2025屆陜西省安康市高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，若，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】C【解析】集合，而，則，經(jīng)驗(yàn)證a=2符合題意，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故選：A.3.已知平面向量．若向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】，，因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，解得，故選：B.4.已知為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)椋?，即，所以，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，則，曲線y=fx在點(diǎn)處的切線斜率為，又所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故選：D6.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率大于0，若圓的圓心與直線上一動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的圓心為1,0，設(shè)直線的方程為，，即，因?yàn)閳A心與直線上一動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值為，即，整理可得，解得或（舍去），故選：B.7.風(fēng)箏的發(fā)明是中國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，距今已有2000多年的歷史.風(fēng)箏多為軸對(duì)稱圖形，如圖.在平面幾何中，我們把一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形叫做箏形.在箏形中，對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是等腰直角三角形.將該箏形沿對(duì)角線折疊，使得，形成四面體，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，取為中點(diǎn)，則，連接，則，因，所以，所以，又，且平面，平面，所以平面，又E為直角三角形的外心，所以四面體外接球球心在上，設(shè)外接球的半徑為，則在中，，即，解得，所以四面體外接球的表面積為，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線的左頂點(diǎn)，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，記，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，，，則，①則，所以，，所以，②將①代入②得，，因?yàn)椋?，所以雙曲線的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為3的球”，則（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對(duì)立事件C.事件與事件是相互獨(dú)立事件 D.事件與事件是互斥事件【答案】ACD【解析】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時(shí)發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對(duì)立事件的概率和為1，，，，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)椋蔆正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時(shí)發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始，以的角速度逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后到達(dá)點(diǎn)的位置．設(shè)，記，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心D.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AC【解析】依題意，后，質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的弧度數(shù)為，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，為的最大值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為的最大值，而，因此在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，當(dāng)時(shí)，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.在上單調(diào)遞增 D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，取，得，解得，取，則，即，又，因此為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，解得，因此，B正確；對(duì)于C，，則，，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，取，則，求導(dǎo)得，于是，解得，由，求導(dǎo)得，則，，又函數(shù)的周期為4，，所以，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】第二個(gè)括號(hào)的通項(xiàng)為，所以當(dāng)前面括號(hào)出時(shí)，后面為，當(dāng)前面括號(hào)出時(shí)，后面出，當(dāng)前面括號(hào)出時(shí)，后面沒有可出項(xiàng)，所以的系數(shù)為，故答案為：.13.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，則______．【答案】或【解析】的面積為，所以，解得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，由余弦定理可得，即，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，即，綜上或，故答案為：或.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，圓，圓，點(diǎn)，射線交圓，橢圓，圓分別于點(diǎn)，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可得的半徑為，的半徑為，其位置關(guān)系如下：由圖可得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)同時(shí)在橢圓與射線上，所以，，解得，則，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，即，可得所以，設(shè)，，則，設(shè)此式等于，求導(dǎo)可得，因?yàn)椋詫?dǎo)數(shù)恒大于零，故在時(shí)為增函數(shù)，所以取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某農(nóng)場(chǎng)收獲的蘋果按三個(gè)蘋果等級(jí)進(jìn)行裝箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且三個(gè)等級(jí)蘋果的箱數(shù)之比為6∶3∶1（1）現(xiàn)從這批蘋果中隨機(jī)選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求至少選到2箱A級(jí)蘋果的概率；（2）若用分層隨機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果中選取10箱蘋果，假設(shè)某游客要從這10箱蘋果中隨機(jī)購(gòu)買3箱，記購(gòu)買的A級(jí)蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件“至少選到2箱級(jí)蘋果”，由題意知選到1箱級(jí)蘋果的概率為，選到1箱非級(jí)蘋果的概率為，所以，故至少選到2箱A級(jí)蘋果的概率為.（2）因?yàn)橛梅謱与S機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果中選取10箱蘋果，所以A級(jí)蘋果有6箱，級(jí)蘋果共有4箱，隨機(jī)變量的所有可能取值為,則，，，所以X的分布列為0123.16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，記，求．解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為，由，得，解得，所以an的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點(diǎn)滿足平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在四棱錐中，底面為矩形，則，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）解：依題意，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，令，則有，即，，，由平面，得存在實(shí)數(shù)使，即，解得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，，設(shè)平面的法向量，則，令，，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知?jiǎng)訄A的圓心在軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，若為軌跡上位于點(diǎn)之間的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求的最大值．解：（1）因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，即，又圓心是點(diǎn)的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入上式可得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）由題意知在拋物線C上，則，即，由于過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，則直線l的斜率為，故l的方程為，聯(lián)立，得，解得或，則，則B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意知直線AQ的斜率存在，設(shè)為k，直線的斜率為，則，設(shè)直線，因?yàn)辄c(diǎn)Q在拋物線C上，故聯(lián)立，得，得，則，,又，故直線BM的方程為，聯(lián)立，解得,因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，即時(shí)，取到最大值，最大值為.19.定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得這是以法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾的名字命名的一個(gè)重要定理，稱之為羅爾定理，其在數(shù)學(xué)和物理上有著廣泛的應(yīng)用．（1）設(shè)，記的導(dǎo)數(shù)為，試用上述定理，說(shuō)明方程根的個(gè)數(shù)，并指出它們所在的區(qū)間；（2）如果在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，記的導(dǎo)數(shù)為，試用上述定理證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得；（3）利用（2）中的結(jié)論，證明：當(dāng)時(shí)，．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，求導(dǎo)得，顯然，在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，且，由羅爾定理，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得；同理在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得；在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，因此方程至少有3個(gè)根，又函數(shù)是三次函數(shù)，最多有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程有3個(gè)根，分別在區(qū)間內(nèi).（2）令函數(shù)，依題意，在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，求導(dǎo)得，則開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，且，由羅爾定理，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即，整理得，所以開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.（3）令函數(shù)，函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，求導(dǎo)得，由（2）知，存在，使得，存在，使得，由，得，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，整理得，即，所以.陜西省安康市2025屆高三上學(xué)期開學(xué)學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，若，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】C【解析】集合，而，則，經(jīng)驗(yàn)證a=2符合題意，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故選：A.3.已知平面向量．若向量與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】，，因?yàn)橄蛄颗c共線，所以，解得，故選：B.4.已知為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)?，所以，即，所以，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，則，曲線y=fx在點(diǎn)處的切線斜率為，又所以曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故選：D6.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率大于0，若圓的圓心與直線上一動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的圓心為1,0，設(shè)直線的方程為，，即，因?yàn)閳A心與直線上一動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值為，即，整理可得，解得或（舍去），故選：B.7.風(fēng)箏的發(fā)明是中國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，距今已有2000多年的歷史.風(fēng)箏多為軸對(duì)稱圖形，如圖.在平面幾何中，我們把一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形叫做箏形.在箏形中，對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是等腰直角三角形.將該箏形沿對(duì)角線折疊，使得，形成四面體，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，取為中點(diǎn)，則，連接，則，因，所以，所以，又，且平面，平面，所以平面，又E為直角三角形的外心，所以四面體外接球球心在上，設(shè)外接球的半徑為，則在中，，即，解得，所以四面體外接球的表面積為，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線的左頂點(diǎn)，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，記，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，，，則，①則，所以，，所以，②將①代入②得，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和小于5”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于2”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為3的球”，則（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對(duì)立事件C.事件與事件是相互獨(dú)立事件 D.事件與事件是互斥事件【答案】ACD【解析】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時(shí)發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對(duì)立事件的概率和為1，，，，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)?，故C正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時(shí)發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始，以的角速度逆時(shí)針繞坐標(biāo)原點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后到達(dá)點(diǎn)的位置．設(shè)，記，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心D.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】AC【解析】依題意，后，質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的弧度數(shù)為，則，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，為的最大值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，點(diǎn)是曲線的一個(gè)對(duì)稱中心，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為的最大值，而，因此在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，當(dāng)時(shí)，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.在上單調(diào)遞增 D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，取，得，解得，取，則，即，又，因此為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，解得，因此，B正確；對(duì)于C，，則，，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，取，則，求導(dǎo)得，于是，解得，由，求導(dǎo)得，則，，又函數(shù)的周期為4，，所以，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】第二個(gè)括號(hào)的通項(xiàng)為，所以當(dāng)前面括號(hào)出時(shí)，后面為，當(dāng)前面括號(hào)出時(shí)，后面出，當(dāng)前面括號(hào)出時(shí)，后面沒有可出項(xiàng)，所以的系數(shù)為，故答案為：.13.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，則______．【答案】或【解析】的面積為，所以，解得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，由余弦定理可得，即，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，即，綜上或，故答案為：或.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓，圓，圓，點(diǎn)，射線交圓，橢圓，圓分別于點(diǎn)，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可得的半徑為，的半徑為，其位置關(guān)系如下：由圖可得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)同時(shí)在橢圓與射線上，所以，，解得，則，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，即，可得所以，設(shè)，，則，設(shè)此式等于，求導(dǎo)可得，因?yàn)椋詫?dǎo)數(shù)恒大于零，故在時(shí)為增函數(shù)，所以取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某農(nóng)場(chǎng)收獲的蘋果按三個(gè)蘋果等級(jí)進(jìn)行裝箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且三個(gè)等級(jí)蘋果的箱數(shù)之比為6∶3∶1（1）現(xiàn)從這批蘋果中隨機(jī)選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求至少選到2箱A級(jí)蘋果的概率；（2）若用分層隨機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果中選取10箱蘋果，假設(shè)某游客要從這10箱蘋果中隨機(jī)購(gòu)買3箱，記購(gòu)買的A級(jí)蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件“至少選到2箱級(jí)蘋果”，由題意知選到1箱級(jí)蘋果的概率為，選到1箱非級(jí)蘋果的概率為，所以，故至少選到2箱A級(jí)蘋果的概率為.（2）因?yàn)橛梅謱与S機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋果中選取10箱蘋果，所以A級(jí)蘋果有6箱，級(jí)蘋果共有4箱，隨機(jī)變量的所有可能取值為,則，，，所以X的分布列為0123.16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，記，求．解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為，由，得，解得，所以an的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點(diǎn)滿足平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在四棱錐中，底面為矩形，則，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）解：依題意，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，令，則有，即，，，由平面，得存在實(shí)數(shù)使，即，解得，，，設(shè)平面的法向量，則，令，，設(shè)平面的法向量，則，令，，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知?jiǎng)訄A的圓心在軸上，且該動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，若為軌跡上位于點(diǎn)之間的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，求的最大值．解：（1）因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，即，又圓心是點(diǎn)的