2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市鄒城市高二上學(xué)期11月期中教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)寧市鄒城市高二上學(xué)期11月期中教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場(chǎng)、座號(hào)、姓名、班級(jí)填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼在”貼條形碼區(qū)”.2.作選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號(hào).3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無效.4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號(hào)規(guī)范、筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是（）A.2 B.3 C.4 D.9【正確答案】B【分析】由距離公式計(jì)算．由題意，故選：B．2.若直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算．由題意，故選：D．3.甲、乙兩人比賽下棋，下成和棋的概率是，甲獲勝的概率的是，則乙不輸?shù)母怕适牵ǎ〢. B. C. D.【正確答案】C【分析】分析可得乙不輸與甲勝是對(duì)立事件，再由對(duì)立事件的概率和為1求解即可；乙不輸與甲勝是對(duì)立事件，則乙不輸?shù)母怕适?，故選：C.4.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A. B.4 C. D.2【正確答案】A【分析】利用幾何法即可求得弦的長(zhǎng).圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，則弦的長(zhǎng)故選：A5.已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先表示出，，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離計(jì)算可得.因?yàn)?，所以，，則，，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：D6.甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用古典概型概率計(jì)算公式求解即可.將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對(duì)，組成種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：甲乙234567234567記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是9”，則事件A可能結(jié)果有6種，即，所以事件A的概率為：，故選：C.7.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】連接，取中點(diǎn)，連接，證明是與所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)，解三角形可得．連接，取中點(diǎn)，連接，則，，所以是與所成的角或其補(bǔ)角，正棱柱中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，設(shè)，則，所以，，等邊三角形中，，，，在等腰中，，,中，,所以與所成角的余弦值是，故選：B．8.若過直線上一點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用圓的幾何性質(zhì)，將化為，再求得兩點(diǎn)間距離的最小值，進(jìn)而求得的最小值.圓的圓心，半徑四邊形中，，則，整理得，又，PC最小值即為圓心到直線的距離，則故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)直線的交點(diǎn)為，則（）A.恒過定點(diǎn)0,2B.C.的最大值為D.點(diǎn)到直線的距離的最大值為5【正確答案】ABD【分析】由直線過定點(diǎn)即可判斷A，由兩直線垂直列出方程即可判斷B，聯(lián)立兩直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入計(jì)算即可判斷C，結(jié)合題意可知點(diǎn)到直線的距離的最大值即為點(diǎn)到定點(diǎn)0,2的距離，即可判斷D.對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，所以恒過定點(diǎn)0,2，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€滿足，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由A可知，直線恒過定點(diǎn)0,2，則點(diǎn)到直線的距離的最大值即為點(diǎn)到定點(diǎn)0,2的距離，即，故D正確；故選：ABD10.某學(xué)校數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各有3名男生、3名女生，假設(shè)物理興趣小組的3名女生為甲、乙、丙，現(xiàn)從數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各隨機(jī)選出1名同學(xué)參加比賽.設(shè)事件為“從數(shù)學(xué)興趣小組中選出的是男生”；事件為“從物理興趣小組選出的是女生乙”；事件為“從兩興趣小組選出的都是男生”；事件為“從兩興趣小組中選出的是1名男生和1名女生”，則（）A. B.C.與相互獨(dú)立 D.與互斥【正確答案】BC【分析】由古典概率可得A錯(cuò)誤；由古典概率和相互獨(dú)立事件的概率可得B正確；由相互獨(dú)立事件的概率關(guān)系可得C正確；由互斥事件的性質(zhì)可得D錯(cuò)誤；A，由題意可得，故A錯(cuò)誤；B，由題意可得，故B正確；C，由題意可得，，所以與相互獨(dú)立，故C正確；D，事件與可能同時(shí)發(fā)生，所以不互斥，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.存在唯一點(diǎn)，使得平面B.存在唯一點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最小值為D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積的最小值為【正確答案】AC【分析】以為原點(diǎn)，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，由平面，利用向量法可得，從而得唯一確定，即可判斷A；由平面，可得，從而得不唯一，即可判斷B；找出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合由等體積法判斷C，D.解：以為原點(diǎn)，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：則對(duì)于A，因?yàn)椋?，，所以，又因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，又因?yàn)槠矫妫?，所以，所以，唯一確定，故正確；對(duì)于B，因?yàn)?，要使平面，則，所以，所以，故點(diǎn)不唯一，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，所以，設(shè)到的距離為，則，當(dāng)與重合時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上，設(shè)到的距離為因?yàn)椋?dāng)點(diǎn)位于圓弧中點(diǎn)時(shí)，.所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.方法點(diǎn)睛：利用空間向量解決空間角度、距離及位置關(guān)系是常用方法.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.12.若實(shí)數(shù)滿足方程，則的最小值為___.【正確答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求得的最小值.由實(shí)數(shù)滿足方程，可得，則，則的最小值為.故13.某商場(chǎng)調(diào)查500名顧客的滿意度情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：不滿意一般滿意女性2564男性1536若，則滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為________.【正確答案】【分析】由題意可知，寫出樣本空間包含樣本點(diǎn)，然后寫出“滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客”事件的樣本點(diǎn)，最后計(jì)算概率即可.由題可知：，又因?yàn)?，所以樣本空間包含樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，設(shè)“滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客”為事件，則事件包含的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)，所以，所以滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為.故答案為.14.已知正四棱柱為對(duì)角線的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體表面交于兩點(diǎn)，為長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得．為的中點(diǎn)，即為正四棱柱的中心，由對(duì)稱性，為的中點(diǎn)，則，，，，所以，所以，故．四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，長(zhǎng)方體中，，設(shè).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）構(gòu)造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求兩個(gè)平面所成角的余弦.【小問1】連接，設(shè)，連接，如圖：則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以平面平面故平面.【小問2】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，?設(shè)平面的法向量n=x,y,z則，即令，解得，設(shè)平面一個(gè)法向量，則，即令，解得，.設(shè)平面與平面的夾角為，故平面與平面夾角的余弦值為.16.在某電視民間歌手挑戰(zhàn)賽活動(dòng)中，有4位民間歌手參加比賽，由現(xiàn)場(chǎng)觀眾投票選出最受歡迎的歌手，各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選2名歌手.其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，另外在其他歌手中隨機(jī)選1名；觀眾乙、丙對(duì)4位歌手沒有偏愛，因此，乙、丙在4名歌手中隨機(jī)選2名歌手.（1）求觀眾甲選2號(hào)歌手且觀眾乙未選2號(hào)歌手的概率；（2）設(shè)3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的選票數(shù)之和為，求的概率.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；（2）設(shè)事件A，B，C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號(hào)歌手，由題意得到，，再由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；小問1】設(shè)事件D表示“觀眾甲選2號(hào)歌手且觀眾乙未選2號(hào)歌手”，觀眾甲選2號(hào)歌手的概率為，觀眾乙未選2號(hào)歌手的概率為，從而，故觀眾甲選2號(hào)歌手且觀眾乙未選3號(hào)歌手的概率為，【小問2】設(shè)事件A，B，C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號(hào)歌手”，由題意得：，，所以故的概率為.17.已知直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且A3,2?兩點(diǎn)到直線的距離相等.（1）求直線的一般式方程；（2）若點(diǎn)在直線的同側(cè)，且為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）分類討論所求直線與直線平行或過的中點(diǎn)，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合幾何性質(zhì)可得，即可得結(jié)果.【小問1】由，解得，所以交點(diǎn)①當(dāng)所求直線與直線平行時(shí)，直線的斜率為，則所求直線的方程為，即；②當(dāng)所求直線過的中點(diǎn)時(shí)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，則所求直線垂直于軸，故所求直線方程為，即；綜上所述，所求直線方程為或.【小問2】因?yàn)辄c(diǎn)在直線的同側(cè)，所以直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)取到，故的最小值為.18.如圖，在矩形中，，沿將折起，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，使點(diǎn)在平面的射影落在邊上.（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明；（2）根據(jù)題意，作，垂足為，由線面垂直的判定定理可得平面，即可得到點(diǎn)到面的距離；（3）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1】由點(diǎn)在平面的射影落在邊上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.【小問2】作，垂足為，由已知得：且平面平面，從而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即為點(diǎn)到平面的距離，在直角三角形中，，所以，故點(diǎn)到平面的距離為.【小問3】在直角三角形中可得，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，以過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所以，從而，易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z所以，解得：，又直線的方向向量為，因此可得故直線與平面所成角的正弦值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，并且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為圓的動(dòng)弦，且不經(jīng)過點(diǎn)，記分別為弦的斜率.（i）若，求面積的最大值；（ii）若，請(qǐng)判斷動(dòng)弦是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【正確答案】（1）（2）（i），（ii）過定點(diǎn)，【分析】（1）設(shè)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知條件求解；（2）（i）由得，是直徑，由基本不等式可求