第九章壓桿穩(wěn)定簡介講義資料

材料力學Thursday,January9,2025第九章壓桿穩(wěn)定1第九章壓桿穩(wěn)定本章內(nèi)容:1壓桿穩(wěn)定的概念2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式5 壓桿的穩(wěn)定校核6 提高壓桿穩(wěn)定性的措施7 縱橫彎曲的概念2§9.1壓桿穩(wěn)定的概念 前面各章節(jié)討論了構(gòu)件的強度和剛度問題。 本章討論受壓桿件的穩(wěn)定性問題。

穩(wěn)定性問題的例子平衡形式突然改變喪失穩(wěn)定性失穩(wěn)3

平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定平衡

不穩(wěn)定平衡

隨遇平衡

壓桿的平衡 穩(wěn)定性當P

Pcr

當P

Pcr

5

壓桿的平衡 穩(wěn)定性

臨界壓力Pcr當P

Pcr時，壓桿的直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。當P

Pcr時，直線平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的，受干擾后成為微彎平衡狀態(tài)。使直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)的最大壓力，也是在微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力。當P

Pcr

當P

Pcr

6§9.2兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力 兩端鉸支桿受壓 力P作用 考察微彎平衡狀態(tài)

x處截面的彎矩

撓曲線近似微分I

為截面最小的慣性矩方程7引入記號通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為:時，時，將代入通解將代入通解8邊界條件為:時，時，將代入通解將代入通解因所以應(yīng)有代入因為臨界壓力是微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力，所以，應(yīng)取n=1。9代入因為臨界壓力是微彎平衡狀態(tài)下的最小壓力，所以，應(yīng)取n=1。這就是兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力公式。

歐拉公式當取n=1

時，由則，撓曲線方程為10當取n=1

時，由則，撓曲線方程為其中，A為桿中點的撓度。A的數(shù)值不確定。歐拉公式與精確解曲線

精確解曲線

理想受壓直桿 非理想受壓直桿時，11§9.3其他支座條件下細長壓桿的臨界壓力1一端固支一端自由的壓桿2一端固支一端滑動固支 （簡稱為兩端固支）由兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式122一端固支一端滑動固支 （簡稱為兩端固支）拐點處彎矩為零。拐點3一端固支一端鉸支由兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式133一端固支一端鉸支4歐拉公式的普遍形式l相當長度；

長度系數(shù)。拐點由兩端鉸支壓桿的臨界壓力公式14表9.1壓桿的長度系數(shù)

4歐拉公式的普遍形式l相當長度；

長度系數(shù)。15例1 (書例9.2)已知:兩端固支壓桿，E,

I，l。求：臨界壓力。解：lx考察微彎平衡狀態(tài)

x

處截面的彎矩

撓曲線近似微分方程兩端的水平約束力為零vyxPPmmPM16

撓曲線近似微分方程xvyxPPmm引入記號通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。17xvyxPPmm通解為其中，A、B為積分常數(shù)，由邊界條件確定。邊界條件為:時，時，將邊界條件代入通解又代入18通解為邊界條件為:時，時，將邊界條件代入通解又代入代入代入通解19最小非零解為代入20§9.4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式1臨界應(yīng)力臨界壓力臨界應(yīng)力將慣性矩寫為i

慣性半徑21將慣性矩寫為i

慣性半徑

柔度

(長細比)柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。22

柔度

(長細比)柔度是壓桿穩(wěn)定問題中的一個重要參數(shù)，它全面反映了壓桿長度、約束條件、截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。則臨界應(yīng)力為

歐拉公式2歐拉公式的適用范圍導(dǎo)出歐拉公式用了撓曲線近似微分方程要求材料滿足胡克定律232歐拉公式的適用范圍導(dǎo)出歐拉公式用了撓曲線近似微分方程要求材料滿足胡克定律即：記：則歐拉公式成立的條件為：可以看出：

1

只與材料的性質(zhì)有關(guān)。24記：則歐拉公式成立的條件為：可以看出：

1

只與材料的性質(zhì)有關(guān)。對Q235鋼：E=206GPa，

p=200Mpa

3直線經(jīng)驗公式對于

cr

p的情況，歐拉公式不成立。工程上使用經(jīng)驗公式。直線經(jīng)驗公式253直線經(jīng)驗公式對于

cr

p的情況，歐拉公式不成立。工程上使用經(jīng)驗公式。直線經(jīng)驗公式式中,a,b是與材料有關(guān)的常數(shù)(表9.2,p301)。800.19028.7松木701.454332.2鑄鐵952.568461優(yōu)質(zhì)碳鋼ss=306MPa1021.12304Q235鋼

ss=235MPal1b(MPa)a(MPa)材料26直線經(jīng)驗公式式中，a,b

是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。直線經(jīng)驗公式的適用范圍用直線經(jīng)驗公式時，應(yīng)有記：則直線經(jīng)驗公式的適用范圍為：當

2

時，就發(fā)生強度失效，而不是失穩(wěn)。27記：則直線經(jīng)驗公式的適用范圍為：當

2

時，就發(fā)生強度失效，而不是失穩(wěn)。所以應(yīng)有:不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細長桿)

1

的壓桿(2)中柔度桿

2

1

的壓桿4壓桿分類284壓桿分類不同柔度的壓桿，需應(yīng)用不同的臨界應(yīng)力的公式?？筛鶕?jù)柔度將壓桿分為三類(1)大柔度桿(細長桿)

1

的壓桿(2)中柔度桿

2

1

的壓桿(3)小柔度桿(短粗桿)

2

的壓桿5臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力計算的小結(jié)

對

1

的大柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為295臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力計算的小結(jié)

對

1

的大柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為

1

2

的中柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為

2

的小柔度壓桿，臨界應(yīng)力公式為臨界應(yīng)力總圖30臨界應(yīng)力總圖大柔度桿小柔度桿中柔度桿316拋物線經(jīng)驗公式拋物線經(jīng)驗公式為式中，a1

,b1

是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。

說明若壓桿的局部有截面被削弱的情況，則：進行穩(wěn)定性計算時，可忽略若壓桿的局部削 弱，仍用原來截面的面積和慣性矩計算臨界 應(yīng)力；

進行強度計算時，應(yīng)按削弱后的面積計算。32§9.5壓桿的穩(wěn)定校核工作安全系數(shù)穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定校核滿足穩(wěn)定性要求時，應(yīng)有:穩(wěn)定安全系數(shù)與強度安全系數(shù)的取值強度安全系數(shù)取值1.2~2.5，有時可達3.5；穩(wěn)定安全系數(shù)取值2~5，有時可達8~10。33壓桿穩(wěn)定問題的解題步驟1穩(wěn)定校核問題

1) 計算

1，

2，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度，中柔度， 小柔度)；

3) 根據(jù)桿的類型求出

cr和Pcr

;

4) 計算桿所受到的實際壓力P；

5) 校核n=Pcr/P

nst

是否成立。穩(wěn)定安全系數(shù)與強度安全系數(shù)的取值強度安全系數(shù)取值1.2~2.5，有時可達3.5；穩(wěn)定安全系數(shù)取值2~5，有時可達8~10。341穩(wěn)定校核問題

1) 計算

1，

2，；

2) 確定屬于哪一種桿(大柔度桿，中柔度桿， 小柔度桿)；

3) 根據(jù)桿的類型求出

cr

和Pcr

;

4) 計算桿所受到的實際壓力P；

5) 校核n=Pcr/P

nst

是否成立。2確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問題；

4)

P

Pcr/nst。352確定許可載荷 前3步同穩(wěn)定校核問題；

4) P

Pcr/nst。3截面設(shè)計問題

1) 計算實際壓力P

；

2) 求出Pcr：Pcr=

nst

P；

3) 先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進一步求出直徑d

(若為圓截面桿)

;

4) 計算

1和

；

5) 檢驗

1

是否成立。若成立，則結(jié)束;363) 先假設(shè)為大柔度桿，由歐拉公式求出I,

進一步求出直徑d

(若為圓截面桿)

;4) 計算

1和

；5) 檢驗

1

是否成立。若成立，則結(jié)束;

6)

若

1不成立，則設(shè)為中柔度桿，按經(jīng) 驗公式求出

;

7) 計算

2；

8) 檢驗

2

是否成立。

9)

若

2

成立，則由

求出慣性半徑i

, 再求出直徑d

(若為圓截面桿)，結(jié)束。37例2 (書例.4)已知:空氣壓縮機的活塞桿由45鋼制成，ss=350

Mpa,sp=280MPa,E=210GPa。長度l=703mm,直徑d=45mm。最大壓力Pmax=41.6kN。穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=8~10。要求：試校核其穩(wěn)定性。解：1求

1

2求

活塞桿可簡化為兩端鉸支桿381求

1

2求

活塞桿可簡化為兩端鉸支桿

慣性半徑對圓軸

柔度

391求

1

2求

柔度

因為，所以不是大柔度桿。3求

2

采用直線經(jīng)驗公式。

由表14.2查得(45鋼屬優(yōu)質(zhì)碳鋼)：所以，是中柔度桿。403求

2

采用直線經(jīng)驗公式。

所以，是中柔度桿。4求臨界應(yīng)力

采用直線經(jīng)驗公式。

5求臨界壓力

6穩(wěn)定校核

滿足穩(wěn)定要求。

41例2 (書例9.5)已知:活塞直徑D=65mm，p=求：活塞桿直徑d。解：這是截面設(shè)計問題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp1.2MPa,l=1250mm,45鋼，sp=220MPa,

E=210GPa,

nst=6?；钊麠U所受壓力用歐拉公式計算臨界壓力42解：這是截面設(shè)計問題。臨界壓力的最大值為先假設(shè)為大柔度桿Pp活塞桿所受壓力用歐拉公式計算臨界壓力活塞桿可簡化為兩端鉸支桿取43活塞桿可簡化為兩端鉸支桿取根據(jù)求出的d計算柔度計算

1

因為，是大柔度桿。以上計算正確。44§9.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施1選擇合理的截面形狀截面的慣性矩I越大，或慣性半徑i越大,就越不容易失穩(wěn)，即穩(wěn)定性越好。所以，應(yīng)選擇合理的截面形狀，使得:在截面積相等的情況下，使I

或i

較大45各縱向平面內(nèi)的約束情況相同時應(yīng)使對各形心軸的I或i接近相等。兩縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)