2009年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（全國卷Ⅰ）（解析卷）

第頁|共頁2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國卷Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）設(shè)集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，則集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】根據(jù)交集含義取A、B的公共元素寫出A∩B，再根據(jù)補集的含義求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故選A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?UA）∪（?UB）故選：A．【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單．2．（5分）已知=2+i，則復(fù)數(shù)z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i 【考點】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【分析】化簡復(fù)數(shù)直接求解，利用共軛復(fù)數(shù)可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故選：B．【點評】求復(fù)數(shù)，需要對復(fù)數(shù)化簡，本題也可以用待定系數(shù)方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集為（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0} 【考點】7E：其他不等式的解法．【分析】本題為絕對值不等式，去絕對值是關(guān)鍵，可利用絕對值意義去絕對值，也可兩邊平方去絕對值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集為{x|x＜0}．故選：D．【點評】本題主要考查解絕對值不等式，屬基本題．解絕對值不等式的關(guān)鍵是去絕對值，去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方．4．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D． 【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】11：計算題．【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于0，找到a和b的關(guān)系，從而推斷出a和c的關(guān)系，答案可得．【解答】解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得ax2﹣bx+a=0，因漸近線與拋物線相切，所以b2﹣4a2=0，即，故選：C．【點評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、雙曲線的離心率，基礎(chǔ)題．5．（5分）甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）A．150種 B．180種 C．300種 D．345種 【考點】D1：分類加法計數(shù)原理；D2：分步乘法計數(shù)原理．【專題】5O：排列組合．【分析】選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法，1名女同學(xué)來自甲組和乙組兩類型．【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51?C31?C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52?C61?C21=120種選法．故共有345種選法．故選：D．【點評】分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理，最關(guān)鍵做到不重不漏，先分類，后分步！6．（5分）設(shè)、、是單位向量，且，則?的最小值為（）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣ 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】16：壓軸題．【分析】由題意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函數(shù)的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是單位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故選：D．【點評】考查向量的運算法則；交換律、分配律但注意不滿足結(jié)合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】首先找到異面直線AB與CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考慮余弦定理，則只要表示出A1B的長度即可；不妨設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：設(shè)BC的中點為D，連接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角；并設(shè)三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長為1，則|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故選：D．【點評】本題主要考查異面直線的夾角與余弦定理．8．（5分）如果函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點（，0）中心對稱，那么|φ|的最小值為（）A． B． C． D． 【考點】HB：余弦函數(shù)的對稱性．【專題】11：計算題．【分析】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出φ的值，進而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函數(shù)y=3cos（2x+φ）的圖象關(guān)于點中心對稱．∴∴由此易得．故選：A．【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的對稱性．屬基礎(chǔ)題．9．（5分）已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】切點在切線上也在曲線上得到切點坐標(biāo)滿足兩方程；又曲線切點處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率得第三個方程．【解答】解：設(shè)切點P（x0，y0），則y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故選：B．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，常利用它求曲線的切線10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β為60°，動點P、Q分別在面α、β內(nèi)，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（）A．1 B．2 C． D．4 【考點】LQ：平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】分別作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，連CQ，BD則∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中將PQ表示出來，再研究其最值即可．【解答】解：如圖分別作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，連CQ，BD則∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵當(dāng)且僅當(dāng)AP=0，即點A與點P重合時取最小值．故選：C．【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x﹣1）都是奇函數(shù)，則（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是奇函數(shù) C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函數(shù) 【考點】3I：奇函數(shù)、偶函數(shù)．【專題】16：壓軸題．【分析】首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期，然后利用此周期推導(dǎo)選擇項．【解答】解：∵f（x+1）與f（x﹣1）都是奇函數(shù)，∴函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）及點（﹣1，0）對稱，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函數(shù)f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函數(shù)．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函數(shù)．故選：D．【點評】本題主要考查奇函數(shù)性質(zhì)的靈活運用，并考查函數(shù)周期的求法．12．（5分）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，點A∈l，線段AF交C于點B，若=3，則||=（）A． B．2 C． D．3 【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】過點B作BM⊥x軸于M，設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點為N，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知FN=1，進而根據(jù)，求出BM，AN，進而可得|AF|．【解答】解：過點B作BM⊥x軸于M，并設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸的交點為N，易知FN=1．由題意，故FM=，故B點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為±即BM=，故AN=1，∴．故選：A．【點評】本小題考查橢圓的準(zhǔn)線、向量的運用、橢圓的定義，屬基礎(chǔ)題．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于﹣240．【考點】DA：二項式定理．【專題】11：計算題．【分析】首先要了解二項式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an﹣1b1+Cn2an﹣2b2++Cnran﹣rbr++Cnna0bn，各項的通項公式為：Tr+1=Cnran﹣rbr．然后根據(jù)題目已知求解即可．【解答】解：因為（x﹣y）10的展開式中含x7y3的項為C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的項為C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3與x3y7的系數(shù)之和為﹣240．故答案為﹣240．【點評】此題主要考查二項式定理的應(yīng)用問題，對于公式：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an﹣1b1+Cn2an﹣2b2++Cnran﹣rbr++Cnna0bn，屬于重點考點，同學(xué)們需要理解記憶．14．（5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S9=81，則a2+a5+a8=27．【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【點評】本題考查前n項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于20π．【考點】LR：球內(nèi)接多面體．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】通過正弦定理求出底面外接圓的半徑，設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，求出球的半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圓半徑r=2，設(shè)此圓圓心為O'，球心為O，在RT△OBO'中，易得球半徑，故此球的表面積為4πR2=20π故答案為：20π【點評】本題是基礎(chǔ)題，解題思路是：先求底面外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化為直角三角形，求出球的半徑，這是三棱柱外接球的常用方法；本題考查空間想象能力，計算能力．16．（5分）若，則函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為﹣8．【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】見到二倍角2x就想到用二倍角公式，之后轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanx的函數(shù)，將tanx看破成整體，最后轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題解決．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【點評】本題主要考查二倍角的正切，二次函數(shù)的方法求最大值等，最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各塊知識點，各個知識水平層面．以最值為載體，可以考查中學(xué)數(shù)學(xué)的所有知識點．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考點】HR：余弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將sinAcosC=3cosAsinC化成邊的關(guān)系，再根據(jù)a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：，化簡并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．18．（12分）如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，∠ABM=60°（I）證明：M是側(cè)棱SC的中點；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大?。究键c】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計算題；14：證明題．【分析】（Ⅰ）法一：要證明M是側(cè)棱SC的中點，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，連ME、NB，則MN⊥面ABCD，ME⊥AB，設(shè)MN=x，則NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，進而得到M為側(cè)棱SC的中點；法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，并求出S點的坐標(biāo)、C點的坐標(biāo)和M點的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點公式進行判斷；法三：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，構(gòu)造空間向量，然后數(shù)乘向量的方法來證明．（Ⅱ）我們可以以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，我們可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大?。窘獯稹孔C明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，連ME、NB，則MN⊥面ABCD，ME⊥AB，設(shè)MN=x，則NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，從而∴M為側(cè)棱SC的中點M．（Ⅰ）證法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則．設(shè)M（0，a，b）（a＞0，b＞0），則，，由題得，即解之個方程組得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是側(cè)棱SC的中點．（I）證法三：設(shè)，則又故，即，解得λ=1，所以M是側(cè)棱SC的中點．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，設(shè)分別是平面SAM、MAB的法向量，則且，即且分別令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大?。军c評】空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；19．（12分）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立，已知前2局中，甲、乙各勝1局．（I）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（Ⅱ）設(shè)ξ表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】11：計算題．【分析】（1）由題意知前2局中，甲、乙各勝1局，甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局，根據(jù)各局比賽結(jié)果相互獨立，根據(jù)相互獨立事件的概率公式得到結(jié)果．（2）由題意知ξ表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局?jǐn)?shù)，由上一問可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互獨立，得到變量的分布列，求出期望．【解答】解：記Ai表示事件：第i局甲獲勝，（i=3、4、5）Bi表示第j局乙獲勝，j=3、4（1）記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利，∵前2局中，甲、乙各勝1局，∴甲要獲得這次比賽的勝利需在后面的比賽中先勝兩局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比賽結(jié)果相互獨立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進行的局?jǐn)?shù)，由上一問可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互獨立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【點評】認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很可惜的，主要原因在于沒讀懂題．另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)．20．（12分）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+．（1）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【專題】11：計算題；15：綜合題．【分析】（1）由已知得=+，即bn+1=bn+，由此能夠推導(dǎo)出所求的通項公式．（2）由題設(shè)知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），設(shè)Tn=1++++…+，由錯位相減法能求出Tn=4﹣．從而導(dǎo)出數(shù)列{an}的前n項和Sn．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即bn+1=bn+，從而b2=b1+，b3=b2+，bn=bn﹣1+（n≥2）．于是bn=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通項公式為bn=2﹣．（2）由（1）知an=2n﹣，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），設(shè)Tn=1++++…+，①Tn=+++…++，②①﹣②得，Tn=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴Tn=4﹣．∴Sn=n（n+1）+﹣4．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要注意錯位相減法的合理運用．21．（12分）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個點．（Ⅰ）求r的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標(biāo)．【考點】IR：兩點間的距離公式；JF：圓方程的綜合應(yīng)用；K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】15：綜合題；16：壓軸題．【分析】（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據(jù)拋物線E：y2=x與圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍．（2）先設(shè)出四點A，B，C，D的坐標(biāo)再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方值，最后根據(jù)三次均值不等式確定得到最大值時的點P的坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）將拋物線E：y2=x代入圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）拋物線E：y2=x與圓M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A