2024-2025學(xué)年山西省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山西省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線(xiàn)的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知命題p：“”，命題q：“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”，則命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要3．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（

）A． B．C． D．4．已知平行六面體的各棱長(zhǎng)均為1，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運(yùn)行軌道近似可看作以地心為一個(gè)焦點(diǎn)且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為的球體，近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（

）A． B． C． D．6．若圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．已知直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，則橢圓的焦距為（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)為橢圓:的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線(xiàn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是圓B．當(dāng)時(shí)，是橢圓且一焦點(diǎn)為C．當(dāng)時(shí)，是橢圓且焦距為D．當(dāng)時(shí)，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則下列選項(xiàng)正確的是（）

A．存在點(diǎn)滿(mǎn)足B．滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是C．滿(mǎn)足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是D．滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是11．通常稱(chēng)離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點(diǎn)，，分別為上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則滿(mǎn)足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A． B．C．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)， D．軸，且三、填空題（本大題共3小題）12．圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為.13．，，函數(shù)的最小值為.14．如圖，圓臺(tái)中，上、下底面半徑比為，為圓臺(tái)軸截面，母線(xiàn)與底面所成角為，上底面中的一條直徑滿(mǎn)足，則夾角余弦值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點(diǎn)，設(shè).(1)求和的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求的值.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知的頂點(diǎn)，AB邊上中線(xiàn)CD所在直線(xiàn)方程為，AC邊上的高BH所在直線(xiàn)方程為，求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求的面積.17．已知圓C：和定點(diǎn)，直線(xiàn)l：（）.(1)當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)l被圓C所截得的弦長(zhǎng)；(2)若直線(xiàn)l上存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，滿(mǎn)足，求m的取值范圍.18．如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面.(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng)度.(3)若，線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使平面?若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知橢圓：，A，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，若，且當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)，的斜率分別為，，問(wèn)是否為定值？并證明你的結(jié)論；(3)記的面積為S，求S的最大值．

答案1．【正確答案】D【詳解】可變形為，，，選D2．【正確答案】A【詳解】若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則，得，或，所以命題p是命題q的充分不必要條件，故選：A3．【正確答案】D【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解【詳解】由可得，所以圓心坐標(biāo)和半徑分別是，故選：D4．【正確答案】B【詳解】取為空間向量的基底，因?yàn)?，，，所以?因?yàn)?，所以，所?故選：B5．【正確答案】A【詳解】由題意，不妨以橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則橢圓方程為，則，且，解得，，故該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為，又，所以.故選：A6．【正確答案】D【詳解】圓，即，圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，由圓與圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，則，整理得，即圓心的軌跡方程為.故選：D.7．【正確答案】B【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法求得m的值，進(jìn)而可求得橢圓的焦距.【詳解】如圖所示，依題意，直線(xiàn)的斜率為，設(shè)，則，且，由兩式相減得：，于是，解得，此時(shí)橢圓，顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，符合要求，所以橢圓的焦距為.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是.故選：C.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C可化為是圓，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C可化為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是橢圓，且，所以，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)不是橢圓，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．【正確答案】ACD【詳解】

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有A2,0,0，，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，且，，則，即，故軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)既在軌跡上也在底面內(nèi)，故存在這樣的點(diǎn)存在，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，，，在底面內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度是以為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的，故長(zhǎng)度為，B錯(cuò)誤對(duì)于C選項(xiàng)，，，設(shè)面的法向量n=x,y,z故有，解得故平面，，的軌跡方程為，，在底面內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度為，C正確對(duì)于D選項(xiàng)，，，，的軌跡方程為，，在底面內(nèi)軌跡的長(zhǎng)度為，D正確故選：ACD11．【正確答案】BC【詳解】由可知：，，，，，，對(duì)于A，若，則，所以，即，所以，與已知不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，，所以，所以，整理得，所以，解得（舍去）或所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)軸，時(shí)，則，，，所以，所以，整理得，所以，所以，與已知不符，故D錯(cuò)誤.故選：BC12．【正確答案】【分析】將兩圓方程作差，消去、項(xiàng)，可得出兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程.【詳解】將兩圓方程作差可得，即.因此，圓和圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線(xiàn)，，到的距離分別為，，易知，如圖，

顯然.故14．【正確答案】0【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與點(diǎn)設(shè)由題意可知：，∴在圓臺(tái)中，∴以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)夾角為，則故0.15．【正確答案】(1)(2)2或【詳解】（1）由點(diǎn)，得，，所以，所以和夾角的余弦值為.（2）由（1）可得，，因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，則，由整理可得，解得或，所以的值為2或.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)設(shè)出直線(xiàn)的方程，利用的坐標(biāo)求得直線(xiàn)的方程，通過(guò)聯(lián)立的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得到直線(xiàn)的距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得，進(jìn)而求得的面積.【詳解】（1）∵，BH的方程為，不妨設(shè)直線(xiàn)AC的方程為，將代入得，解得，∴直線(xiàn)AC的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)AC，CD的方程，即，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，則，∵點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，所以，解得，直線(xiàn)的方程為，則到直線(xiàn)的距離為，又，，則，17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）圓C：，圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l的方程為，所以圓心C到直線(xiàn)l的距離，故弦長(zhǎng)為.

（2）設(shè)，則，由，，得.化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)M的軌跡是以為圓心，8為半徑的圓.又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線(xiàn)l：上，所以與圓D有公共點(diǎn)，所以，解得，所以m的取值范圍是.

18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)或(3)存在，【詳解】（1）如圖所示：

連結(jié)交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅问钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)為軸，分別以、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z則，令，則，，則，設(shè)與平面所成角為，，解得或，所以的長(zhǎng)度或.（3）存在，理由如下：因?yàn)?，結(jié)合（2），，，所以，，，令，則，所以，所以，設(shè)平面法向量為n=x則，令，則，，所以，因?yàn)槠矫?，所以，所以有，解得，所以，因?yàn)?，所?19．【正確答案】(1)；(2)為定值，證明見(jiàn)解析；(3