一2，）=3,所以令火人）-2*=/可得火x）=2'+r,火。=3,所以T+r=3,所

以f=l,即/（x）=2，+l,所以=2）=5.故選C.

類型三指數(shù)增長(zhǎng)型和指數(shù)衰減型函數(shù)模型的應(yīng)用）

【例3】（I）將一張報(bào)紙連續(xù)對(duì)折，折費(fèi)次數(shù)工與對(duì)應(yīng)的層數(shù)了之間存在什么關(guān)系？對(duì)折后

的面積S（設(shè)原面積為1）與折疊的次數(shù)有怎樣的關(guān)系？

【解】

折疊次數(shù)對(duì)應(yīng)層數(shù)對(duì)折后的面枳s

x=\y=2=2'5=1

S=4=(ff

x=2y=4=22

3

x=3y=8=2s士?

?????????

由上面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以歸納出第九次折疊后對(duì)應(yīng)的層數(shù)為y=2Yx￡N'），對(duì)折后的面

積5=（§GWN"）.

⑵某種細(xì)菌經(jīng)60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的3倍，且知該細(xì)菌的繁殖規(guī)律為），=10e3其中

k,e為常數(shù)，且e=2.71828...,f表示時(shí)間（單位：小時(shí)），），表示細(xì)菌個(gè)數(shù)，10個(gè)細(xì)菌經(jīng)過7

小時(shí)培養(yǎng)，細(xì)菌能達(dá)到的個(gè)數(shù)為21的70.

【解析】設(shè)原來的細(xì)菌數(shù)為&由題意可得，

當(dāng)f=l時(shí)，y=3a,所以3a=IOe&,即d=瑞.

當(dāng)〃=10時(shí)，9=3,所以y=l0?'=10?3,，

若1=7,則可得此時(shí)的細(xì)菌數(shù)為y=10X37=21870.

通法提煉

關(guān)于函數(shù)y=k/'在實(shí)際問題中的應(yīng)用

（1）函數(shù)），=初”是用來刻畫指數(shù)增長(zhǎng)或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型，一般當(dāng)Q0

時(shí)，若則刻畫指數(shù)增長(zhǎng)變化規(guī)律；若則刻畫指數(shù)衰減變化規(guī)律.

（2）解決此類問題可利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件確定出解析式中的系數(shù)后，利用指數(shù)運(yùn)算解題.

【變式訓(xùn)練3］（1）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2018年年底某編遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3

（）00元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2025年

年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為（B）

A.3OOOX1.06X77E

B.3()00X1.067元

C.3OOOX1.06X87C

D.3000X1.068元

解析：設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，根據(jù)題意可得)，=3000X1.06,從2018

到2025年共經(jīng)過了7年，所以2025年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為3000X1.067元.

(2)為響應(yīng)國(guó)家退耕還林的號(hào)召，某地的耕地面積在最近50年內(nèi)減少了10%,如果按此規(guī)律，

設(shè)2018年的耕地面積為m蛆2023年的耕地面積為(B)

I

A.(1一0.12的)mB.0.9正陽(yáng)

I

C.O.9250"?D.(1—0.9而加

I

解析：設(shè)每年減少的百分率為小由題意得，(1一。產(chǎn)=1-10%=0.9,則1一“=0.9可由2018

I

年的耕地面積為ni,得2023年的耕地面積為(1—

即時(shí)演練達(dá)標(biāo)M交檢洲?加識(shí)鞏田一

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第092頁(yè)

1.若函數(shù)y=(〃F—/是指數(shù)函數(shù)，則/〃=(C)

A.-1或2B.-1

C.2D.1

rn2-m-1=1,

解析：依題意，有:解得,〃=2(,〃=—1舍去).

W>0且,

y[x,x20,

2.設(shè)函數(shù)凡0={“丫則人/(-4))=(D)

⑸，x<0,

A.—4B.(

C.1D.4

解析：?.?一4<0,—4)=g)=24=16X),因此,/(/(一4))=穴16)=/=4,故選D.

3.若指數(shù)函數(shù)人》?)的圖象過點(diǎn)(3,8),則G+坐

解析：設(shè)風(fēng)r)="m〉0,且件1),則由43)=8,得/=8,：,a=2,

?\A?=23???4一§=2—3=坐.

4.春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出的荷葉覆蓋水面面枳是前一天的

2倍，若荷葉20人可以完全長(zhǎng)滿池地水面，當(dāng)荷葉剛好覆盜水田面積一半時(shí)，荷葉已生.長(zhǎng)了

坨天.

解析：設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為則x天后荷葉覆蓋水面的面積為y=a?2'(x￡N').根

據(jù)題意，令2(a?2')=a?220,解得x=19.

5.某市2022年空氣污染指數(shù)比2012年減半，設(shè)從2013年起，空氣污染指數(shù)每一年比上一

年都減少“％.依據(jù)”到2022年空氣污染指數(shù)比2012年減半”列出關(guān)于p的關(guān)系式為(I—

〃％嚴(yán)=白

解析：設(shè)2012年空氣污染指數(shù)為a,因?yàn)閺?013年起，空生污染指數(shù)每一年比上一年都減

少〃％,則a(l—〃％嚴(yán)=￥，(1一”％嚴(yán)=/

課堂小結(jié)

-----------------VF---

1.知識(shí)回顧

(1)指數(shù)函數(shù)的定義.

(2)待定系數(shù)法求指數(shù)函數(shù)解析式.

(3)指數(shù)增長(zhǎng)型和指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

2.易錯(cuò)提醒

易忽視指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a的限制條件：a>0且

課時(shí)作業(yè)29

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第282頁(yè)

八里基礎(chǔ)鞏固

一'單項(xiàng)選擇題

I.下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是(C)

A.y=x4B.y=3?2'

C.y=TCxD.y=(-4)r

解析：對(duì)于A,是賽的數(shù)；對(duì)于B,y=3X2，系數(shù)不為1,不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于C,)，

=爐是底數(shù)為兀的指數(shù)函數(shù)；對(duì)于D,,=(-4),底數(shù)不滿足大于0且不為1,故不是指致的

數(shù)，故