2015年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（福建）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)第I卷（選擇題共50分）一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若集合（是虛數(shù)單位），，則等于()A．B．C．D．【答案】C【考點(diǎn)定位】1、復(fù)數(shù)的概念；2、集合的運(yùn)算．【名師點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念和集合的運(yùn)算，利用和交集的定義求解，屬于基礎(chǔ)題，要注意運(yùn)算準(zhǔn)確度．2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．B．C．D．【答案】D【考點(diǎn)定位】函數(shù)的奇偶性．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，除了要掌握奇偶性定義外，還要深刻理解其定義域特征即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，否則即使?jié)M足定義，但是不具有奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．3．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（）A．11B．9C．5D．【答案】B【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義．【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線的定義列方程求解，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入（萬(wàn)元）8.28.610.011.311.9支出（萬(wàn)元）6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶(hù)收入為15萬(wàn)元家庭年支出為()A．11.4萬(wàn)元B．11.8萬(wàn)元C．12.0萬(wàn)元D．12.2萬(wàn)元【答案】B【考點(diǎn)定位】線性回歸方程．【名師點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，要正確利用平均數(shù)公式計(jì)算和理解線性回歸方程的意義，屬于基礎(chǔ)題，要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．5．若變量滿(mǎn)足約束條件則的最小值等于()A．B．C．D．2【答案】A【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃．【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃，要正確作圖，首先要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，什么時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取到最大值，解該類(lèi)題目時(shí)候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很容易出錯(cuò)，屬于基礎(chǔ)題．6．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為()A．2B．1C．0D．【答案】C【考點(diǎn)定位】程序框圖．【名師點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，關(guān)鍵在于讀懂框圖有什么功能，要注意依序進(jìn)行，認(rèn)真判斷條件來(lái)決定程序的執(zhí)行方向．理解每個(gè)變量和框圖的關(guān)系．運(yùn)算量不大，重在理解，重在細(xì)心，屬于基礎(chǔ)題．7．若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【考點(diǎn)定位】空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查空間直線、平面的位置關(guān)系，要理解線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化以及線線平行和線面平行的轉(zhuǎn)化還有平行和垂直之間的內(nèi)部聯(lián)系，長(zhǎng)方體是直觀認(rèn)識(shí)和描述空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系很好的載體，所以我們可以將這些問(wèn)題還原到長(zhǎng)方體中研究．8．若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A．6B．7C．8D．【答案】D【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．【名師點(diǎn)睛】本題以零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)，其中分類(lèi)討論和邏輯推理是解題核心．三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，項(xiàng)與項(xiàng)之間是有順序的，但是等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)是唯一的，故可以利用中項(xiàng)進(jìn)行討論，屬于難題．9．已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A【考點(diǎn)】1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式．【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，通過(guò)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，同時(shí)將數(shù)量積的最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問(wèn)題，本題容易出錯(cuò)的地方是對(duì)的理解不到位，從而導(dǎo)致解題失?。?0．若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，其導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，常可使問(wèn)題變得明了，屬于難題．第II卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.11．的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于．（用數(shù)字作答）【答案】【考點(diǎn)定位】二項(xiàng)式定理．【名師點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的特定項(xiàng)問(wèn)題，往往是根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)和所求項(xiàng)的聯(lián)系解題，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確度．12．若銳角的面積為，且，則等于________．【答案】【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、余弦定理．【名師點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題；知道兩邊和其中一邊的對(duì)角，利用余弦定理可以快捷求第三邊，屬于基礎(chǔ)題．13．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，函數(shù)，若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于．【答案】【考點(diǎn)定位】幾何概型．【名師點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果由等可能的無(wú)限多個(gè)結(jié)果組成時(shí)，利用古典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的比值（一個(gè)變量）、面積的比值（兩個(gè)變量）、體積的比值（三個(gè)變量或根據(jù)實(shí)際意義）來(lái)求，屬于中檔題．14．若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)求值域．【名師點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的值域問(wèn)題，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其值域是各段函數(shù)值取值范圍的并集，將分段函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，是本題的一個(gè)亮點(diǎn)，要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．15．一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱(chēng)為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算定義為：．現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定等于．【答案】．【考點(diǎn)定位】推理證明和新定義．【名師點(diǎn)睛】本題以二元碼為背景考查新定義問(wèn)題，解決時(shí)候要耐心讀題，并分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，．三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢(qián)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析，期望為．所以．【考點(diǎn)定位】1、古典概型；2、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望．【名師點(diǎn)睛】本題考查古典概型和隨機(jī)變量的期望，第一問(wèn)，將事件轉(zhuǎn)化為所選的三個(gè)密碼都不是該銀行卡密碼，共有種，而基本事件總數(shù)為，代入古典概型概率計(jì)算公式；第二問(wèn)，寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量所有可能取值，并求取相應(yīng)值的概率，寫(xiě)成分布列求期望即可．確定離散型取值時(shí)，要科學(xué)兼顧其實(shí)際意義，做到不重不漏，計(jì)算出概率后要注意檢驗(yàn)概率和是否為1，以便及時(shí)矯正。17．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：平面；(Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)．（Ⅱ）同解法一．【考點(diǎn)定位】1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質(zhì)；3、二面角．【名師點(diǎn)睛】本題考查直線和平面平行的證明和二面角求法，直線和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證，注意線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化；利用坐標(biāo)法求二面角，主要是空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求出半平面法向量夾角后，要觀察二面角是銳角還是鈍角，正確寫(xiě)出二面角的余弦值．18.．已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)G在以AB為直徑的圓外．【考點(diǎn)定位】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】本題通過(guò)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系來(lái)考查中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理確定圓心，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；也可以構(gòu)造向量，通過(guò)判斷數(shù)量積的正負(fù)來(lái)確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上，本題綜合性較高，較好地考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．19．已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程；(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．（1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)證明：【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）詳見(jiàn)解析．【考點(diǎn)定位】1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)；2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式．【名師點(diǎn)睛】本題通過(guò)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系來(lái)考查中點(diǎn)問(wèn)題，利用韋達(dá)定理確定圓心，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；也可以構(gòu)造向量，通過(guò)判斷數(shù)量積的正負(fù)來(lái)確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上，本題綜合性較高，較好地考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．20．已知函數(shù)，(Ⅰ)證明：當(dāng)；(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)(Ⅲ)確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有．【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)詳見(jiàn)解析；(Ⅲ)．【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類(lèi)問(wèn)題的根本，從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來(lái)證明，在2014年全國(guó)Ⅰ卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過(guò)研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來(lái)判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)．21．本題設(shè)有三個(gè)選考題，請(qǐng)考生任選2題作答.選修4-2：矩陣與變換已知矩陣(Ⅰ)求A的逆矩陣；(Ⅱ)求矩陣C，使得AC=B.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．【考點(diǎn)定位】矩陣和逆矩陣．【名師點(diǎn)睛】本題考查逆矩陣和逆矩陣的性質(zhì)，是通過(guò)伴隨矩陣和矩陣的乘法求解，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為(Ⅰ)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．【考點(diǎn)定位】1、參數(shù)方程和普通方程的互化；2、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化；3、點(diǎn)到直線距離公式．【名師點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及點(diǎn)到直線距離公式，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，