2011年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（廣東）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)試卷類型：A2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）本試題共4頁(yè)，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：答卷前，考生務(wù)必用黑色自己的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)，填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求做大的答案無(wú)效。作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效?？忌仨毐３执痤}卡得整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：柱體的體積公式 V=Sh其中S為柱體的底面積，h為柱體的高線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式其中表示樣本均值。N是正整數(shù)，則…）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則=A．B.C.Ｄ．2．已知集合

∣為實(shí)數(shù)，且，為實(shí)數(shù)，且，則的元素個(gè)數(shù)為Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．33.若向量ａ，ｂ，ｃ滿足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，則Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．04.設(shè)函數(shù)和分別是Ｒ上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是Ａ．是偶函數(shù)Ｂ．是奇函數(shù)Ｃ．是偶函數(shù)Ｄ．是奇函數(shù)5.在平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定。若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為A．B．C．4D．36.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要在贏一次就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為A．B．C．D．7.如圖1－3，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為A.B.C.D.8.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是A.中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的B.中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C.中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的D.中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。(一）必做題（9-13題）9.不等式的解集是.10.的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（用數(shù)字作答）11.等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若，則k=____________.12.函數(shù)在x=____________處取得極小值。13.某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高為_(kāi)____cm.選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩面線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.15.（幾何證明選講選做題）如圖4，過(guò)圓外一點(diǎn)分別作圓的切線和割線交圓于,，且=7，是圓上一點(diǎn)使得=5，∠=∠,則=。解答題。本大題共6小題，滿分80分。解答需寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。（本小題滿分12分）已知函數(shù)求的值；設(shè)求的值.17.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)12345x169178166175180y7580777081已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175，且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。18.(本小題滿分13分)如圖5.在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長(zhǎng)為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).(1)證明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小題滿分14分)設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切。（1）求圓C的圓心軌跡L的方程;（2）已知點(diǎn)M，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).20.（本小題共14分）設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，21.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy上，給定拋物線L:.實(shí)數(shù)p，q滿足，x1，x2是方程的兩根，記。（1）過(guò)點(diǎn)作L的切線教y軸于點(diǎn)B.證明：對(duì)線段AB上任一點(diǎn)Q(p，q)有（2）設(shè)M(a，b)是定點(diǎn)，其中a，b滿足a2-4b>0,a≠0.過(guò)M(a，b)作L的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與y軸分別交與F,F'。線段EF上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為X.證明：M(a,b)X;（3）設(shè)D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.當(dāng)點(diǎn)(p,q)取遍D時(shí)，求的最小值（記為）和最大值（記為）.2011年廣東高考理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案BCDACDBA二、填空題９.； 10.84； 11.10； 12.2； 13.185；14.； 15.；三、解答題16．解：(1);(2)，，又，，，，又，，.17．解：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為；（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為；（3），，的分布列為012PAＳBＳCＳPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE18.解：(1)取AD的中點(diǎn)G，又PA=PD，，由題意知ΔABC是等邊三角形，，又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線，，，，(2)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，.19．解：（1）兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，，可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則，所以軌跡L的方程為．（２）∵，僅當(dāng)時(shí)，?。ⅲ剑ⅲ芍本€，聯(lián)立并整理得解得或，此時(shí)所以最大值等于2，此時(shí)．20．解（１）法一：，得，設(shè)，則，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．法二：（?。┊?dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，由①②知，，．（２）（?。┊?dāng)時(shí)，，故時(shí)，命題成立；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，以上n個(gè)式子相加得，．故當(dāng)時(shí)，命題成立；綜上（?。áⅲ┲}成立．21．解：（１），直線AB的方程為，即，，方程的判別式，兩根或，，，又，，得，．（２）由知點(diǎn)在拋物線L的下方，①當(dāng)時(shí)，作圖可知，若，則，得；若，顯然有點(diǎn)；．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，作圖可知，若，則，且；若，顯然有點(diǎn)；．根據(jù)曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，（*）；由（１）知點(diǎn)M在直線EF上，方程的兩根或，同理點(diǎn)M在直線上，方程的兩根或，若，則不比、、小，，又，；又由（１）知，；，綜合（*）式，得證．（３）聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知，過(guò)點(diǎn)作拋物線L的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，解得，又，即，，設(shè)，，，又，；，，．2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試【廣東卷】（理科數(shù)學(xué)）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第2頁(yè)，第Ⅱ卷第3頁(yè)至第4頁(yè)．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：（每小題5分，共60分）【2011廣東理，1】1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則()．A．B．C．D．【答案】B．【解析】依題意得，故選．【2011廣東理，2】2．已知集合為實(shí)數(shù),且,為實(shí)數(shù),且,則的元素個(gè)數(shù)為()．A．0B．1C．2D．3【答案】C．【解析】題意等價(jià)于求直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫大致圖像可得答案．【2011廣東理，3】3．若向量，，滿足∥且⊥，則()．A．4B．3C．2D．1【答案】D．【解析】因?yàn)椤吻摇?所以⊥，從而．【2011廣東理，4】4．設(shè)函數(shù)和分別是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()．A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】A．【解析】依題意,故,從而是偶函數(shù)，故選A．xyO2A【2011廣東理，5】5．已知平面直角坐標(biāo)系上的區(qū)域由不等式組給定．若為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為()．xyO2AA．B．C．D．【答案】C．【解析】目標(biāo)函數(shù)即,畫出可行域如圖所示，代入端點(diǎn)比較之，易得當(dāng)時(shí)取得最大值,故選C．【2011廣東理，6】6．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()．A．B．C．D．【答案】D．【解析】設(shè)甲隊(duì)獲得冠軍為事件,則包含兩種情況:(1)第一局勝;(2)第一局負(fù)但第二局勝;故所求概率,從而選D．【2011廣東理，7】7．如圖，某幾何體的正視圖（主視圖）是平行四邊形，側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()．A．B．C．D．【答案】B．【解析】該幾何體是以正視圖所在的平行四邊形為底面，高為的四棱柱，又平行四邊形的底邊長(zhǎng)為,高為,所以面積,從而所求幾何體的體積,故選B．【2011廣東理，8】8．設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若是的兩個(gè)不相交的非空子集,,且,有；,有,則下列結(jié)論恒成立的是()．A．中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的B．中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的C．中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的D．中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A．【解析】因?yàn)?故必有或,不妨設(shè),則令,依題意對(duì),有,從而關(guān)于乘法是封閉的;(其實(shí)到此已經(jīng)可以選A了,但為了嚴(yán)謹(jǐn),我們往下證明可以有一個(gè)不封閉以及可以兩個(gè)都封閉),取,則為所有負(fù)整數(shù)組成的集合,顯然封閉,但顯然是不封閉的,如;同理,若奇數(shù)，偶數(shù)，顯然兩者都封閉，從而選A．二、填空題：本大題共7小題．考生作答6小題．每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）【2011廣東理，9】9．不等式的解集是．【答案】．【解析】解法一:原不等式或或，解得,從而原不等式的解集為.解法二(首選):的幾何意義為到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的差,畫出數(shù)軸易得.解法三:不等式即,平方得,解得.．【2011廣東理，10】10．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）．【答案】84．【解析】題意等價(jià)于求的展開(kāi)式中的系數(shù),,令得,故所求系數(shù)為．【2011廣東理，11】11．等差數(shù)列的前9項(xiàng)和等于前4項(xiàng)和，若，則．【答案】10．【解析】由得,,故．【2011廣東理，12】12．函數(shù)在處取得極小值．【答案】2．【解析】,當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得極小值．【2011廣東理，12】13．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺，父親，兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm，因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的身高是cm．【答案】185．【解析】抓住“兒子的身高與父親的身高有關(guān)”提煉數(shù)據(jù)易得平均值,于是，，從而，,，所以線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）二、填空題：（每小題5分，共25分）【2011廣東理，14】14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為（0≤＜和（t∈R），它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】．【解析】對(duì)應(yīng)普通方程為,,聯(lián)立方程消去得,解得或(舍去),于是,,故所求交點(diǎn)坐標(biāo)為．【2011廣東理，15】15．（幾何證明選講選做題）如圖4，過(guò)圓外一點(diǎn)分別做圓的切線和割線交圓于，兩點(diǎn)，且，是圓上一點(diǎn)使得，，則．【答案】．【解析】結(jié)合弦切角定理易得,于是,代入數(shù)據(jù)解得．三、解答題：（本大題共6小題，共80分）【2011廣東理，16】16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)設(shè)，，，求的值．【解析】．(Ⅰ)；(Ⅱ)因?yàn)椋?，因?yàn)樗裕炙?，，所以．?011廣東理，17】17．（本小題滿分13分）為了解甲，乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采取分層抽樣的方法從甲，乙兩廠的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：編號(hào)123451691781661751807580777081(Ⅰ)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；(Ⅱ)當(dāng)產(chǎn)品中微量元素滿足且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；(Ⅲ)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽出的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．【解析】．解：(Ⅰ)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為件；(Ⅱ)樣本中滿足，且的產(chǎn)品有件,故樣本頻率為,則可估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品數(shù)量為件；(Ⅲ)的可能取值為,且,,．【或者】故的分布列為012的數(shù)學(xué)期望．【2011廣東理，18】18．（本小題滿分13分）如圖，在錐體中，是邊長(zhǎng)為1的菱形，且，，PB=2，，分別是，的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：⊥平面；(Ⅱ)求二面角的平面角．【解析】．(Ⅰ)取AD的中點(diǎn)G，又PA=PD，，由題意知ΔABC是等邊三角形，，又PG,BG是平面PGB的兩條相交直線，，，，(Ⅱ)由（1）知為二面角的平面角，在中，；在中，；在中，．另解：（Ⅰ）連接，，xyzM因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的菱形，且，xyzM是的中點(diǎn)，所以均為正三角形，且，所以所以，從而，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所?又，所以平面，所以，在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以又，所以平面.（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知為二面角的平面角,易得,,在中,,由余弦定理得所以二面角的余弦值為．解法二:先證明平面，即證明即可，在中，；在中，，所以在中，，．在中，，故為直角三角形，從而.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，從而，解得，令得顯然平面的一個(gè)法向量為，從而，所以二面角的余弦值為．【2011廣東理，19】19．（本小題滿分14分）設(shè)圓與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．(Ⅰ)求圓的圓心軌跡的方程；(Ⅱ)已知點(diǎn),且為上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】．（Ⅰ）設(shè)圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為,半徑為2；圓的圓心為,半徑為2；依題意,有或，所以．所以圓的圓心軌跡是以原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在軸上,焦距為,實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線,因此,,故軌跡的方程為.（Ⅱ）易得過(guò)點(diǎn)的直線的方程為,聯(lián)立方程，消去得,解得,則直線與雙曲線的交點(diǎn)為,因?yàn)樵诰€段外,所以,因?yàn)樵诰€段內(nèi),所以,若點(diǎn)不住上,則,綜上,的最大值為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.解析二：(Ⅰ)兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R，兩圓心為、，由題意得或，，可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則，所以軌跡L的方程為．(Ⅱ)∵，僅當(dāng)時(shí)，取＂＝＂，由知直線，聯(lián)立并整理得解得或(舍去)，此時(shí)．所以最大值等于2，此時(shí)．【2011廣東理，20】20．（本小題滿分14分）設(shè)，數(shù)列滿足,．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明：對(duì)于一切正整數(shù)，．【解析】．（Ⅰ）由得,當(dāng)時(shí),,所以是以首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,從而.當(dāng)時(shí),,所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以，從而.綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）當(dāng)時(shí),不等式顯然成立；當(dāng)時(shí),要證,只需證,即證(*)因?yàn)樗圆坏仁剑?）成立，從而原不等式成立；綜上所述，當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù),解析二：(Ⅰ)解法一：，得，設(shè)，則，（?。┊?dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．解法二：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，∴（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，由①②知，，．(Ⅱ)（?。┊?dāng)