2025屆山西省大同市高三上學期11月全市統(tǒng)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省大同市2025屆高三上學期11月全市統(tǒng)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得．故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，則，即，所以.故選：C3.設，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因函數(shù)單調遞增，所以，故，又函數(shù)單調遞減，所以，所以．故選：A.4.記無窮等差數(shù)列的公差為，前項和為．設甲：且；乙：有最小值，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】因為當時，數(shù)列存在前項小于，從第項開始不小于，此時有最小值，所以甲是乙的充分條件．又當時，的最小值為，所以甲不是乙的必要條件．綜上，甲是乙的充分條件不必要條件.故選：A5.已知且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為．故選：C6.已知向量滿足，且與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，故選：D．7.已知函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得．令．當時，與的大致圖象如圖（1）所示，由于兩個函數(shù)的圖象都關于直線對稱，此時如果有交點，交點的個數(shù)應為偶數(shù)，不可能只有一個；當時，方程無解；當時，與的大致圖象如圖（2）所示，要使兩個函數(shù)圖象只有一個交點，則有，即，則．故選：C.8.已知四面體ABCD的頂點均在半徑為3的球面上，若，則四面體ABCD體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設為AB的中點，為CD的中點，為四面體ABCD外接球的球心，因為，所以，又，所以，當且僅當AB與CD垂直，且均與EF垂直時取等號．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為空間內的一條直線，為空間內兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，若，則可能或與相交，故A錯誤；對于B，根據面面垂直的判定定理可知B正確；對于C，根據面面平行的性質可知C正確；對于D，若，則可能，或與相交且成“任意”的角，故D錯誤．故選：BC.10.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對于A，，即，當且僅當時等號成立，所以，故A錯誤；對于B，由，得，即，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，故C正確；對于D，，又，所以，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.是偶函數(shù) C.以4為周期 D.【答案】ABD【解析】由題意，，對于A，令，得，則，令，得，則，所以，故A正確；對于B，令，得，得，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于C，由A知，，則，所以，則，所以函數(shù)以6為周期，故C錯誤；對于D，，，則，又，所以，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是奇函數(shù)，則的值為______．【答案】4【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以恒成立，即，所以.13.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上恰有兩個極值點，則______．【答案】【解析】因為，又因為在區(qū)間上恰有兩個極值點，且，所以的最小正周期，即，所以．14.對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，稱為數(shù)列的階差分數(shù)列，其中．已知數(shù)列bn滿足，且為bn的二階差分數(shù)列，則數(shù)列bn的前項和______．【答案】【解析】因為為bn的二階差分數(shù)列，即，由，故，可知，即，得，所以，又，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，，所以①，得②，得，故．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行．（1）求；（2）求在區(qū)間上的最大值．（參考數(shù)據：）解：（1）由題意得．由點處的切線與直線平行知，即，所以．（2）由（1）知．當時，在單調遞減，當時，在單調遞增．所以在區(qū)間上最大值為和中的較大者．因為，所以，即，故在區(qū)間上的最大值為．16.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）如圖，為內一點，且，證明：．解：（1），∴由正弦定理得，整理得．∴由余弦定理得，又．（2）設．在中，由余弦定理可得，，整理得，即：，解得：或，由題易知舍去，下證即可得證明.在中，，即．∴結合（1）有，故，即．證畢.17.如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，平面平面，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）平面平面，平面平面，平面，平面，又平面．（2）如圖，過作交于點，作于點．由（1）得平面平面，兩兩垂直，故以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，由條件可得，，．設平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個法向量．設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．18.已知是首項為的等差數(shù)列，其前項和為，，為等比數(shù)列，，．（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）記，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，，解得，所以，.設的公比為，因為，，解得，所以，.（2）因為，當為偶數(shù)時，．當為奇數(shù)時，．所以，.（3）因為，．令，則，當時，，即，當時，，即，所以，數(shù)列的最大項為，因為恒成立，所以，，即實數(shù)的取值范圍為．19.帕德逼近是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)現(xiàn)的一種用有理函數(shù)逼近任意函數(shù)的方法．帕德逼近有“階”的概念，如果分子是次多項式，分母是次多項式，那么得到的就是階的帕德逼近，記作．一般地，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為：，且滿足，．注：．已知函數(shù)在處的階帕德逼近為．（1）求的解析式；（2）當時，比較與的大??；（3）證明：當時，．（1）解：由題意知，，即解得所以．（2）解：設，則．記，則．當時，單調遞增；當時，單調遞減．所以當時，，所以，僅當時，，故在上單調遞減．又因為，所以當時，，當時，，當時，．即當時，，當時，，當時，．（3）證明：要證當時，，需證．設，則．令，得，令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即．要證，只需證，需證．記，易知在上單調遞增．由（2）知，當時，，即，取，則有．所以結論成立．山西省大同市2025屆高三上學期11月全市統(tǒng)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得．故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，則，即，所以.故選：C3.設，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因函數(shù)單調遞增，所以，故，又函數(shù)單調遞減，所以，所以．故選：A.4.記無窮等差數(shù)列的公差為，前項和為．設甲：且；乙：有最小值，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】因為當時，數(shù)列存在前項小于，從第項開始不小于，此時有最小值，所以甲是乙的充分條件．又當時，的最小值為，所以甲不是乙的必要條件．綜上，甲是乙的充分條件不必要條件.故選：A5.已知且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為．故選：C6.已知向量滿足，且與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以，故選：D．7.已知函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得．令．當時，與的大致圖象如圖（1）所示，由于兩個函數(shù)的圖象都關于直線對稱，此時如果有交點，交點的個數(shù)應為偶數(shù)，不可能只有一個；當時，方程無解；當時，與的大致圖象如圖（2）所示，要使兩個函數(shù)圖象只有一個交點，則有，即，則．故選：C.8.已知四面體ABCD的頂點均在半徑為3的球面上，若，則四面體ABCD體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，設為AB的中點，為CD的中點，為四面體ABCD外接球的球心，因為，所以，又，所以，當且僅當AB與CD垂直，且均與EF垂直時取等號．故選：B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為空間內的一條直線，為空間內兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，若，則可能或與相交，故A錯誤；對于B，根據面面垂直的判定定理可知B正確；對于C，根據面面平行的性質可知C正確；對于D，若，則可能，或與相交且成“任意”的角，故D錯誤．故選：BC.10.已知，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對于A，，即，當且僅當時等號成立，所以，故A錯誤；對于B，由，得，即，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，故C正確；對于D，，又，所以，當且僅當時等號成立，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.是偶函數(shù) C.以4為周期 D.【答案】ABD【解析】由題意，，對于A，令，得，則，令，得，則，所以，故A正確；對于B，令，得，得，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于C，由A知，，則，所以，則，所以函數(shù)以6為周期，故C錯誤；對于D，，，則，又，所以，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是奇函數(shù)，則的值為______．【答案】4【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以恒成立，即，所以.13.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上恰有兩個極值點，則______．【答案】【解析】因為，又因為在區(qū)間上恰有兩個極值點，且，所以的最小正周期，即，所以．14.對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，稱為數(shù)列的階差分數(shù)列，其中．已知數(shù)列bn滿足，且為bn的二階差分數(shù)列，則數(shù)列bn的前項和______．【答案】【解析】因為為bn的二階差分數(shù)列，即，由，故，可知，即，得，所以，又，故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，，所以①，得②，得，故．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行．（1）求；（2）求在區(qū)間上的最大值．（參考數(shù)據：）解：（1）由題意得．由點處的切線與直線平行知，即，所以．（2）由（1）知．當時，在單調遞減，當時，在單調遞增．所以在區(qū)間上最大值為和中的較大者．因為，所以，即，故在區(qū)間上的最大值為．16.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）如圖，為內一點，且，證明：．解：（1），∴由正弦定理得，整理得．∴由余弦定理得，又．（2）設．在中，由余弦定理可得，，整理得，即：，解得：或，由題易知舍去，下證即可得證明.在中，，即．∴結合（1）有，故，即．證畢.17.如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，平面平面，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）平面平面，平面平面，平面，平面，又平面．（2）如圖，過作交于點，作于點．由（1）得平面平面，兩兩垂直，故以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，由條件可得，，．設平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個法向量．設直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．18.已知是首項為的等差數(shù)列，其前項和為，，為等比數(shù)列，，．（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和；（3）記，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，，解得，所以，.設的公比為，因為，，解得，所以，.（2）因為，當為偶數(shù)時，．當為奇數(shù)時，．所以，.（3）因為，．令，則，當時，，即，當時，，即，所以，數(shù)列的最大項為，因為恒成立，所以，，即實數(shù)的取值范圍為．19.帕德逼近是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)現(xiàn)的一種用有理函數(shù)逼近任意函數(shù)的方法．帕德逼近有“階”的概念，如果分子是次多項式，分母是次多項式，那