2024-2025學(xué)年河南省開封市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省開封市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1．過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，則（

）A．2 B． C．4 D．2．已知空間向量，.若，則（

）A．12 B．10 C． D．3．若橢圓的焦距為2，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．3或5 C．5或8 D．84．已知點(diǎn)是圓外的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且與長軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）．A． B． C． D．6．設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，則（

）A． B． C．1 D．7．如圖，在三棱錐中，是邊長為3的正三角形，是上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且，則（

）

A．5 B．3 C． D．8．已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．則下列說法中正確的是（

）A． B．離心率為C．的面積為6 D．的面積為1210．圓和圓的交點(diǎn)為，則有（）A．公共弦所在直線方程為B．線段中垂線方程為C．公共弦的長為D．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為11．在邊長為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．與所成角的余弦值為B．過，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為3C．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為3D．若為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為三、填空題12．已知直線與直線平行，則.13．在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，則直線FC到平面的距離為．14．已知橢圓（）的長軸長為4，離心率為.若，分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，且，則的面積為.四、解答題15．在中，角的對(duì)邊分別是，且．(1)求角的大??；(2)若，且，求的面積．16．已知，圓是的外接圓．(1)求圓的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．17．如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，底面ABC為等腰三角形，，是AC的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值為，求直線OB與平面所成角的正弦值.18．如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)，焦距為；斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線PM，PN(1)求橢圓的方程；(2)若，求MN的方程；(3)記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，證明：為定值.19．已知圓的方程為.(1)求過點(diǎn)的圓的切線方程；(2)已知兩個(gè)定點(diǎn)，，其中，.為圓上任意一點(diǎn)，（為常數(shù)）.①求常數(shù)的值；②過點(diǎn)作直線與圓交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：題號(hào)12345678910答案BABDACDCABCABD題號(hào)11答案AC1．B【分析】利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率與斜率的定義即可得解.【詳解】因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，所以，解得.故選：B.2．A【分析】通過兩向量的平行關(guān)系即可確定、值，即可求解.【詳解】因?yàn)椋杂校?，解得，，所?故選：A.3．B【分析】結(jié)合橢圓性質(zhì)，分焦點(diǎn)在軸、軸上計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有，故，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有，故.故選：B.4．D【分析】根據(jù)和點(diǎn)在圓外得到不等式，求出的取值范圍.【詳解】由題意得且，解得.故選：D5．A【分析】借助等邊三角形性質(zhì)與離心率定義計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，，因?yàn)?，所以橢圓的離心率為．故選：A.6．C【分析】利用三角形的面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)線距公式建立方程，解之即可.【詳解】由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.故選：C7．D【分析】以為一組基底，表示求解.【詳解】解：以為一組基底，則，，，，，，，所以.故選：D8．C【分析】曲線C表示以為圓心，以1為半徑的圓，先求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，然后由求解.【詳解】解：如圖所示：曲線，即為，表示以為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，連接，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以則的最小值是，故選：C9．ABC【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，再由題意及橢圓定義列出方程求解可判斷A，根據(jù)離心率定義判斷B，根據(jù)A可知三角形為直角三角形，求面積可判斷CD.【詳解】由，得，則，因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，故A正確；對(duì)于B，離心率為，故B正確；對(duì)于CD，因?yàn)椋詾橹苯侨切?，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：ABC10．ABD【分析】直接把兩圓的方程作差判斷A；利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出線段的中垂線方程判斷B；求出公共弦長判斷C；由到的距離加上的半徑判斷D．【詳解】對(duì)于A，由與，兩式作差可得，即，∴公共弦所在直線方程為，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心為1,0，圓的圓心，由圓的性質(zhì)可得的中垂線為，可得的中垂線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，圓心到直線的距離，半徑為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線的距離為，半徑，則到直線的距離的最大值為，故D正確．故選：ABD11．AC【分析】建系，由異面直線夾角向量法即可判斷A,取的中點(diǎn)，連接，，，確定即為截面即可判斷B，由對(duì)稱性得到進(jìn)而可判斷C,設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，可判斷當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時(shí)，最小，即可判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，∴，∴與所成角的余弦值為，故A正確；取的中點(diǎn)，連接，，，則，故梯形為過點(diǎn)，，的該正方體的截面，∵，，，∴梯形的高為，∴梯形的面積為，故B錯(cuò)誤；由對(duì)稱性可知，，故，又由于，，，四點(diǎn)共面，故，當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，故C正確，設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時(shí)，最小，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩者交于點(diǎn)，此時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.故選:AC.12．1【分析】兩直線平行，則它們斜率相等.對(duì)于直線，其斜率.我們先分別求出兩直線的斜率，然后根據(jù)平行關(guān)系列出等式求解的值.【詳解】對(duì)于直線，根據(jù)斜率公式，這里，，所以.對(duì)于直線，這里，，所以.因?yàn)榕c平行，所以，即即解得或.當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線平行.當(dāng)時(shí)，直線，直線，化簡為，此時(shí)兩直線重合，不符合要求，舍去.故1.13．/【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量后可求線面距.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，故，而平面，平面，故平面，故直線FC到平面的距離為即為到平面的距離.設(shè)平面的法向量為，又，故，取，則，而，故到平面的距離為，故答案為.14．【分析】先根據(jù)長軸及離心率列式求出a,b,c得出橢圓方程，再設(shè)點(diǎn)應(yīng)用數(shù)量積得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后計(jì)算面積即可.【詳解】因?yàn)?所以,所以橢圓方程為,設(shè),橢圓的上、下頂點(diǎn),所以且，所以，所以即得.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊化角，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理得，因?yàn)椋?，即，即．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）．因?yàn)?，所以①．因?yàn)椋寓冢?lián)立①②可得，解得（負(fù)根舍去），故的面積為．16．(1)(2)或．【分析】（1）設(shè)圓的一般方程為,代入三點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可；（2）由題意可得心到直線的距離，分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況分別求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)圓的一般方程為，因?yàn)閳A過三點(diǎn)，所以，解得，所以圓的一般式方程為．（2）解：由（1）可知圓心為，半徑，又被圓截得的弦長為6，所以由垂徑定理可得圓心到直線的距離，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)，所以的方程為，圓心到直線的距離，故滿足要求．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，又過點(diǎn)，所以直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，直線的方程為．綜上所述，直線的方程為或．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）分析得，面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)可證明結(jié)論.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面與平面的法向量，利用條件求出的值，根據(jù)線面角向量公式求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，連接，菱形中，由得為等邊三角形，∵是AC的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面平面，∴平面ABC，∵平面，∴平面平面ABC.（2）由（1）知平面ABC，∵，是AC的中點(diǎn)，∴，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，為等邊三角形，∴.設(shè)，則，∴，設(shè)平面法向量，則，令，得，設(shè)平面法向量，則，令，可得，∴，由，解得，∴.設(shè)直線OB與平面所成角為，，即直線OB與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得的方程；（3）將韋達(dá)定理代入中計(jì)算結(jié)果為定值．【詳解】（1）由橢圓C:x2a2+得，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去得，由，得，則．，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去．所以當(dāng)時(shí)，的方程為．（3）證明：直線，均不與軸垂直，所以，，則且，所以，所以為定值．方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．(1)或(2)①；②【分析】（1）分類討論，先確定斜率不存在時(shí)直線是否是切線，在斜率存在時(shí)，利用圓心到切線的距離等于半徑求解；（2）①設(shè)點(diǎn)，把已知條件用坐標(biāo)表示并整理后它與（1）中圓方程相同，由此可求得；②設(shè)，由中點(diǎn)得點(diǎn)坐標(biāo)，由在圓上得關(guān)于的方程組，方程組有解轉(zhuǎn)化