2024-2025學年廣西平果市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年廣西平果市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】依題意存在實數(shù)，使得，根據(jù)根據(jù)向量相等得到方程組，解得即可；解：因為向量，且，所以存在實數(shù)，使得，即，所以，解得，所以故選：C2.已知，直線的斜率是直線斜率的倍，則直線的傾斜角為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【正確答案】C【分析】先利用題意得到直線的斜率，可得到直線的斜率，即可求得答案由可得，因為直線的斜率是直線斜率的倍，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，故選：C3.若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出兩向量的模及數(shù)量積，根據(jù)即可求解.∵，則，且，∴.故選：A.4.如圖，是棱長為1的正方體，若在正方體內(nèi)部且滿足，則到直線的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，進而求得在上的投影向量的長度，進而結(jié)合勾股定理求解即可.以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，所以，所以在上的投影向量的長度為：，所以到直線的距離為.故選：C.5.點M為圓：上任意一點，直線過定點P，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先把定點P坐標求出來，，最大值為，，三點共線，且位于與之間，求解方法為連接定點與圓心的線段長加上半徑即可.整理為：令，解得：，所以定點P坐標為，代入圓的方程中，，所以在圓外，因為點M為圓：上任意一點，設(shè)圓C的半徑為r=2，所以的最大值應(yīng)該為，由兩點間距離公式：，所以的最大值為故選：B6.三棱錐中，M是平面BCD內(nèi)的點，則以下結(jié)論可能成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的共面定理計算即可.如圖所示，因為點M在平面BCD內(nèi)，可設(shè)，則有，即用向量，，表示，三個基向量的系數(shù)之和為1，顯然A符合題意．故選：A．7.畫法幾何學的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓是，若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或【正確答案】B【分析】求出蒙日圓的方程，分析可知，兩圓內(nèi)切或外切，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的等式，解之即可.由已知條件可知，且，蒙日圓方程為，蒙日圓的圓心為原點，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為兩圓只有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，則或，又因為，所以，或，解得或，故選：B.8.已知圓，過平面上的點引圓的兩條切線，使得，則的軌跡方程為（）A B.C. D.【正確答案】B【分析】連接圓心和切點，能得到正方形，則為定長，即點P在以C為圓心，2為半徑的圓上.圓，半徑，設(shè)，設(shè)切線與圓分別切于，所以，因為兩切線，所以四邊形為正方形，所以，點P在以C為圓心，2為半徑的圓上,則的軌跡方程為．故選：B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，答案有兩個選項只選一個對得3分，錯選不得分；答案有三個選項只選一個對得2分，只選兩個都對得4分，錯選不得分.9.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點B.圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點【正確答案】BCD【分析】利用直線系方程求解直線所過定點判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑判斷B；由圓心距等于半徑和列式求得判斷C；求出兩圓公共弦所在直線方程，再由直線系方程求得直線所過點的坐標判斷D．由，得，聯(lián)立，解得，直線恒過定點，故A錯誤；圓心到直線的距離等于1，直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線化為標準式，曲線化為標準式，圓心距為，解得，故C正確；設(shè)點的坐標為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點，，故D正確．故選：BCD10.已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則橢圓的離心率為B.若橢圓的離心率越趨近于0，橢圓越接近于圓C.若點分別為橢圓的左?右焦點，直線l過點且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為D.若點分別為橢圓左?右頂點，點P為橢圓上異于點的任意一點，則直線的斜率之積為.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的方程和幾何性質(zhì)，逐項驗證得出結(jié)果.，且,解得離心率，選項A錯誤；根據(jù)橢圓離心率的性質(zhì)“離心率越小橢圓越圓”，選項B正確；根據(jù)橢圓的定義，所以的周長為，選項C正確；根據(jù)題意，，設(shè)點，其中所以，選項D正確.故BCD.11.如圖所示四面體中，，，，且，，為的中點，點是線段上動點，則下列說法正確的是（）A.；B.當是靠近的三等分點時，，，共面；C.當時，；D.的最小值為．【正確答案】BCD【分析】以為基底，表示出相關(guān)向量，可直接判斷A的真假，借助空間向量共面的判定方法可判斷B的真假，利用空間向量數(shù)量積的有關(guān)運算可判斷CD的真假.以為基底，則，，,.對A：因為.所以，故A錯誤；對B：當是靠近的三等分點，即時，，又，所以.故，，共面.故B正確；對C：因為，所以：，所以，故，故C正確；對D：設(shè)，.因為.所以，.當時，有最小值，為：，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實數(shù)滿足，則的最小值是__________．【正確答案】【分析】根據(jù)點和圓的位置關(guān)系求得正確答案.方程可化為，所以是以為圓心，半徑為的圓上的點，與的距離是，所以的最小值是.故13.已知直線與兩點，點，若直線與線段有公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】寫出線段的方程，聯(lián)立求得交點坐標，由可求得的范圍．由條件得有解，解得，由，得或．故．方法點睛：本題考查直線與線段有公共點問題．解題方法是直線（線段）方程求出交點坐標，利用交點坐標的范圍求出參數(shù)的范圍，可是也可利用數(shù)形結(jié)合思想求解，即求出的斜率，由圖形觀察出的范圍．14.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過作的垂線，與軸交于點，若，則橢圓的離心率為______．【正確答案】##0.5【分析】設(shè)，，得到直線的方程為，解得，再利用勾股定理即可求解．設(shè)，，，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即，因為，所以，即，解得．故四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為，，.（1）求邊所在的直線方程；（2）求的面積.【正確答案】（1）（2）15【分析】（1）由B，C兩點的坐標，得直線的兩點式方程，化簡得一般式方程；（2）用兩點間距離公式求B，C兩點間的距離，計算點A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.【小問1】因為，，所以BC所在的直線方程為，即.【小問2】B，C兩點間的距離為，點A到直線BC的距離，所以的面積為.16.已知圓.若直線：與圓相交于A，B兩點，且.（1）求圓的方程；（2）請從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為點的坐標，求過點與圓相切的直線的方程.①；②.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【正確答案】（1）（2）①或；②【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，通過點到直線距離公式得出圓心到直線的距離，再根據(jù)弦長與勾股定理即可計算出圓的半徑，繼而得到圓的方程.（2）①根據(jù)切線切點到圓心距離等于圓的半徑，用點斜式表示出直線的方程，利用點到直線的距離公式即可求出斜率得出直線方程；②根據(jù)切線與過切點的半徑與其垂直，即可得出該斜率繼而得出直線方程.【小問1】如圖所示，過圓心O做垂直于AB的垂線交AB于C點，根據(jù)點點到直線距離公式：，，根據(jù)勾股定理：，得圓的方程：【小問2】選①：由（1）可知點在圓外，若切線斜率不存在，，由圖可知為過點P與圓相切的直線的方程；若斜率存在，根據(jù)點斜式設(shè)直線的方程為，整理為一般式，因為直線與圓相切，則，解得，直線的方程為：，綜上所述過點與圓相切的直線的方程為或.選②：由（1）可知點在圓上，的直線方程為，則過點與圓相切的直線與垂直，斜率為根據(jù)點斜式設(shè)直線的方程為，整理為一般式.17.如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是邊長為2的等邊三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是.（1）求證：直線平面ABCD；（2）求直線AE與平面CDEF所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取AD的中點G，連接EG，則，設(shè)E在平面ABCD內(nèi)的射影為O，連接EO，則平面ABCD，證明平面ABCD，則，進而可證，再由線面平行的判定定理即可求證；（2）以C為坐標原點，分別以向量，的方向為x軸、y軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，利用向量法求解即可【小問1】如圖，取AD的中點G，連接EG，則，因為△BCF是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是矩形，所以，因，所以.設(shè)E在平面ABCD內(nèi)的射影為O，連接EO，則平面ABCD，連接OA，OD，OG，則，所以，所以，所以為二面角平面角，所以，所以.過F作，垂足為H，因為平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.易知，連接OH，則四邊形EFHO為矩形，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.【小問2】以C為坐標原點，分別以向量，的方向為x軸、y軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)，則，，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以即得取，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）已知橢圓的右頂點為，過作直線與橢圓交于另一點，且，求直線l的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用給的條件列方程求得的值，進而得到橢圓的標準方程；（2）聯(lián)立圓與橢圓方程，先求得點的坐標，進而得到表達式，再化簡即可求得．【小問1】由題可知，其中，所以,又點在橢圓上，所以，即，解得，所以橢圓E的方程為．【小問2】由橢圓的方程，得，所以，設(shè)，其中，因為，所以，又點在橢圓上，所以，聯(lián)立方程組，得，解得或（舍），當時，，即或．所以當?shù)淖鴺藶闀r，直線的方程為；當?shù)淖鴺藶闀r，直線的方程為．綜上，直線的方程為或.19.如圖，四棱錐中，底面是正方形，，且，平面平面，點，分別是棱，的中點，是棱上的動點．（1）求證：平面平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）證明見解析；（2）存在，為線段中點.【分析】（1）推導出平面，，再由，得到平面，，推導出，從而平面，由此能證明平面平面．（2）以為坐標原點，建