點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離-(人教A版2019選擇性-必修第一冊(cè))

高中數(shù)學(xué)

人教A版（2019）

選擇性必修第一冊(cè)第二章

直線和圓的方程2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離

教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第二章《直線和圓的方程》的第三節(jié)《直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式》。以下是本單元的課時(shí)安排：第二章直線和圓的方程課時(shí)內(nèi)容2.1直線的傾斜角與斜率2.2直線的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式所在位置教材第51頁(yè)教材第59頁(yè)教材第70頁(yè)新教材內(nèi)容分析直線的傾斜角與斜率從初中所學(xué)“兩點(diǎn)確定一條直線”出發(fā)，引起學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的直線的幾何要素的確定，是今后學(xué)習(xí)直線方程的必備知識(shí)。在推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，根據(jù)直線這一結(jié)論，先猜想確定一條直線的條件，再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程.充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立方程的一般思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ).圍繞兩直線一般方程的系數(shù)的變化來(lái)揭示兩直線方程聯(lián)立解的情況，從而判定兩直線的位置特點(diǎn).“點(diǎn)到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過(guò)渡到了解析幾何的定量計(jì)算，為以后直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有承前啟后的重要作用．核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過(guò)直線的傾斜角和斜率的求解，通過(guò)例題直線平行與垂直的判定，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)直線方程的求法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過(guò)直線交點(diǎn)的求法，距離公式的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線直線方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)用向量工具推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，理解兩條平行線間的距離公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)。.2.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離，能應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式解決有關(guān)距離問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式的探索和推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng).重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)思路分析；

點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．

理解和掌握兩條平行線間的距離公式難點(diǎn)：應(yīng)用距離公式解決綜合問(wèn)題（一）新知導(dǎo)入

【問(wèn)題1】在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短?【問(wèn)題2】立定跳遠(yuǎn)測(cè)量的是什么距離？A.兩平行線的距離B.點(diǎn)到直線的距離C.點(diǎn)到點(diǎn)的距離（二）點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離【探究1】1．如圖，什么是平面上點(diǎn)P到直線l的距離？【提示】點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長(zhǎng)度，其中Q是垂足．2．如上圖，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐標(biāo)？如何求|PQ|的長(zhǎng)？

（二）點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離

（二）點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離5．根據(jù)問(wèn)題3,4的內(nèi)容，你能得出|PQ|的長(zhǎng)嗎？

（二）點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆點(diǎn)到直線的距離(1)概念：過(guò)一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離，就是該點(diǎn)到直線的距離．(2)公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的距離d＝

.【點(diǎn)睛】(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.（3）點(diǎn)到直線的距離即是點(diǎn)與直線上點(diǎn)連線的距離的最小值。

D

（二）點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆知識(shí)點(diǎn)2兩條平行直線間的距離【探究2】1．兩條平行直線間的距離是指什么線段的長(zhǎng)？【提示】?jī)蓷l平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)．2．直線l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三點(diǎn)，直線l2：x＋y－2＝0與直線l1平行，那么點(diǎn)A、B、C到直線l2的距離分別為多少？有什么規(guī)律嗎？

3．已知l1：Ax＋By＋C1＝0(A，B不同時(shí)為0)，l2：Ax＋By＋C2＝0(C2≠C1)，如何推導(dǎo)出l1與l2間的距離公式？

（二）點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離◆兩條平行直線間的距離：(1)概念：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)．(2)求法：兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．(3)公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝

.

C-6或2

兩直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.（三）典型例題1.點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用例1.求點(diǎn)P0(－1,2)到下列直線的距離：

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.

（三）典型例題例2.求過(guò)點(diǎn)M(－2,1)且與A(－1,2)，B(3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線方程．

（三）典型例題【類題通法】1.在使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，首先把直線方程化為一般式，再利用公式求解．2.在已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)公式列方程求解參數(shù)即可．【鞏固練習(xí)1】1.若點(diǎn)M(－2,1)到直線x＋2y＋C＝0的距離為1，則C的值為_(kāi)_____．

（三）典型例題2.兩條平行直線間的距離【例3】已知直線l與直線3x＋4y－1＝0平行，且兩直線間的距離為4，則直線l的方程為_(kāi)_______．

（三）典型例題

（三）典型例題【鞏固練習(xí)2】直線l1過(guò)點(diǎn)A(0,1)，l2過(guò)點(diǎn)B(5,0)，如果l1∥l2，且l1與l2間的距離為5，求l1，l2的方程．

若直線l1，l2的斜率不存在，則l1的方程為x＝0，l2的方程為x＝5，它們之間的距離為5，滿足條件．則滿足條件的直線方程有以下兩組：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.（三）典型例題3.對(duì)稱問(wèn)題例4.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：（1）點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；

（三）典型例題

（三）典型例題

（三）典型例題

（三）典型例題4.最值問(wèn)題例5.兩條互相平行的直線分別過(guò)點(diǎn)A(6,2)和B(－3，－1)，如果兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的變化范圍；(2)當(dāng)d取最大值時(shí)，兩條直線的方程．

（三）典型例題

【類題通法】數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化的思想和方法是數(shù)學(xué)中常用的思想方法．當(dāng)圖形中的元素運(yùn)動(dòng)變化時(shí)我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進(jìn)而可求出這些量的變化范圍．例如，當(dāng)一條直線過(guò)定點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)B到這條直線l的距離d也是當(dāng)l⊥AB時(shí)最大，l過(guò)B點(diǎn)時(shí)，最小為零．（四）操作演練

素養(yǎng)提升

答案：1.A

2.C

3.C

4.C（五）課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)學(xué)生反思（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？

（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布置完成教材——第77頁(yè)練習(xí)第1，