2025屆四川省成都市蓉城名校聯(lián)考高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城名校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可解得，即則.故選：B.2.設(shè)命題，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，所以命題的否定為“”.故選：D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，設(shè)集合，，則為的真子集.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.某旅游旺地出租車的費用按下列規(guī)則制定：①行程在3以內(nèi)的（含3），車費10元；②行程在3以上且不超過10的，前3車費10元，以后每增加1車費增加2元（不足1的按1計算）；③行程超過10，則超過的部分每公里車費3元（不足1的按1計算）.小明某天乘坐該地的出租車，共花費39元，那么他的行程大約為（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】設(shè)行程為km，車費為元，當時，，當時，，當時，.小明某天乘坐該地的出租車，共花費39元，所以，解得km.故選：C5.某電影公司為了解某部電影宣傳對票房的影響，在某市內(nèi)隨機抽取了5個大型電影院，得到其宣傳費用（單位：十萬元）和銷售額（單位：十萬元）的數(shù)據(jù)如下：（十萬元）56789（十萬元）5560707580由統(tǒng)計數(shù)據(jù)知與滿足線性回歸方程，其中，當宣傳費用時，銷售額的估計值為（）A.85.5 B.86.5 C.87.5 D.88.5【答案】C【解析】因為：，.由線性回歸方程經(jīng)過點且得：.所以.當時，.故選：C6.設(shè)，已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，（），則，當時，，所以在0,1上單調(diào)遞減.所以，所以，即；再設(shè)（），則，當時，，，所以，在0,1上單調(diào)遞增，所以，所以，即.綜上可知：，故選：C.7.某高中運動會設(shè)有8個項目，甲?乙兩名學(xué)生每人隨機選取3個項目，則至少選中2個相同項目的報名情況有（）A.420種 B.840種 C.476種 D.896種【答案】D【解析】由題意可知，可以分兩種情況，第一種情況所選取3個項目恰有2個相同項目，第一步，在8個項目中選取2項，共有種，第二步，甲在剩下的6個項目中選取1項，共有種，第三步，乙在剩下5個項目中選取1項，共有種，由分步乘法計算原理可知，共有種；第二種情況所選取的3個項目有3個相同項目，則有種；由分類加法計數(shù)原理可知，總情況一共有種.故選：D.8.已知，不等式恒成立，則最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】.令，則易知在上單調(diào)遞增，，令，問題轉(zhuǎn)化為求在的最小值.因為，當時，（當且僅當時取“”）.所以在上單調(diào)遞增，.所以的最大值為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.與表示同一個函數(shù)C.關(guān)于的不等式的解集為，若，則D.若，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A：因為函數(shù)的定義域為0,1，所以，由，所以函數(shù)的定義域為-1,1，故A正確；對B：因為函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，所以兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，故B錯誤；對C：當時，或，所以或；當時，無解，所以?；當時，，所以.又，所以，只有?時滿足題意，此時，故C正確；對D：因為，所以，，所以，即，故D正確.故選：ACD10.已知為正實數(shù)，，則（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為8 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對A：因為為正實數(shù)，且，所以，因為，所以，故A錯誤.對B：因為為正實數(shù)，且，所以（）.所以（當且僅當，即時取“”），故B正確；對C：因為（都是當且僅當時取“”），故C正確；對D：因為，故，所以（當且僅當時取“”），故D正確.故選：BCD.11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有，當時，，則下列說法正確的是（）A.B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.當時，D.函數(shù)恰有6個零點【答案】AC【解析】由題意可知關(guān)于軸，1,0對稱，當，則，且f1=0，故，對于A,，，故A正確；對于B，對稱中心為，故B錯誤；對于C，函數(shù)y=fx在0,1和上的圖像關(guān)于點中心對稱，當時，，故C正確；對于D，由圖像可知函數(shù)y=fx與函數(shù)有7個交點，故D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中第5項為__________.【答案】15【解析】展開式通項為，.13.若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為在R上單調(diào)遞增，所以，解得．14.已知函數(shù)有兩個零點，實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為0,+∞，令，即有兩個不同的正實數(shù)根，即有兩個不同的正實數(shù)解，即有兩個不同的正實數(shù)解，令，則，令，而在上為增函數(shù)，故直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當，根據(jù)的圖像可知，當，即時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，，數(shù)列的通項公式為；（2）令，則，又，，，，則，，.16.研究表明，人在23點之前入睡最有益身體健康，熬夜通常會導(dǎo)致睡眠時間不足或規(guī)律作息被打亂.某中學(xué)為研究熬夜與短期記憶力減退是否有關(guān)聯(lián)，在高三年級隨機抽取兩個班共90名學(xué)生調(diào)查，列表如下：短期記憶力熬夜不熬夜合計較差3050良好25合計（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)概率值的獨立性檢驗，分析熬夜與短期記憶力減退是否有關(guān)聯(lián)？（2）從樣本中熬夜的學(xué)生中隨機選取2人，其中短期記憶力較差的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與期望；（3）以樣本頻率估計概率，從該校300個熬夜的學(xué)生中隨機抽取5名學(xué)生，用表示這5名學(xué)生中恰有名短期記憶力較差的概率，求取最大值時的值.附：參考公式：，其中.下表是獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）表格如下：短期記憶力熬夜不熬夜合計較差302050良好152540合計454590零假設(shè)為：熬夜與短期記憶力減退無關(guān)，因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為熬夜與短期記憶力減退有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05.（2）由題意可得的可能取值有：，，，的分布列如下表所示，012所以.（3）由題意可得滿足二項分布，，，若最大，則，所以或.17.如圖，在四棱錐中，底面.（1）若，證明：平面；（2）若，且，線段上是否存在一點，使得二面角的正弦值為？若存在，求出點在線段上的位置；若不存在，請說明理由.解：（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，又平面，則平面，而平面，于是，由，得，則，又平面平面，所以平面.（2）由（1）知，過點作平面，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，假設(shè)存在點滿足條件，令，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由平面，得為平面的法向量，由二面角的正弦值為，得，即，而，解得，所以點是線段上靠近點的三等分點，使得二面角的正弦值為.18.已知為曲線上一動點，動點到和的距離之和為定值，且點在曲線上.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線交曲線于兩點，求面積的取值范圍.解：（1）依題意，，可知故點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，曲線的方程為；（2）如圖，由題可得直線斜率存在，①當直線斜率為0時，，，②當直線斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立得，消元整理得：因設(shè)Ax1則有，，則設(shè)點到直線的距離為，則，故令，則，且則，，在上單調(diào)遞減，，則，綜上，面積的取值范圍為.19.已知.（1）求的定義域；（2）若恒成立，求能夠取得的最大整數(shù)值；（3）證明：.解：（1）要使函數(shù)有意義，需滿足，令，則，令解得，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，∴fx的定義域為0,+（2）由恒成立得，，當時，不等式恒成立；下面說明當且為整數(shù)時不等式成立的情況.當時，不等式顯然成立，當時，等價于恒成立，此時恒成立，令，則，令得，當即且為整數(shù)時，無解；當即且為整數(shù)時，若，則，若，則，即hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則要使不等式恒成立，須使恒成立，令則故單調(diào)遞增，從而，當且僅當時取等號，此時恰有原不等式恒成立，綜上所述，能夠取得的最大整數(shù)值是1；（3）由（2）可知，當時，恒成立，即，即，當時，，即，令，則有即于是，，得證.四川省成都市蓉城名校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可解得，即則.故選：B.2.設(shè)命題，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，所以命題的否定為“”.故選：D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，設(shè)集合，，則為的真子集.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.某旅游旺地出租車的費用按下列規(guī)則制定：①行程在3以內(nèi)的（含3），車費10元；②行程在3以上且不超過10的，前3車費10元，以后每增加1車費增加2元（不足1的按1計算）；③行程超過10，則超過的部分每公里車費3元（不足1的按1計算）.小明某天乘坐該地的出租車，共花費39元，那么他的行程大約為（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】設(shè)行程為km，車費為元，當時，，當時，，當時，.小明某天乘坐該地的出租車，共花費39元，所以，解得km.故選：C5.某電影公司為了解某部電影宣傳對票房的影響，在某市內(nèi)隨機抽取了5個大型電影院，得到其宣傳費用（單位：十萬元）和銷售額（單位：十萬元）的數(shù)據(jù)如下：（十萬元）56789（十萬元）5560707580由統(tǒng)計數(shù)據(jù)知與滿足線性回歸方程，其中，當宣傳費用時，銷售額的估計值為（）A.85.5 B.86.5 C.87.5 D.88.5【答案】C【解析】因為：，.由線性回歸方程經(jīng)過點且得：.所以.當時，.故選：C6.設(shè)，已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，（），則，當時，，所以在0,1上單調(diào)遞減.所以，所以，即；再設(shè)（），則，當時，，，所以，在0,1上單調(diào)遞增，所以，所以，即.綜上可知：，故選：C.7.某高中運動會設(shè)有8個項目，甲?乙兩名學(xué)生每人隨機選取3個項目，則至少選中2個相同項目的報名情況有（）A.420種 B.840種 C.476種 D.896種【答案】D【解析】由題意可知，可以分兩種情況，第一種情況所選取3個項目恰有2個相同項目，第一步，在8個項目中選取2項，共有種，第二步，甲在剩下的6個項目中選取1項，共有種，第三步，乙在剩下5個項目中選取1項，共有種，由分步乘法計算原理可知，共有種；第二種情況所選取的3個項目有3個相同項目，則有種；由分類加法計數(shù)原理可知，總情況一共有種.故選：D.8.已知，不等式恒成立，則最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】.令，則易知在上單調(diào)遞增，，令，問題轉(zhuǎn)化為求在的最小值.因為，當時，（當且僅當時取“”）.所以在上單調(diào)遞增，.所以的最大值為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.與表示同一個函數(shù)C.關(guān)于的不等式的解集為，若，則D.若，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A：因為函數(shù)的定義域為0,1，所以，由，所以函數(shù)的定義域為-1,1，故A正確；對B：因為函數(shù)的值域為，函數(shù)的值域為，所以兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，故B錯誤；對C：當時，或，所以或；當時，無解，所以?；當時，，所以.又，所以，只有?時滿足題意，此時，故C正確；對D：因為，所以，，所以，即，故D正確.故選：ACD10.已知為正實數(shù)，，則（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為8 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對A：因為為正實數(shù)，且，所以，因為，所以，故A錯誤.對B：因為為正實數(shù)，且，所以（）.所以（當且僅當，即時取“”），故B正確；對C：因為（都是當且僅當時取“”），故C正確；對D：因為，故，所以（當且僅當時取“”），故D正確.故選：BCD.11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有，當時，，則下列說法正確的是（）A.B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.當時，D.函數(shù)恰有6個零點【答案】AC【解析】由題意可知關(guān)于軸，1,0對稱，當，則，且f1=0，故，對于A,，，故A正確；對于B，對稱中心為，故B錯誤；對于C，函數(shù)y=fx在0,1和上的圖像關(guān)于點中心對稱，當時，，故C正確；對于D，由圖像可知函數(shù)y=fx與函數(shù)有7個交點，故D錯誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中第5項為__________.【答案】15【解析】展開式通項為，.13.若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為在R上單調(diào)遞增，所以，解得．14.已知函數(shù)有兩個零點，實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為0,+∞，令，即有兩個不同的正實數(shù)根，即有兩個不同的正實數(shù)解，即有兩個不同的正實數(shù)解，令，則，令，而在上為增函數(shù)，故直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當，根據(jù)的圖像可知，當，即時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，，數(shù)列的通項公式為；（2）令，則，又，，，，則，，.16.研究表明，人在23點之前入睡最有益身體健康，熬夜通常會導(dǎo)致睡眠時間不足或規(guī)律作息被打亂.某中學(xué)為研究熬夜與短期記憶力減退是否有關(guān)聯(lián)，在高三年級隨機抽取兩個班共90名學(xué)生調(diào)查，列表如下：短期記憶力熬夜不熬夜合計較差3050良好25合計（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)概率值的獨立性檢驗，分析熬夜與短期記憶力減退是否有關(guān)聯(lián)？（2）從樣本中熬夜的學(xué)生中隨機選取2人，其中短期記憶力較差的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與期望；（3）以樣本頻率估計概率，從該校300個熬夜的學(xué)生中隨機抽取5名學(xué)生，用表示這5名學(xué)生中恰有名短期記憶力較差的概率，求取最大值時的值.附：參考公式：，其中.下表是獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）表格如下：短期記憶力熬夜不熬夜合計較差302050良好152540合計454590零假設(shè)為：熬夜與短期記憶力減退無關(guān)，因為，所以依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為熬夜與短期記憶力減退有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05.（2）由題意可得的可能取值有：，，，的分布列如下表所示，012所以.（3）由題意可得滿足二項分布，，，若最大，則，所以或.17.如圖，在四棱錐中，底面.（1）若，證明：平面；（2）若，且，線段上是否存在一點，使得二面角的正弦值為？若存