2024-2025學(xué)年河北省唐山市開(kāi)灤市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省唐山市開(kāi)灤市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．兩平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．2．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（

）A．5 B．1 C． D．4．直線和直線，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．7．若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．，函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．二、多選題9．已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．的周長(zhǎng)為C．面積的最大值為D．10．以下四個(gè)命題為真命題的是（

）A．過(guò)點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線的方程為B．直線的傾斜角的范圍是C．當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為D．直線關(guān)于對(duì)稱的直線方程為11．已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，則PQ的可能取值為（

）A． B． C． D．三、填空題12．已知空間中三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)到直線的距離為.13．若曲線與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．14．已知，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)點(diǎn)，則當(dāng)該橢圓的離心率取得最大值時(shí)，該橢圓的方程為．四、解答題15．已知直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)下列條件求直線的方程．(1)若直線與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為16；(2)若直線與圓相切，求直線的方程．16．如圖，在六棱柱中，底面是正六邊形，設(shè)．若，求：(1)試用向量表示，并求的值；(2)求．17．已知圓與圓．(1)若圓與圓相外切，求的值．(2)若，試求：①圓與圓所得的公共弦長(zhǎng)；②經(jīng)過(guò)兩圓與圓的交點(diǎn)且與軸相切的圓的方程．18．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，且，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，且曲線與直線相切．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．答案：題號(hào)12345678910答案CCCBDBCCABDBCD題號(hào)11答案BC1．C【分析】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，直線為，所以兩平行直線與之間的距離．故選：C2．C【分析】根據(jù)共面向量定理，即可判斷三個(gè)向量是否共面.【詳解】A.，所以，，是共面向量，故A錯(cuò)誤；B.，所以，，是共面向量，故B錯(cuò)誤；C.不存在實(shí)數(shù)，使，所以，，不是共面向量，故C正確；D.，所以，，是共面向量，故D錯(cuò)誤.故選：C3．C【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外及方程表示圓求出的范圍得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m的取值可以為.故選：C4．B【分析】求出兩直線垂直時(shí)參數(shù)值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】，則，解得或，題中應(yīng)是充分不必要條件，故選：B．5．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用計(jì)算出與所成的角的余弦值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則與所成的角的余弦值為.故選：D6．B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于的方程可得解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知被橢圓截得線段的中點(diǎn)在軸上，不合題意；故可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，，有，，解得，所以直線的方程為，即.故選：B.7．C【分析】求出與直線平行且到直線的距離為1的直線的方程為和，數(shù)形結(jié)合可知，圓與直線相交，與直線相離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的取值范圍.【詳解】如圖所示.設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，所以，即.故選：C8．C【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取得等號(hào).故選：C9．ABD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，橢圓的離心率為，故A正確；對(duì)于B，的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)，則面積的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，因此，故D正確.故選：ABD.10．BCD【分析】舉例說(shuō)明判斷A；求出直線斜率的范圍，進(jìn)而得傾斜角范圍判斷B；求出直線所過(guò)定點(diǎn)計(jì)算判斷C；利用對(duì)稱求出直線方程判斷D.【詳解】對(duì)于A，在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線可以過(guò)原點(diǎn)，方程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線的斜率，當(dāng)時(shí)，傾斜角；當(dāng)時(shí)，傾斜角，因此傾斜角的范圍是，B正確；對(duì)于C，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到該直線距離最大，此時(shí)直線的斜率，因此，C正確；對(duì)于D，設(shè)所求直線上任意點(diǎn)，則它關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，則，整理得，D正確.故選：BCD11．BC【分析】根據(jù)對(duì)稱性可知：只需討論軸以及其上方的圖象即可，分和兩種情況，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求PQ的最值，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于方程，將換成可得：，即，可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)在軸上，則只需討論軸以及其上方的圖象即可，當(dāng)，則曲線方程化為，即，此時(shí)曲線為以為圓心，半徑的半圓，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)，則曲線方程化為，即，此時(shí)曲線為以為圓心，半徑，可知，當(dāng)且僅當(dāng)為的延長(zhǎng)線與曲線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立；即，結(jié)合選項(xiàng)可知：AD錯(cuò)誤；BC正確.故選：BC.12．【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合點(diǎn)到直線的向量公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)C到直線的距離為.故答案為.13．【分析】畫(huà)出圖形，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式與數(shù)形結(jié)合的思想計(jì)算即可求解.【詳解】由可得，即曲線表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的上半部分，畫(huà)出圖形，可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?2,0時(shí)，，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由圓心到直線的距離可得，由圖可得，所以要使直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則.故選：C.

故14．【分析】結(jié)合橢圓的定義利用直線對(duì)稱點(diǎn)結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊求解出長(zhǎng)軸的取值范圍，離心率最大即半長(zhǎng)軸取最小值,從而求解出橢圓的方程.【詳解】由題意知：橢圓以為焦點(diǎn)，所以，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得：所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，又，所以，即，所以當(dāng)時(shí)該橢圓的離心率取得最大值，所以該橢圓的方程為．故15．(1)或；(2)或.【分析】（1）利用直線的截距式方程，結(jié)合給定的點(diǎn)及三角形面積求解.（2）按直線的斜率存在與否分類，借助點(diǎn)到直線距離公式求解即得.【詳解】（1）依題意，設(shè)直線的橫縱截距分別為，則直線的方程為，則有，由三角形面積，聯(lián)立解得或，所以直線的方程為或.（2）依題意，圓的圓心，半徑為1，①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程為，即，由直線與圓相切，得，解得，此時(shí)直線方程為，所以直線的方程為或.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的線性運(yùn)算求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出值.（2）由表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出向量的模.【詳解】（1）令正六邊形的中心為，連接，則四邊形為菱形，，所以；；由，得，，所以.（2）由（1）知，，，所以.17．(1)(2)①

②或【分析】（1）求出兩圓的圓心距，再由兩圓外切的性質(zhì)求出.（2）①求出兩圓公共弦所在的直線方程，利用圓的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；②求出直線的方程，設(shè)出圓心坐標(biāo)，借助①中弦長(zhǎng)及切線建立方程求解.【詳解】（1）圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，則，由圓與圓相外切，得，所以.（2）①當(dāng)時(shí)，圓，，圓與圓相交，兩圓方程相減得，點(diǎn)到直線距離為，所以圓與圓所得的公共弦長(zhǎng)為；②直線的方程為，即，依題意，過(guò)兩圓與圓的交點(diǎn)的圓的圓心在直線上，設(shè)圓心，點(diǎn)到直線距離，圓的半徑為，由軸與圓相切，得，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，半徑為1，方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，半徑為5，方程為，所以圓的方程為或.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，或【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大??；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋剩蓭缀侮P(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.此時(shí)的長(zhǎng)度為或.19．(1)(2)【分析】（1）先確定圓心A及半徑，由垂直平分線的性質(zhì)結(jié)