2010年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（廣東）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)絕密★啟用前2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東A卷）數(shù)學(xué)（理科）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}則集合A

∩

B=A.{-1＜＜1}B.{-2＜＜1}C.{-2＜＜2}D.{0＜＜1}2.若復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=3-i，則z1·z2=A．4B.2+iC.2+2iD.33．若函數(shù)f（x）=3x+3-x與g（x）=3x-3-x的定義域均為R，則A．f（x）與g（x）均為偶函數(shù)B.f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)A．f（x）與g（x）均為奇函數(shù)B.f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)4.4.已知為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和。若，且與2的等差中項(xiàng)為，則=A．35B.33C.31D.295.“”是“一元二次方程”有實(shí)數(shù)解“的A．充分非必要條件B.充分必要條件C．必要非充分條件D.非充分必要條件6.如圖1，△ABC為三角形，//

//

,

⊥平面ABC

且3===AB,則多面體△ABC-的正視圖（也稱主視圖）是ABCD7已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3.1)，且p(2

≤X

≤4)=0.6826，則p（X>4）=A、0.1588B、0.1587C、0.1586D0.15858.為了迎接2010年廣州亞運(yùn)會(huì)，某大樓安裝5個(gè)彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個(gè)彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍(lán)中的一種顏色，且這5個(gè)彩燈商量的顏色各不相同。記這這5個(gè)彩燈有序地閃亮一次為一個(gè)閃爍，在每個(gè)閃爍中，每秒鐘有且僅有一個(gè)彩燈閃亮，而相鄰兩個(gè)閃爍的時(shí)間間隔均為5妙。如果要實(shí)現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時(shí)間至少是A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分。（一）必做題（9-13題）9.函數(shù)=lg(-2)的定義域是.10.若向量=（1,1,x）,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件=-2,則=.11.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=,A+C=2B,則sinC=.12.已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于y軸左側(cè)，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是13.某城市缺水問(wèn)題比較突出，為了制定節(jié)水管理辦法，對(duì)全市居民某年的月均用水量進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中n位居民的月均用水量分別為x1…xn(單位：噸)，根據(jù)圖2所示的程序框圖，若n=2,且x1，x2分別為1,2，則輸出地結(jié)果s為.14、（幾何證明選講選做題）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PD=，∠OAP=30°，則CP＝______.

15、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系（ρ，θ）（0

≤

θ<2π）中，曲線ρ=

與

的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_____。

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。16、（本小題滿分14分）已知函數(shù)在時(shí)取得最大值4(1)

求f(x)的最小正周期；(2)

求f(x)的解析式；(3)

若f(α

+)=,求sinα

17.(本小題滿分12分)某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區(qū)間為（490,，（495,，……（510,，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示。（1） 根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量。（2） 在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列。（3） 從流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有2件產(chǎn)品合格的重量超過(guò)505克的概率。18.（本小題滿分14分）如圖5，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)。平面AEC外一點(diǎn)F滿足FB=FD=a，F(xiàn)E=a圖5（1） 證明：EB⊥FD；（2）已知點(diǎn)Q,R分別為線段FE,FB上的點(diǎn)，使得BQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值。19.（本小題滿分12分）某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？20．（本小題滿分為14分）一直雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1） 求直線A與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式；（2） 若點(diǎn)H(O,h)（h>1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn)，且,求h的值。 21．（本小題滿分14分）設(shè)A(),B()是平面直角坐標(biāo)系xOy上的兩點(diǎn)，先定義由點(diǎn)A到點(diǎn)B的一種折線距離p(A,B)為P(A,B)=+.對(duì)于平面上給定的不同的兩點(diǎn)A(),B()(1) 若點(diǎn)C（x,y）是平面上的點(diǎn)，試證明P+PP;(2) 在平面上是否存在點(diǎn)C(x,y),同時(shí)滿足1. ①P+P=P②P=P若存在，請(qǐng)求所給出所有符合條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)予以證明。2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(理科)參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．1．D．【解析】．2．A．【解析】3．B．【解析】．4．C．【解析】設(shè){}的公比為，則由等比數(shù)列的性質(zhì)知，，即。由與2的等差中項(xiàng)為知，，．∴，即．，，.5．A．【解析】由知，．（或由得，。），反之不成立，故選A。6．D．7．B．【解析】8．C．【解析】共有5！=120個(gè)不同的閃爍，每個(gè)閃爍時(shí)間為5秒，共5×120=600秒；每?jī)蓚€(gè)閃爍之間的間隔為5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的時(shí)間至少是600＋595=1195秒。二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．9．．【解析】由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?0．2．【解析】，，解得．11．．【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，即．由知，，則，于是．12．．【解析】設(shè)圓心為，則，解得．13．．14．．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知，.在中，.由相交弦定理知，，即，所以．15．．【解法1】?jī)蓷l曲線的普通方程分別為．解得由得點(diǎn)的極坐標(biāo)為．【解法2】由得，，或，或（舍），從而，交點(diǎn)坐標(biāo)為。三、解答題：本大題共6小題，滿分80分。解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．，，，，．17．（1）重量超過(guò)505克的產(chǎn)品數(shù)量是件；（2）Y的所有可能取值為0，1，2；，，，Y的分布列為

（3）從流水線上任取5件產(chǎn)品，恰有2件產(chǎn)品合格的重量超過(guò)505克的概率為。18．（1）證明：連結(jié)，因?yàn)槭前霃綖榈陌雸A，為直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以。在中，。在中，，為等腰三角形，且點(diǎn)是底邊的中點(diǎn)，故。在中，，所以為，且。因?yàn)?，，且，所以平面，而平面，。因?yàn)椋?，且，所以平面，而平面，。?）設(shè)平面與平面RQD的交線為.由，，知.而平面，∴平面，而平面平面=，∴.由（1）知，平面，∴平面，而平面，∴，，∴是平面與平面所成二面角的平面角．在中，，，．在中，由知，，由余弦定理得，由正弦定理得，，即，。故平面與平面所成二面角的正弦值為。y19．解：設(shè)為該兒童分別預(yù)訂個(gè)單位的午餐和晚餐，共花費(fèi)元，則，且滿足以下條件y3x+2y=16x+y=73x+5y=27AB3x+2y=16x+y=73x+5y=27ABC2.5x+4y=0O作直線，平移直線至，x當(dāng)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可使達(dá)到最小值。x由即，此時(shí)，答:午餐和晚餐分別預(yù)定4個(gè)單位和3個(gè)單位，花費(fèi)最少z=22元。20．（1）解：由為雙曲線的左右頂點(diǎn)知，，，兩式相乘，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，故，所以，即直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解法1：設(shè)，則由知，。將代入得，即，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，即。同理，由與E只有一個(gè)交點(diǎn)知，，消去得，即，從而，又，。解法2：由題意知直線和都是橢圓E的切線，由對(duì)稱性知，兩直線的傾斜角分別為和，設(shè)其方程為，代入橢圓E的方程得，即由得，即，，21．（1）證明：由絕對(duì)值不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)