2024-2025學(xué)年河南省高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．3．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是（

）A． B．C．或 D．或4．“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，若，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，BF的延長線交于點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．8．已知圓，過軸上的點(diǎn)作直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若存在直線使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．平行六面體的底面ABCD是正方形，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．四邊形的面積為D．若，則點(diǎn)在平面內(nèi)10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），D（0,1），E為上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．滿足為直角三角形的點(diǎn)有且僅有2個(gè)B．過點(diǎn)且與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有3條C．若在直線上的射影為，則D．若直線的傾斜角為，則11．關(guān)于曲線，下列說法正確的是（

）A．曲線關(guān)于直線對稱B．曲線圍成的區(qū)域面積小于2C．曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積的最大值是D．曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最大值是三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量是實(shí)數(shù)，則的最小值是.13．如圖是正在施工建設(shè)的濟(jì)新黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨(dú)塔地錨式回轉(zhuǎn)纜懸索橋，大橋主跨長約500米，主塔的高約100米.纜懸索是以為頂點(diǎn)并開口向上的拋物線的一部分，則主塔頂端點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為米.14．設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，對于任意的實(shí)數(shù)，在軸上存在定點(diǎn)，使得的平分線在軸上，則的值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)，直線方程為.(1)證明：無論取何值，直線必過第三象限；(2)若點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求的值.16．已知拋物線與圓相交于、兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程;(2)若直線與相交于、兩點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，求的周長.17．設(shè)，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個(gè)點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知是橢圓上的一點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程;(2)是上的四個(gè)點(diǎn)，與相交于點(diǎn).①若分別為與軸的正半軸的交點(diǎn)，求直線的斜率;②若直線的斜率為，求面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.(1)若不過原點(diǎn)的直線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;(2)已知伸縮比時(shí)，曲線通過關(guān)于原點(diǎn)的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個(gè)交點(diǎn)（在的左側(cè)），過點(diǎn)且斜率為的直線與在軸的右側(cè)有，兩個(gè)交點(diǎn).①求的取值范圍;②若直線的斜率分別為，證明：為定值.

答案1．【正確答案】B【詳解】直線垂直于軸，所以其傾斜角為.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.故選：A.3．【正確答案】C【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其方程是，符合題意;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，可得：，解得：，所以方程是.故選：C.4．【正確答案】A【詳解】方程表示雙曲線，則，解得或，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故選：C.6．【正確答案】A【詳解】由題意，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，由，得，所以，解得（負(fù)根舍去），當(dāng)直線與半橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖象，的取值范圍為.故選：A.7．【正確答案】D【詳解】不妨設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，是的右焦點(diǎn)，的焦距為2c，連接，則，又，所以.在中，由余弦定理得，所以，即，所以.故選：D.8．【正確答案】B【詳解】

結(jié)合圖像易知對于給定的點(diǎn)，當(dāng)直線過圓心時(shí)，AB最大，最小，此時(shí)有最大值，又，所以，所以，即，解得.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】

因?yàn)?，所以，，故A正確;因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，四邊形為矩形，其面積，故C正確；因?yàn)?，由于，所以四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，顯然滿足的點(diǎn)恰有1個(gè)，又以DF為直徑的圓與拋物線在第一象限有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以滿足為直角三角形的點(diǎn)恰有3個(gè)，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消得，當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，過點(diǎn)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故B正確;對于C，如圖所示，拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)且僅當(dāng)在線段DF上時(shí)取等號，故C正確；對于D，因?yàn)?，直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立得，解得，所以，則，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】ABC【詳解】對于方程，以代替，同時(shí)以代替方程不變，所以曲線關(guān)于對稱，故A正確；對于B，設(shè)分別為與圖象上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，則，所以在的下方，所以曲線圍成的面積小于圍成的面積，圍成的面積為，故B正確；對于C，因?yàn)?，等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之積，故C正確;對于D，因?yàn)?，所以，等號僅當(dāng)時(shí)成立，所以曲線上的點(diǎn)到軸、軸的距離之和的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.12．【正確答案】3【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為3.故313．【正確答案】725【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且與主塔AB平行的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線的方程為，則100，解得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故72514．【正確答案】3【詳解】設(shè)，由題得，即，整理得，又，所以，整理得，由聯(lián)立得，所以，代入①并整理得，此式對任意的都成立，所以.故315．【正確答案】(1)證明見解析(2)或.【詳解】（1）直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)槲挥诘谌笙?，所以無論取何值，直線必過第三象限.（2）法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知：，即，所以或，解得或.法二：若點(diǎn)A、B到直線l的距離相等，則直線或直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，當(dāng)直線經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)時(shí)，，解得，綜上，或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋鶕?jù)圓與拋物線的對稱性，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得（負(fù)值舍去），所以的方程是.（2）由消去并整理得，設(shè)Mx1,y1由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以的周長為.

17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）若圓經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線上，不符合圓在軸正半軸；根據(jù)題意得圓只能過點(diǎn)A，B，D三點(diǎn)，因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率為，利用互相垂直的兩直線斜率之積為，可知兩點(diǎn)的中垂線斜率為，所以由點(diǎn)斜率式可得線段AB的垂直平分線的方程為，整理得：又因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，兩點(diǎn)的斜率不存在，所以線段AD的垂直平分線的方程為聯(lián)立方程組解得所以圓心為，即圓心到點(diǎn)的距離為半徑，即半徑為2，所以圓的方程為（2）設(shè)存在點(diǎn)，因?yàn)?，所以有，化簡得，所以，且滿足這個(gè)方程的點(diǎn)可以理解為一個(gè)圓上的點(diǎn)，而點(diǎn)又在圓上且有兩個(gè)點(diǎn)，所以這兩個(gè)圓應(yīng)該是相交，此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，而兩圓的半徑分別為和2，則有，解得.18．【正確答案】(1)(2)①；②1，或.【詳解】（1）因?yàn)槭菣E圓上的一點(diǎn)，所以，即，又，又，所以，故的方程為（2）①若A，B分別為橢圓與x，y軸的正半軸的交點(diǎn)，則，則直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因?yàn)椋?，則，即，直線的方程是，即，代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，因?yàn)?，所以，則，即，所以.②因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以可設(shè)直線AB的方程為，代入消去并整理得，設(shè)Ax1,，又點(diǎn)到直線AB的距離，所以的面積，等號僅當(dāng)，即時(shí)成立，顯然滿足，所以面積的最大值是1.此時(shí)，直線AB的方程是，即或19．【正確答案】(1)證明見解析(2)①；②證明見解析【詳解】（1）證明：設(shè)不過原點(diǎn)的直線的方程是都是常數(shù)，且a，b不同時(shí)為，則曲線的方程是