2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．不選、多選、錯(cuò)選均不得分．1.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則直線與所成角的正弦值為（）A.0 B. C. D.【正確答案】D【分析】由正方體可得，可得是異面直線直線與所成的角，進(jìn)而求解即可.在正方體中，可得，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以是異面直線直線與所成的角，又易得是等邊三角形，所以，所以，所以直線與所成角的正弦值為.故選：D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，若共面，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】A【分析】由空間向量共面定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.由空間向量共面定理可得存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得.故選：A3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出斜率，進(jìn)而可得傾斜角由直線得故直線的斜率為，又傾斜角范圍為，所以傾斜角為．故選：A．4.圓和圓的公切線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【正確答案】B【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圓心距判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而求解.由題意得，圓，即以為圓心，為半徑的圓，圓，即以為圓心，為半徑的圓，則，故，因此兩圓相交，則有2條公切線.故選：B.5.已知且，則的最大值為（）A.1 B. C. D.5【正確答案】D【分析】由三角換元代入計(jì)算，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.令，則，其中，因?yàn)?，則，所以的最大值為.故選：D6.若橢圓離心率為，則（）A.1 B.4 C.1或4 D.以上都不對(duì)【正確答案】C【分析】分焦點(diǎn)在軸和焦點(diǎn)在軸兩種情況分別計(jì)算.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得.故選：C7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由正三角形特點(diǎn)用表示，結(jié)合橢圓的定義，即可求得離心率.是正三角形，，.故選.本題考查橢圓離心率的求解問題，涉及到橢圓的橢圓的定義；關(guān)鍵是能夠利用正三角形的特點(diǎn)求出.8.曲線所圍成圖形的面積為（）A.2 B. C.4 D.【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后畫出圖形，結(jié)合圖形即可求得結(jié)果.由可得，即，所以，又，即，當(dāng)且時(shí)，則方程為，即，所以，當(dāng)且時(shí)，則方程為，即，當(dāng)時(shí)，則，所以方程為，即，畫出如圖所示圖像，其中弓形與弓形相等，由割補(bǔ)法可知，圍成圖形的面積為.故選：A二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知且，則的值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】CD【分析】由的幾何意義可求得其范圍，即可得答案.因，則表示以原點(diǎn)為球心，半徑為1的球表面上的點(diǎn).則表示到距離的平方.類比點(diǎn)到圓上距離的范圍，可得，，結(jié)合，可得，則，.故，則只有CD滿足條件.故選：CD10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知，點(diǎn)，點(diǎn)，且P，O不重合，P，A不重合，則（）A.若，則x，y，z滿足：B.若，則x，y，z滿足：C.若，則x，y，z滿足：D.若，則x，y，z滿足：【正確答案】BCD【分析】A由空間向量模長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)正誤；B由空間向量垂直坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)正誤；C由空間向量共線坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)正誤；D由空間向量夾角坐標(biāo)公式可判斷選項(xiàng)正誤.A由題，，因，則A錯(cuò)誤；B因，則，故B正確；C因，則，故C正確；D因，則.即，故D正確.故選：BCD.11.現(xiàn)有圓錐頂點(diǎn)為，底面所在平面為，母線PM與底面直徑MN的長(zhǎng)度都是2.點(diǎn)是PM的中點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)與所成二面角（銳角）為.已知平面與該圓錐側(cè)面的交線是某橢圓（或其一部分），則該橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)可能是（）A. B.1 C. D.2【正確答案】ABC【分析】當(dāng)平面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸所成角度大于母線與旋轉(zhuǎn)軸所成角度，小于直角時(shí)，圓錐被平面所截得的截線形狀為橢圓。本題中可以通過軸截面做出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的最大值和最小值，從而確定答案.如上圖，做出過點(diǎn)的軸截面，由已知條件可知，平面與軸截交得到的線段最短為，最長(zhǎng)為，當(dāng)平面與圓錐面所截得的橢圓的長(zhǎng)軸落在平面內(nèi)時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)或.根據(jù)已知的幾何關(guān)系可以計(jì)算出，.當(dāng)與圓錐所截得的橢圓的長(zhǎng)軸不在圖中所作的軸截面內(nèi)時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度滿足.對(duì)于A選項(xiàng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度可以為；對(duì)于B選項(xiàng)，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度可以為；對(duì)于C選項(xiàng)，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度可以為；對(duì)于D選項(xiàng)，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度不可能為.故選：ABC方法點(diǎn)睛：過點(diǎn)做出軸截面可以得出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的取值范圍，與選項(xiàng)進(jìn)行對(duì)照求解即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直，則直線的方程是______.【正確答案】【分析】先根據(jù)兩直線垂直求出斜率，再寫出點(diǎn)斜式方程.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以的方程為：，即.故13.已知點(diǎn)，點(diǎn)B，C是直線與圓的交點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A，B，C的圓的方程是______．【正確答案】【分析】由題設(shè)圓的方程為：，代入，即可求得方程.因點(diǎn)B，C是直線與圓的交點(diǎn)，則設(shè)過B，C的圓的方程為：，代入，則，則過過點(diǎn)A，B，C的圓的方程是：.故14.已知點(diǎn)在棈圓上，點(diǎn)，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】構(gòu)造橢圓，橢圓分別與橢圓有相同的短軸和長(zhǎng)軸，同時(shí)是兩橢圓的焦點(diǎn)，利用圖形關(guān)系可求的取值范圍.由橢圓與橢圓有相同的短軸，由橢圓與橢圓有相同的長(zhǎng)軸，又橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，即點(diǎn)，由橢圓方程可知橢圓在橢圓上及其內(nèi)部，橢圓在橢圓上及其內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，因橢圓方程可知橢圓在橢圓上及其內(nèi)部，所以，當(dāng)點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，因橢圓方程可知橢圓在橢圓上及其內(nèi)部，所以，當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍是.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，重點(diǎn)在于構(gòu)知橢圓與原橢圓分別共長(zhǎng)軸與短軸，并以為焦點(diǎn)，利用橢圓的定義可求解.四.解答題：本題共5小題，共7分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)是和，離心率是.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用已知條件可求得，進(jìn)而可求得橢圓方程；（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公可得，可求得點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍.【小問1詳解】由題意得：，解得.故橢圓的方程為：【小問2詳解】設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，所以，所以，其中.所以.故點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍是.16.如圖，正四棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為.（1）求側(cè)面與底面所成的二面角（銳角）的余弦值；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在說明理由.【正確答案】（1）（2）在線段上存在點(diǎn)，點(diǎn)滿足，使得.【分析】（1）設(shè)為底面的中心，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，利用側(cè)棱與底面所成的角為，結(jié)合線面角的向量求法，求出參數(shù)，再利用面面角的向量求法即可求解.（2）設(shè)，驗(yàn)證是否存在使得.【小問1詳解】設(shè)為底面的中心，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由題意知，.設(shè)，其中，則，向量是平面的法向量.由題意得，，解得.設(shè)平面的法向量為.因?yàn)?，，所以，即，令，則，則則，故側(cè)面與底面所成的二面角（銳角）的余弦值為.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)，則.因?yàn)?，若，則.即，解得，故在線段上存在點(diǎn)，點(diǎn)滿足，使得17.如圖，在三棱柱中，點(diǎn)是棱AC的中點(diǎn).側(cè)面底面ABC，底面ABC是等邊三角形，.（1）求證：平面ABC；（2）求平面與平面所成銳二面角平面角余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由側(cè)面底面ABC結(jié)合面面垂直性質(zhì)可證結(jié)論；（2）.以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸軸軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求出平面與平面法向量，后由空間向量知識(shí)可得答案.【小問1詳解】連結(jié)OB.在中，，所以，且.又因?yàn)?，所以平?從而．又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，AC是平面與平面ABC的交線，所以平面ABC【小問2詳解】在中，，所以.設(shè).以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸軸軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示．有，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為.由題意得.則取平面的法向量為，平面的法向量為.則.故平面與平面所成銳二面角平面角的余弦值是18.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求點(diǎn)坐標(biāo)m，n（用表示）；（2）若點(diǎn)在曲線上，求點(diǎn)所在曲線的方程.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱特性列出方程組求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，與聯(lián)立消去即可得解.【小問1詳解】依題意，，解得.【小問2詳解】依題意，，所以.整理得：（其中），所以點(diǎn)所在曲線的方程為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足.記的軌跡為.（1）求方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M，N在上，點(diǎn)M，N與點(diǎn)不重合，且直線MN不與軸垂直，記分別為直線AM，AN的斜率.（ⅰ）對(duì)于給定的數(shù)值入（且，若，證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)；（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為Q，求點(diǎn)的軌跡方程.【正確答案】（1）（2）（?。┳C明見解析，（ⅱ）點(diǎn)的軌跡方程為直線（除去點(diǎn)）【分析】（1）根據(jù)，代入兩點(diǎn)間距離公式即可求解