七年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題06 三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型（原卷版）

專題06三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·山西晉城·七年級校聯(lián)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖1的四邊形，這種形似飛鏢的四邊形，我們形象地稱它為“飛鏢圖”．它實際上就是凹四邊形，同學(xué)們通過探究發(fā)現(xiàn)：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個內(nèi)角之和，即如圖1，．“智慧小組”通過互學(xué)證明了這個結(jié)論：方法一：如圖2，連接，則在中，，即，又：在中，，∴，即．“創(chuàng)新小組”想出了另外一種方法方法二：如圖3，連接并延長至F，∵和分別是和的一個外角，…………任務(wù)：(1)填空：“智慧小組”用的“方法一”主要依據(jù)的一個數(shù)學(xué)定理是______；(2)根據(jù)“創(chuàng)新小組”用的“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分．例2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則．例3．（2022秋·廣西八年級期中）如圖，，的角平分線交于點，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．例4.（2023·廣東·八年級期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點，連結(jié)AP，并延長交BC于點D.求證：（1）；（2）.例5．（2023·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）互動學(xué)習(xí)課堂上某小組同學(xué)對一個課題展開了探究．小亮：已知，如圖三角形，點是三角形內(nèi)一點，連接，，試探究與，，之間的關(guān)系．小明：可以用三角形內(nèi)角和定理去解決．小麗：用外角的相關(guān)結(jié)論也能解決．（1）請你在橫線上補全小明的探究過程：∵，（______）∴，（等式性質(zhì)）∵，∴，∴．（______）（2）請你按照小麗的思路完成探究過程；（3）利用探究的結(jié)果，解決下列問題：①如圖①，在凹四邊形中，，，求______；②如圖②，在凹四邊形中，與的角平分線交于點，，，則______；③如圖③，，的十等分線相交于點、、、…、，若，，則的度數(shù)為______；④如圖④，，的角平分線交于點，則，與之間的數(shù)量關(guān)系是______；⑤如圖⑤，，的角平分線交于點，，，求的度數(shù)．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE內(nèi)部時，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點C落在四邊形ABFE外部時，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號）例2．（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，在中，，將沿翻折后，點A落在BC邊上的點處．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023·江蘇泰州·七年級校考期中）在△ABC中，∠B＝33°，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，則∠1—∠2的度數(shù)是例4．（2023春·甘肅天水·七年級校聯(lián)考期末）如圖①，、是四邊形的兩個不相鄰的外角．

(1)猜想并說明與、的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖②，在四邊形中，與的平分線交于點．若，，求的度數(shù)；(3)如圖③，、分別是四邊形外角、的角平分線．請直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．例5．（2022·江蘇宿遷·七年級?？计谥校┤切蝺?nèi)角和定理告訴我們：如圖①三角形三個內(nèi)角的和等于180°．(1)【定理推論】如圖②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，點D是BC延長線上一點．由平角的定義可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________．從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．(2)【初步運用】如圖③，點D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點．①若∠A=80°，∠DBC=150°，則∠ACB=_____°;②若∠A=80°，則∠DBC+∠ECB=______°．(3)【拓展延伸】如圖④，點D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點．①若∠A=80°，∠P=150°，則∠DBP+∠ECP=_____°；②分別作∠DBP和∠ECP的平分線，交于點O，如圖⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之間的數(shù)量關(guān)系；③分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN，如圖⑥，若∠A=∠P，求證：．例6．（2023春·江蘇宿遷·七年級?？计谥校?）如圖1，將紙片沿折疊，使點落在四邊形內(nèi)點的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；（2）如圖2，若將（1）中“點落在四邊形內(nèi)點的位置”變?yōu)椤包c落在四邊形外點的位置”，則此時之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點在邊上向點移動時（不與點重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？

課后專項訓(xùn)練1．（2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿折疊，使、與邊分別相交于點、，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川綿陽·八年級校考期中）如圖，中，，將沿折疊，使得點B落在邊上的點F處，若且，則的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2023·河南安陽·八年級?？计谥校┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCED的外部時，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠24．（2023·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠35．（2023·新疆烏魯木齊·八年級?？计谥校┤鐖D，，，，則（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個的角后得到一個六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．118° C．100° D．90°8．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2023·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是度．10．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°11．（2023·廣東·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖①∠1+∠2與∠B+∠C有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖①△ABC沿DE折疊，得到圖②，填空：∠1+∠2∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），當(dāng)∠A＝60°時，∠B+∠C+∠1+∠2＝（3）如圖③，是由圖①的△ABC沿DE折疊得到的，猜想∠BDA+∠CEA與∠A的關(guān)系，并證明你的猜想．12．（2023春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考期中）已知，在中，，點在上，過點的一條直線與直線、分別交于點、．(1)如圖1，，則______°．(2)如圖2，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系______．

13．（2023春·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點A，B均落在點O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．（2023·四川達(dá)州·中考模擬）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1，延長CO交AB于點D，則．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用:（1）直接應(yīng)用：①如圖2，．②如圖3，的2等分線（即角平分線）交于點F，已知，則③如圖4，分別為的2019等分線．它們的交點從上到下依次為．已知，則度15.（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）一個三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處．（點A′在△ABC的內(nèi)部）.(1)如圖1，若∠A＝45°，則∠1+∠2＝°．(2)利用圖1，探索∠1，∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．16．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書七下第42頁第20題，是一道研究雙內(nèi)角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學(xué)問題，原題如下．在中，．（1）設(shè)、的平分線交于點O，求的度數(shù)；（2）設(shè)的外角、的平分線交于點，求的度數(shù)；（3）與有