第11講-導(dǎo)數(shù)中的新定義問題(學(xué)生版)

第11講導(dǎo)數(shù)中的新定義問題（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題結(jié)合新定義載體而定，難度一般或較大，分值為5分【備考策略】1熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及基本運算2能結(jié)合實際題目理解導(dǎo)數(shù)新定義的概念及運算3能結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識進行綜合求解【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容,也是高考壓軸題之一，而導(dǎo)數(shù)新定義更加考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，需綜合復(fù)習(xí)知識講解新定義問題的解決策略第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并進行化簡;第二步，數(shù)形結(jié)合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉(zhuǎn)化思想，將新定義問題和自己所學(xué)的知識結(jié)合起來轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識進而求解考點一、導(dǎo)數(shù)中的新定義問題1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“奮斗點”.若函數(shù)，的“奮斗點”分別為，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，的定義域都是，直線與，的圖象分別交于，兩點，若線段的長度是不為的常數(shù)，則稱曲線，為“平行曲線”設(shè)，且，為區(qū)間的“平行曲線”其中，在區(qū)間上的零點唯一，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．1．（2022·遼寧·遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）我們把形如的方程稱為微分方程，符合方程的函數(shù)稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程的解的是（

）A． B．C． D．2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點P，Q，使得在這兩點處的切線重合，則稱函數(shù)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考模擬預(yù)測）定義一個可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)一點處的彈性為，請寫出一個定義在正實數(shù)集上且任意一點處的彈性均為的可導(dǎo)函數(shù)．4．（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點處的階泰勒展開式.例如，在點處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點處的階泰勒展開式，并直接寫出在點處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.8．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)當時，過坐標原點作曲線的切線，求切線方程；(2)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，對任意，若在上恒成立，則稱點為函數(shù)的“好點”，求函數(shù)在上所有“好點”的橫坐標（結(jié)果用表示）.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在一點的鄰域中的值，常見的公式有：；.則利用泰勒公式估計的近似值為（

）（精確到）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)，以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．4．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若存在，使得．則稱為函數(shù)在上的“中值點”．下列函數(shù)，其中在區(qū)間上至少有兩個“中值點”的函數(shù)為（

）A． B．C． D．5．（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個“新駐點”，下列函數(shù)中，具有“新駐點”的是（

）A． B．C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記、分別為函數(shù)、的導(dǎo)函數(shù)，若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”，則下列說法正確的為（

）A．函數(shù)與存在唯一“點”B．函數(shù)與存在兩個“點”C．函數(shù)與不存在“點”D．若函數(shù)與存在“點”，則7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是（）A．存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)的對稱中心也是函數(shù)的一個對稱中心C．存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心D．若函數(shù)，則三、填空題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，若函數(shù)，則.9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點（x，f（x））處的曲率，則曲線在（1，1）處的曲率為；正弦曲線（x∈R）曲率的平方的最大值為.四、雙空題10．（2022秋·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則的拐點為，.【能力提升】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．2021 B． C．2022 D．2．（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為.若在區(qū)間上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知實數(shù)是常數(shù)，.若對滿足的任何一個實數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大為（

）A．3 B．2 C．1 D．-1二、多選題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個點，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上“中值點”的個數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點”個數(shù)為，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）A． B． C． D．4．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）定義：如果函數(shù)在上存在，（），滿足，則稱，為上的“對望數(shù)”.已知函數(shù)為上的“對望函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對望函數(shù)”B．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”C．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”D．若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上單調(diào)5．（2022秋·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為.若二元函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．的最小值為D．的最小值為6．（2023·安徽淮北·高三?？奸_學(xué)考試）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對稱點為，且不等式對任意恒成立，則（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（

）A．在上是“弱減函數(shù)”B．在上是“弱減函數(shù)”C．若在上是“弱減函數(shù)”，則D．若在上是“弱減函數(shù)”，則三、填空題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是世紀對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為.①函數(shù)在上為“嚴格凸函數(shù)”；②函數(shù)的“嚴格凸區(qū)間”為；③函數(shù)在為“嚴格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.四、解答題9．（2022·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若是定義域為D的增函數(shù)，則稱為D上的“凹函數(shù)”，已知函數(shù)為R上的凹函數(shù)．(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，證明：當時，，當時，．(3)證明：．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類