《數(shù)學(xué)（第8版 下冊(cè)）》 課件 第2章 排列與組合

排列與組合第2章38目錄2.1計(jì)數(shù)原理2.2排列2.3組合39學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)實(shí)際情境，運(yùn)用分類計(jì)數(shù)（加法）原理和分步計(jì)數(shù)（乘法）原理解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題.2.能根據(jù)實(shí)際情境，把實(shí)際問題歸結(jié)為排列或組合問題，并能運(yùn)用排列或組合的知識(shí)解決計(jì)數(shù)問題.3.學(xué)會(huì)使用計(jì)算器正確計(jì)算排列數(shù)和組合數(shù).4.了解二項(xiàng)式定理，并熟悉二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.40知識(shí)回顧1.用2和3能組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？解

能組成32和23共2個(gè)不同的兩位數(shù).2.用1，2，3能組成幾個(gè)不同的兩位數(shù)？解413.媽媽新買了2件上衣和2件下裝，她最多能夠搭配出幾套不同的穿法？解

媽媽最多能夠搭配出4種不同的穿法.日常生活中經(jīng)常遇到類似的計(jì)數(shù)問題，如果問題中的情況很少，可以通過逐個(gè)列舉計(jì)數(shù)；如果問題中的情況很多，就可以運(yùn)用排列與組合的知識(shí)解決問題.422.1計(jì)數(shù)原理43實(shí)例考察問題1

如圖所示，某人從甲地到乙地，可以乘汽車、輪船或火車，一天中汽車有3班、輪船有2班、火車有1班.那么，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？44問題2

如圖所示，某人從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地到達(dá)丙地.從甲地到乙地有A，B，C共3條路可走；從乙地到丙地有a，b共2條路可走.那么，從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有多少種不同的走法？對(duì)于問題1，從甲地到乙地，有3類不同的交通方式：乘汽車、乘輪船、乘火車.使用這3類交通方式中的任何一類都能從甲地到達(dá)乙地.所以某人從甲地到乙地的不同走法的種數(shù)，恰好是各類走法種數(shù)之和，也就是3+2+1=6種.45由此，我們得到分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：46問題2與問題1不同.在問題1中，采用任何一類交通方式都可以直接從甲地到乙地.在問題2中，從甲地到丙地必須經(jīng)過乙地，即要分兩個(gè)步驟來走.步驟一：從甲地到乙地有3種走法.步驟二：按上一步的每一種走法到乙地后，又都有2種走法到丙地.所以，在問題2中，從甲地經(jīng)過乙地到丙地的不同走法，正好是完成兩個(gè)步驟的方法種數(shù)的乘積，即3×2=6種.47由此，我們得到分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：482.2排列49實(shí)例考察在工作和生活中有很多需要選取并安排人或事物的問題.針對(duì)某個(gè)具體問題，人們往往需要知道共有多少種選擇方法.考察下面的兩個(gè)例子，并按要求填寫表格.安排班次

要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，分別安排上日班和夜班，找出所有的選擇方法，將下表補(bǔ)充完整.5051安排班次選擇方法放置小球

有分別編號(hào)的4個(gè)小球和3個(gè)盒子，要選取其中的3個(gè)小球分別放入盒子中，每個(gè)盒子只能放一個(gè)球，下表已給出2種放置方法，請(qǐng)你補(bǔ)充列出其余所有方法.5253小球放置方式2.2.1排列與排列數(shù)的概念本節(jié)實(shí)例考察中“安排班次”的問題，共有6種不同的選擇方法：甲乙

甲丙

乙甲

乙丙

丙甲

丙乙這個(gè)問題也可以分2個(gè)步驟來完成：第1步，從甲、乙、丙3個(gè)工人中選取一人上日班，共有3種選擇；第2步，從另外2人中選取一人上夜班，共有2種選擇.由分步計(jì)數(shù)原理，得不同的選取方法種數(shù)為3×2=6.這里，甲、乙、丙都是研究的對(duì)象.我們一般把研究的對(duì)象稱為元素.對(duì)日班和夜班的安排，就是將所選元素排一個(gè)順序.由此可知，“安排班次”這一實(shí)例的特點(diǎn)是：從3個(gè)不同元素中任意選擇2個(gè)元素，并按一定的順序排成一列.54本節(jié)實(shí)例考察中的“放置小球”的問題，共有24種不同的放置方法：123124132134142143213214231234241243312314321324341342412413421423431432這個(gè)問題也可以分3個(gè)步驟來完成：第1步，從4個(gè)小球中取出一個(gè)放入盒子Ⅰ中，共有4種不同的取法；第2步，從余下的3個(gè)小球中取出一個(gè)放入盒子Ⅱ中，共有3種不同的取法；第3步，從前兩步余下的2個(gè)小球中取出一個(gè)放入盒子Ⅲ中，共有2種不同的取法.由分步計(jì)數(shù)原理，得不同的放置方法種數(shù)為4×3×2=24.55這里的4個(gè)小球都是元素.將選出的3個(gè)小球分別放入盒子Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ中，就是為所選元素排一個(gè)順序.由此可知，“放置小球”這一實(shí)例的特點(diǎn)是：從4個(gè)不同元素中任意選擇3個(gè)元素，并按一定的順序排成一列.56由上述定義可知，對(duì)于從n

個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的排列中，任意兩個(gè)不同的排列可分為2種情形：1.兩個(gè)排列中的元素不完全相同.2.兩個(gè)排列中的元素相同，但排列的順序不相同.只有元素相同且元素的排列順序也相同的兩個(gè)排列才是相同的排列.57“安排班次”問題是求從3個(gè)不同元素中任意取出2個(gè)元素的排列數(shù).根據(jù)前面的計(jì)算可知

=3×2=6.“放置小球”問題是求從4個(gè)不同元素中任意取出3個(gè)元素的排列數(shù)

.根據(jù)前面的計(jì)算可知

=4×3×2=24582.2.2排列數(shù)公式首先，我們來計(jì)算排列數(shù).求排列數(shù)

可以這樣考慮：假定有排好順序的2個(gè)空位，從5個(gè)不同元素a1，a2，a3，a4，a5

中任取2個(gè)去填空，1個(gè)空位填1個(gè)元素，每種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列.因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù).59那么有多少種不同的填法呢？事實(shí)上，填空可分為2個(gè)步驟：第1步，從5個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第1位，有5種填法.第2步，從剩下的4個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第2位，有4種填法.于是，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到排列數(shù)=5×4=20.求排列數(shù)

同樣可以這樣考慮：假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同的元素a1，a2，a3，…，an

中任取m

個(gè)去填空，1個(gè)空位填1個(gè)元素，每種填法就對(duì)應(yīng)1個(gè)排列.因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù).60填空可分為m個(gè)步驟：第1步，從n個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第1位，有n種填法.第2步，從第1步選剩的（n-1）個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第2位，有（n-1）種填法.第3步，從前兩步選剩的（n-2）個(gè)元素中任選1個(gè)元素填入第3位，有（n-2）種填法.依次類推，當(dāng)前（m-1）個(gè)空位都填上后，只剩下（n-m+1）個(gè)元素，從中任選1個(gè)元素填入第m

位，有（n-m+1）種填法.61根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，全部填滿m

個(gè)空位共有n（n-1）（n-2）…（n-m+1）種填法.由此可得排列數(shù)公式：排列數(shù)公式的特點(diǎn)是：等號(hào)右邊第1個(gè)因數(shù)是n，后面的每個(gè)因數(shù)都比它前面一個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)為（n-m+1），共有m

個(gè)因數(shù)相乘.62從n個(gè)不同元素中取出全部n個(gè)元素的一個(gè)排列稱為n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí)排列數(shù)公式中m=n，即有=n×（n-1）×（n-2）×···×3×2×1.因此，n個(gè)不同元素的全排列數(shù)等于正整數(shù)1，2，3，···，n的連乘積.正整數(shù)1，2，3，···，n的連乘積稱為n的階乘，記作n!，即=n!.因?yàn)?3所以，排列數(shù)公式還可寫成為使這個(gè)公式在m=n時(shí)仍成立，我們規(guī)定0!=1.排列數(shù)

和全排列數(shù)=n!也可以用計(jì)算器直接計(jì)算.計(jì)算

的按鍵順序是：n；計(jì)算n!的按鍵順序是：n.但是由于階乘結(jié)果的增長(zhǎng)速度是非?？斓模话愕氖挥?jì)算器可以直接表示13!的結(jié)果，14!的結(jié)果則以科學(xué)記數(shù)法表示.642.3組合65實(shí)例考察問題1在一個(gè)4人（甲、乙、丙、?。﹨⒓拥男⌒凸ぷ鲿?huì)議上，任何一位與會(huì)者都要同其他與會(huì)者每人握手一次.下表已給出兩次握手的雙方名單，請(qǐng)你根據(jù)下圖的提示，補(bǔ)充列出其他各次握手的雙方名單.66各次握手的雙方名單

實(shí)際上，列出各次握手的雙方名單就是要從4個(gè)人中選出2人，且不計(jì)2人間的順序，并將各種選法羅列出來.從這種思路出發(fā)，嘗試解決下面的問題.問題2

要從甲、乙、丙3名工人中選取2名共同值夜班，有多少種選擇方法？請(qǐng)逐一列出.672.3.1組合與組合數(shù)的概念實(shí)例考察中的問題是選出2名工人共同值夜班.這與選出2名工人分別值日班和夜班是不同的.共同值夜班的2人沒有班次差別，即不計(jì)2人的順序.因此，從3名工人中選2人共同值夜班共有3種選法：甲乙、甲丙、乙丙.上述問題可以看成從3個(gè)元素中任取2個(gè)元素，不計(jì)順序組成一組，求一共有多少個(gè)不同的組.682.3.2組合數(shù)公式下面我們從研究排列數(shù)

與組合數(shù)

的關(guān)系入手，找出組合數(shù)

的計(jì)算公式.從4個(gè)不同元素a，b，c，d

中取出3個(gè)元素的排列與組合的關(guān)系如圖所示.69從上圖可以看出，每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)6種不同的排列.因此，從4個(gè)不同元素中取3個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步求得.第1步，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素做組合，共有

種.第2步，對(duì)每一個(gè)組合中的3個(gè)不同元素做全排列，各有=6種.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得因此70通常，從n個(gè)不同元素中取出m

個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步求得.第1步，求出從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).第2步，求每一個(gè)組合中m

個(gè)元素的全排列數(shù).根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得由此得到組合數(shù)公式：根據(jù)組合數(shù)公式，當(dāng)m=n時(shí)，有71上式很好理解：在不考慮順序的前提下，要選出n個(gè)元素組成一組，而元素的總數(shù)恰好只有n個(gè)，顯然只有一種選法，就是把這n個(gè)元素全部選出.因?yàn)樗越M合數(shù)公式還可寫成組合數(shù)

同樣也可以利用計(jì)算器直接計(jì)算，其按鍵順序是：n.722.3.3組合數(shù)的性質(zhì)從n個(gè)元素中選出m

個(gè)元素的組合數(shù)，與從n個(gè)元素中選出（n-m）個(gè)元素的組合數(shù)是相等的.由此，得到組合數(shù)的一種重要性質(zhì)732.4二項(xiàng)式定理74實(shí)例考察我們知道（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2.通過計(jì)算可得到（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3.那么，（a+b）4

展開后的各項(xiàng)又是什么呢？75（a+b）4

表示4個(gè)a+b連乘，其展開式的各項(xiàng)是從每個(gè)a+b里任取一個(gè)字母的乘積，因而各項(xiàng)都是4次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項(xiàng)：a4，a3b，a2b2，ab3，b4.現(xiàn)在來看一看上面各項(xiàng)在展開式