清單06 銳角三角函數(shù)（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（原卷版）25學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（北師大版）

清單06銳角三角函數(shù)（10個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對(duì)的邊BC記為a，叫做∠A的對(duì)邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對(duì)的邊AC記為b，叫做∠B的對(duì)邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對(duì)的邊AB記為c，叫做斜邊．銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；【清單02】銳角三角函數(shù)的增減性（1）在0°－90°之間，銳角的正弦值隨角度的增大而增大；（2）在0°－90°之間，銳角的余弦值隨角度的增大而減??；（3）在0°－90°之間，銳角的正切值隨角度的增大而增大.【清單03】特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°【清單04】解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，【清單05】解直角三角形的應(yīng)用(1)坡度坡角在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.(2)仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角問題（1）方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【考點(diǎn)題型一】銳角三角函數(shù)的定義

【典例1】如圖，在△ABC中，若∠C=90°，則（

A．sinA=ac B．sinA=bc【變式1-1】在△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別是a，b，c，則下列各等式中一定成立的是（

）A．a(chǎn)=c?sinA B．b=c?cosB C．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)DA．sinC=CDAC B．sinC=ADDC【變式1-3】在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列各式成立的是（

）A．sinB=ac B．cosB=bc【考點(diǎn)題型二】已知函數(shù)值求邊長

【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sinA=35，則邊A．3 B．4 C．34 D．41【變式2-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，cosA=4A．6 B．8 C．10 D．12【變式2-2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，AB=45A．6 B．16 C．12 D．4【變式2-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10A．35 B．45 C．53【變式2-4】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=34，BC=6

【考點(diǎn)題型三】求角的函數(shù)值

【典例3】如圖，A,B,C,D都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，AC與BD交于點(diǎn)P，則tan∠APB=（

A．32 B．52 C．23【變式3-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD:CD=3:2，則tan∠DAC的值為（

A．23 B．63 C．62【變式3-2】在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA=13，則A．223 B．22 C．2【變式3-3】在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cosA的值為【變式3-4】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值是【考點(diǎn)題型四】同角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例4】若∠A是銳角，且cosA＝35，則sinA＝【變式4-1】若銳角A滿足tana＝13，則sinaA．55 B．1010 C．310【變式4-2】如果α是銳角，且cosα＝45A．925 B．45 C．35 【變式4-3】已知：sinα=13則cosαA．13 B．23 C．89 D．232

【考點(diǎn)題型五】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

【典例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若【變式5-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512，則sinB的值為【變式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67【變式5-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，則tanB的值為

【考點(diǎn)題型六】特殊角的三角函數(shù)值

【典例6】cos45°的值是（

A．12 B．32 C．2【變式6-1】2sin30°的值為（A．12 B．1 C．3 【變式6-2】計(jì)算3cos30°的值是（A．12 B．1 C．32【變式6-3】計(jì)算：tan60°=（

A．32 B．3 C．33 D．2

【考點(diǎn)題型七】解直角三角形及應(yīng)用

【典例7】如圖，在△ABC中，AB=AC=10，(1)求BC的長；(2)求cosA【變式7-1】已知：如圖，BD是△ABC的高，AB=6，AC=53，∠A=30°(1)求BD和AD的長；(2)求tanC【變式7-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E．若BD=5，cosB=4【變式7-3】2001年竣工通車的湘潭三大橋是湘江上已建大橋中規(guī)模最大的雙塔垂直雙索面三跨連續(xù)體系斜拉橋（如圖1），圖2是從圖1抽象出來的平面圖，已知：拉索AB、BD與橋面AC所成角度分別為37°、45°，若AD=210米，求立柱BC的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，結(jié)果精確到1米）【考點(diǎn)題型八】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角

【典例8】如圖①是位于青島的山東省內(nèi)最大的海景摩天輪“琴島之眼”，游客可以在碧海藍(lán)天之間領(lǐng)略大青島的磅礴氣勢(shì)．圖②是它的簡化示意圖，點(diǎn)O是摩天輪的圓心，小紅在E處測(cè)得摩天輪頂端A的仰角為24°，她沿水平方向向左行走122m到達(dá)點(diǎn)D，再沿著坡度i=0.75的斜坡走了20米到達(dá)點(diǎn)C，然后再沿水平方向向左行走40m到達(dá)摩天輪最低點(diǎn)B處（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)），求摩天輪AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，【變式8-1】讓每一個(gè)孩子在家門口就能“上好學(xué)”，衡東某中學(xué)依山而建．校門A處，有一斜坡AB，長度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF=45°，離B點(diǎn)43?3米遠(yuǎn)的E處有一花臺(tái)，在E處仰望C的仰角∠CEF=60°，CF的延長線交校門處的水平面于D點(diǎn)，(1)求斜坡AB的坡度i．(2)求DC的長．【變式8-2】某通信公司欲在山上建設(shè)5G基站．如圖，某處斜坡CB的坡比為1:2.4，通訊塔AB垂直于水平地面，在C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，在D處測(cè)得塔頂A的仰角為53°，斜坡路段CD長26米．(1)求點(diǎn)D到水平地面CQ的距離；(2)求通訊塔AB的高度、（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈【變式8-3】為了方便市民出行，建委決定對(duì)某街道一條斜坡進(jìn)行改造，計(jì)劃將原斜坡坡角為45°的BC改造為坡角為30°的AC，已知BC=102米，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)(1)求AB的距離；(結(jié)果保留根號(hào))(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高EF為3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此時(shí)貨車頂端E到水平線CD的距離DE．(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3

【考點(diǎn)題型九】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角

【典例9】如圖，塔AB前有一座高為DE的山坡，已知CD=8m，∠DCE=30°，點(diǎn)A，C，E在同一條水平直線上．某學(xué)習(xí)小組在山坡C處測(cè)得塔頂部B的仰角為45°，在山坡D處測(cè)得塔頂部B的仰角為27°(1)求DE的長．(2)求塔AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89【變式9-1】數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠GAE=50.2°，臺(tái)階AB長26米，臺(tái)階坡面AB的坡度i=5:12，然后在點(diǎn)B處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角∠EBF=63.4°，則(1)點(diǎn)B到AG的距離為多少米？(2)塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77【變式9-2】如圖，為了測(cè)量無人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)A，B．無人機(jī)懸停在C處，此時(shí)在A處測(cè)得C的仰角為36°52′無人機(jī)垂直上升5m懸停在D處，此時(shí)在B處測(cè)得D的仰角為63°26′，AB=10m，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，A，【變式9-3】如圖，小明家所在居民樓高CD為30m，從樓頂C處測(cè)得另一座大廈頂部A的仰角α是26.6°，大廈底部B的俯角β是45°(1)求兩樓之間的距離BD；(2)求大廈的高度AB．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，【考點(diǎn)題型十】解直角三角形的應(yīng)用-方向角

【典例10】為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度．一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海域．如圖所示，AB=60(6+2)海里，在B處測(cè)得C在北偏東45°的方向上，A處測(cè)得C在北偏西30°的方向上，在海岸線AB上有一燈塔(1)求出A與C距離AC（結(jié)果保留根號(hào)）．(2)已知在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，途中有無觸礁的危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：2=1.41，3=1.73，【變式10-1】如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30°方向，距離小島80海里的點(diǎn)A處，它沿著點(diǎn)A的南偏東15°方向航行．（結(jié)果保留根號(hào)）(1)漁船航行多遠(yuǎn)與小島B的距離最近？(2)漁船到達(dá)距離小島B最近點(diǎn)后，按原航向繼續(xù)航行406海里到點(diǎn)C處時(shí)突然發(fā)生事故，漁船馬上向小島B上的救援隊(duì)求救，問：救援隊(duì)從B【變式10-2】小明和小紅相約周末游覽合川釣魚城，如圖，A，B，C，D，E為同一平面內(nèi)的五個(gè)景點(diǎn)．已知景點(diǎn)E位于景點(diǎn)A的東南方向4006米處，景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東60°方向1500米處，景點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的北偏東30°(1)求景點(diǎn)A與景點(diǎn)B之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）(2)小明從景點(diǎn)A出發(fā)，從A到D到C，小紅從景點(diǎn)E出發(fā)，從E到