2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三上學(xué)期11月適應(yīng)性數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高三上學(xué)期11月適應(yīng)性數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，且，則（）A. B.C.或 D.【正確答案】D【分析】由題意可知，分和兩種情況，解得，進(jìn)而可得集合.因為，可知，若，則，此時，，不合題意；若，則，此時，，符合題意；綜上所述：，，則.故ABC錯誤，D正確.故選：D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的一個可能值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.設(shè)，則，由，得，即，整理得，顯然選項ACD不滿足要求，B符合要求.故選：B3.已知向量滿足，則的最小值是（）A.0 B.2 C. D.5【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出向量,再求出向量,再根據(jù)模長公式結(jié)合三角函數(shù)的值域得出最小值即可.不妨設(shè)，則，則，且，則，當(dāng)時，.故選：D.4.已知，是函數(shù)的零點，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用韋達(dá)定理求出，，再由誘導(dǎo)公式變形，最后由和（差）角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切.因為，是函數(shù)的零點，所以，，所以.故選：B5.一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為1，如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】考慮在正方體的截面中最大兩個互相平行的三角形截面，若液面與此面平行時，必在這兩個面之間，由此可得結(jié)論．解：如圖，正方體，若要使液面形狀不可能為三角形，則當(dāng)平面平行于水平面放置時，液面必須高于平面，且低于平面.若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動正方體，液面形狀都不可能為三角形.設(shè)液體的體積為，則，而，，所以液體的體積的取值范圍為.故選：B.本題考查正方體的截面的性質(zhì)，掌握正方體的截面形狀是解題關(guān)鍵．本題考查空間想象能力．6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A.8 B.10 C.12 D.14【正確答案】B【分析】利用的圖象關(guān)于直線對稱，可知向左平移個單位為偶函數(shù)，再利用恒成立,知對應(yīng)待定系數(shù)相等，即可解決問題.依題意，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，由可知，解得，所以.故選：B7.已知函數(shù)，若的圖象的任意一條對稱軸與軸交點的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由已知得，，且，解之討論，可得選項.因為的圖像的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，，符合題意，所以.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為，且對任意，滿足，且，則（）A.651 B.676 C.1226 D.1275【正確答案】A【分析】由條件可以推出，結(jié)合，即可求解.由，所以，即，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.若隨機(jī)變量，從的取值中隨機(jī)抽取個數(shù)據(jù)，記這個數(shù)據(jù)的平均值為，則隨機(jī)變量.某珠寶店出售的珍珠的直徑均服從期望為15毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為2毫米的正態(tài)分布.在該店隨機(jī)挑選16顆圓潤華美的珍珠，將它串成一條項鏈.設(shè)這16顆珍珠的直徑平均值為，則（）（已知：）A.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為 B.隨機(jī)變量C. D.【正確答案】BC【分析】由題意可得隨機(jī)變量，即可判斷AB選項，根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合正態(tài)分布性質(zhì)求，，即可判斷CD.由題設(shè)可知，，則隨機(jī)變量，可得隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為，可得A錯誤，B正確；因為，即C正確；易知，即D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，C.若是增函數(shù)，則D.若和的零點總數(shù)大于2，則這些零點之和大于5【正確答案】ABD【分析】直接代入即可判斷A，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B，由在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出的取值方程，即可判斷C，首先說明，得到在和上各有一個零點，，利用對數(shù)均值不等式得到，即可得到，再說明在和上各有一個零點、且，最后利用基本不等式證明即可.對于A：當(dāng)時，則，，所以，故A正確；對于B：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)時，，故B正確；對于C：在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，故C錯誤；對于D：因為，即為的一個零點，當(dāng)時，有且僅有一個根，此時在上單調(diào)遞增，所以和都只有個零點，不符合題意；當(dāng)時，則無零點，只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時在和上各有一個零點，，所以，所以，所以，所以，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，所以在和上各有一個零點、，又，所以，所以，故D正確.其中：不等式的證明如下：要證，只需證，令，只需證，，設(shè)，，則，可得在上單調(diào)遞減，∴，得證.故選：ABD方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).11.已知是曲線上的一點，則下列選項中正確的是（）A.曲線的圖象關(guān)于原點對稱B.對任意，直線與曲線有唯一交點C.對任意，恒有D.曲線在的部分與軸圍成圖形的面積小于【正確答案】ACD【分析】將，替換為，計算即可判斷A；取，可判斷有三個交點即可判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性來得出的取值范圍，再結(jié)合的單調(diào)性進(jìn)行求解即可判斷C；利用圖象的對稱性和半圓的面積進(jìn)行比較即可判斷D．A．對于，將，替換為，，所得等式與原來等價，故A正確；B．取，可以求得，，均可，故B錯誤；C．由，，函數(shù)，故，令，解得：，在，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，在時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又因為是增函數(shù)，，所以有，故C正確；D．當(dāng)時，，又，，所以．曲線與軸圍成半圓，又曲線的圖象關(guān)于原點對稱，則曲線與軸圍成圖形的面積小于，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線的左?右焦點分別為，點在上，且軸，過點作的平分線的垂線，與直線交于點，若點在圓上，則的離心率為__________.【正確答案】【分析】由題意求出，結(jié)合雙曲線定義以及角平線性質(zhì)推出，從而推出，在中，利用余弦定理可求得，結(jié)合齊次式求解離心率，即可得答案.由題意知，軸，故將代入中，得，則，即，不妨設(shè)P在雙曲線右支上，則，故；設(shè)為的平分線，由題意知，則，即，而，故，由點在圓上，得；又，則，在中，,即，結(jié)合，即得，即，解得或（舍），故（負(fù)值舍去），即的離心率為，故答案：關(guān)鍵點睛：求解雙曲線的離心率，關(guān)鍵是求出之間的數(shù)量關(guān)系式，因此解答本題時，要結(jié)合題中條件以及雙曲線定義推出相關(guān)線段長，從而在中，利用余弦定理求出的關(guān)系，化為齊次式，即可求得答案.13.已知為函數(shù)圖象上一動點，則的最大值為_______.【正確答案】【分析】先觀察函數(shù)得到函數(shù)關(guān)于直線關(guān)于對稱，再驗證當(dāng)時的值比時要大，所以只研究時的值，對所求代數(shù)值進(jìn)行化簡后換元，適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為符合函數(shù)問題，其中內(nèi)函數(shù)為兩點斜率問題，借助導(dǎo)函數(shù)的幾何意義即可求出函數(shù)的最值.令函數(shù)，∵，∴關(guān)于對稱，令當(dāng)，則時，∵，∴，即時的函數(shù)值大于時的函數(shù)值，當(dāng)時，，令，則，令，則，∵，即表示過曲線上一點與點的直線的斜率，設(shè)過點的切線與函數(shù)相切于點（），，∴，整理得，∴或，由∵，∴，故，此時切線的斜率，即，由∵由雙勾函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴∴，故，故方法點睛：本題探討函數(shù)的最值問題，有以下幾個關(guān)鍵點：一、有絕對值想辦法去掉絕對值符號；二、代數(shù)的化簡；三、轉(zhuǎn)化為曲線上一點與曲線外一點求斜率的最值.14.數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個實數(shù)，然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上的數(shù)乘以再加上3得到，并將擦掉后將寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)除以再減去3得到，也將擦掉后將寫在黑板上．然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑板上的數(shù)為．現(xiàn)已知的概率為0.5，則實數(shù)的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由兩次復(fù)合列出不等式求解即可.】由題意構(gòu)造，，則有，，，．因為，恒成立，又的概率為0.5，所以必有或者解得．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，已知中，，內(nèi)一點滿足．（1）若，且滿足，，求的正切值；（2）若平分，試問是否存在常實數(shù)，使得，若存在，求出常數(shù)t；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）存在，【分析】（1）先判斷與相似，進(jìn)而得到，應(yīng)用余弦定理求出；然后在中，應(yīng)用余弦定理以及三角形面積公式，化簡得到：，同理在，，內(nèi)得到，從而得到，即可求解.（2）得出與的等量關(guān)系，再利用余弦定理和三角形面積公式，平分，將代入，化簡整理可求解.【小問1】（1）若，即，得，點滿足，則，在與中，，，所以與相似，則，即，所以；在中，，因為，所以在中，應(yīng)用余弦定理以及三角形面積公式得：，，，三式相加可得：。在內(nèi)，應(yīng)用余弦定理以及三角形面積公式得：，在，內(nèi)，同理可得：，，三式相等：，因為點在內(nèi)，則由等比性質(zhì)的：，所以：，又，，所以，則【小問2】因為，即，所以，在，，中，分別由余弦定理可得：，，，三式相加整理得：，即，因為平分，則，，所以，由余弦定理可得：，所以，即，則，所以若平分，存在常實數(shù)，使得（1）邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化時注意利用余弦定理；（2）在解三角形中注意利用幾何圖形的幾何性質(zhì)；（3）在三角變換中，注意根據(jù)三角函數(shù)式的特征選擇合理三角變換公式.16.將上各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為．記，，過點的直線與交于不同的兩點，直線與分別交于點．設(shè)直線的傾斜角分別為，．當(dāng)時，（1）求的值：（2）若有最大值，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出坐標(biāo)，再結(jié)合三點共線，得到等量關(guān)系，再利用斜率公式即可求得的值.（2）設(shè)直線的方程為，得到直線的斜率為，求得的表達(dá)式，利用基本不等式求得最小值和最小值時的值，再聯(lián)立方程組，由判別式大于0，解得，從而求出的取值范圍【小問1】設(shè)曲線的點為，由題意可知點在上，即，整理得，即曲線：，設(shè)直線的方程為y=kx?1，Ax1,y1，B聯(lián)立方程組，整理得，則Δ=?4k22可得，∴，可得，∴，同理可得，又∵三點共線，可得，即，∴，∴【小問2】設(shè)直線方程為（），由（1）可知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，聯(lián)立方程組，整理得，則Δ=8k22?4λ+2又∵，∴思路點睛，本題探討直線與橢圓的位置關(guān)系，常見思路：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程后整理成一元二次方程，由判別式建立不等式求出取值范圍；用韋達(dá)定理得出對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用點之間的關(guān)系建立等式，從而求得結(jié)果.17.斜三棱柱ABC－A1B1C1上，側(cè)面AA1C1C⊥平面ABC，側(cè)面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，A1C＝AC＝BC＝，AB＝2，D為BB1的中點．（1）求二面角C－A1D－C1的余弦值；（2）記△ABC的外接圓上有一動點P，若二面角P－AA1－C與二面角C－A1D－C1相等，求AP的長．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求法向量，求向量夾角公式，可得答案；（2）由題意，找出二面角的平面角，采用平面的思想，找出在平面內(nèi)的直線，根據(jù)弦長公式，可得答案.【小問1】取的中點為，連接，在菱形中，，則，在三棱柱中，，故，平面平面，平面平面，平面，由，，，即，則，以為原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，，，，，故的中點，在平面內(nèi)，取，，設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡得，令，則，故平面的一個法向量，在平面內(nèi)，取，，設(shè)平面的法向量為，則，即，化簡得，令，則，故平面的一個法向量，.由圖可知，鈍二面角的余弦值為.【小問2】由題意，取的中點，連接，延長與軸交于，連接，在等邊中，易知，平面，平面，，，且，平面，平面，平面，，故為二面角平面角的補(bǔ)角，由二面角的余弦值為，可得二面角的余弦值為，故，在中，，在平面內(nèi)，直線的方程為，在的外接圓中，易知圓心為，則弦心距，根據(jù)弦長公式，可得，故此時18.若兩個函數(shù)與在處有相同的切線，則稱這兩個函數(shù)相切，切點為.（1）設(shè)反比例函數(shù)與二次函數(shù)相切，切點為.求證：函數(shù)與恰有兩個公共點；（2）若，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相切，求實數(shù)的值；（3）設(shè)（2）的結(jié)果為，求證：當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象有三個公共點.【正確答案】（1）證明見解析；（2）（3）證明見解析【分析】（1）利用兩曲線在處有公切線可得出方程組，求出的表達(dá)式，然后由可得，求出方程的三個解，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在處有相同的切線，利用已知條件可得出關(guān)于的方程組，通過換元法以及構(gòu)造新函數(shù)可求得的值.（3）設(shè)函數(shù)，其中且，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可證得結(jié)論成立.【小問1】對函數(shù)求導(dǎo)可得，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，可得，又，所以；代入可得，即，此時令可得，它的另一個解為，所以方程可化為，解得，因此方程的三個解為，所以函數(shù)與恰有兩個公共點分別為【小問2】對指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)可得，對函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在處有相同的切線，由題意可得，令，原方程組可等價為，即可得；而，即可得，所以，即，所以，則；由可得，化簡可得；所以，因為時，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則，故，即；構(gòu)造函數(shù)，則，且不恒為0，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故方程的唯一解為；因此，即實數(shù)的值為.【小問3】設(shè)函數(shù)，其中且，求導(dǎo)可得，令，則，令可得，由?'x<0可得，即函數(shù)?x由?'x>0可得，即函數(shù)?x可得；因為，所以，由可得?x在內(nèi)有一個零點，在內(nèi)不妨取，則，令，其中，則，易知，因此；可知在上單調(diào)遞增，且，因此；所以函數(shù)?x在內(nèi)也存在一個零點；可得在0,+∞上共有兩個零點，不妨設(shè)為，且；當(dāng)或時，，當(dāng)時，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；可知在處取得極大值，在處取得極小值；以下證明，；設(shè)函數(shù)與直線的交點為，所以是函數(shù)一個零點，可得，即，所以；即是函數(shù)的一個零點，即，；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)也為減函數(shù)，且；因為，可得，因此，所以，且，可得，；又因為，且,可得函數(shù)在內(nèi)有一個零點，也是上的唯一零點，同理取，且，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點，也是上唯一零點，綜上所述，當(dāng)時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象有三個公共點.關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，由指數(shù)與對數(shù)互化的運算法則并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在