《電路分析基礎》課件1第5章

5.1疊加定理

5.2置換定量（替代定理）

5.3戴維南定理

5.4諾頓定理

5.5最大功率傳輸定理第5章網(wǎng)絡定理疊加定理是線性電路固有的屬性，凡滿足疊加定理的電路就是線性電路。在給出疊加定理前，先看圖5-1(a)所示電路，并求響應i。5.1疊加定理圖5-1疊加定理示例由圖5-1(a)設網(wǎng)孔電流為im1和im2，有

解得

由圖5-1(b)得

由圖5-1(c)得

可見

i=i′+i″即線性電路中，多個激勵源共同作用產(chǎn)生的響應等于各個獨立源分別單獨作用時所產(chǎn)生的響應分量的疊加，且每個激勵源產(chǎn)生的響應分量與該激勵源成正比。對于以上結論，不難推廣到具有n個激勵的情況。通常用f表示激勵即獨立源，用y表示某響應即電流或電壓，若某線性電路有n個獨立源，則有

y=K1f1+K2f2+…+Knfn=y1+y2+…+yn

(5-1)

因此，疊加定理可表述為：對于一個具有唯一解的線性電路，由幾個獨立源共同作用所形成的各支路電流或電壓，是各個獨立源分別單獨作用時，在各相應支路形成的電流或電壓的代數(shù)疊加。

如圖5-2所示，設激勵(獨立源)f(t)通過線性網(wǎng)絡所產(chǎn)生的響應為y(t)，簡記為f(t)→y(t)，則疊加定理的數(shù)學描述為：圖5-2疊加定理圖示

若f1→y1，f2→y2，則有

αf1→αy1，βf2→βy2

(齊次性)

f1+f2→y1+y2

(可加性)

即

f1±βf2→αy1±βy2

故線性網(wǎng)絡中任意電流或電壓與獨立源之間都有線性關系：y(t)=K1f1(t)+K2f2(t)+…+Knfn(t)(5-2)應用疊加定理時，應注意以下幾點：

(1)疊加定理僅適用于線性電路，不適用于非線性電路。

(2)在疊加的各分電路中，不作用的電壓源置零，即在獨立電壓源處用短路線替代；不作用的獨立電流源處用開路線替代。電路中所有電阻都不予更動，受控源應保留在各分電路中。

(3)疊加時各分電路中的電壓和電流的參考方向取原電路中的參考方向；疊加求和時注意各分量前的“+”、“－”號。

(4)原電路的功率不等于各分電路計算所得功率的疊加，這是因為功率是電壓和電流的乘積。例如，圖5-1所示電路電阻R1所消耗的功率為【例5-1】電路如圖5-3(a)所示，用疊加法求u1。

解設3A→u1′，2A→u1″，4V→

，則u1=u1′+u1″+。

3A電流源單獨作用的電路如圖5-3(b)所示，有

2A電流源單獨作用的電路如圖5-3(c)所示，有

4V電壓源單獨作用的電路如圖5-3(d)所示，有

故

圖5-3例5-1圖【例5-2】電路如圖5-4(a)所示，求u1。

解設12V→u1′，6A→u1″。

(1)12V作用時的電路如圖5-4(b)所示，有

(1+3)i1′+2i1′－12=0

得

i1′=2A

u1′=3i1′=6V圖5-4例5-2圖(2)6A單獨作用的電路如圖5-4(c)所示，有

i1″+3(i1″+6)+2i1″=0

得

i1″=－3A

u1″=3(i1″+6)=9V

故

u1=u1′+u1″=15V【例5-3】已知圖5-5所示網(wǎng)絡N為線性網(wǎng)絡，當us=1V，is=1A時，u2=0V；當us=10V，is=0A時，u2=1V。求當us=

40V，is=10A時，u2=?

解設u2=K1us+K2is，則有

解得

故當us=40V，is=10A時圖5-5例5-3圖【例5-4】求圖5-6所示T形電路中各支路的電流。

解在圖5-6的電路中，將各電流變量i1~i5用i1′~i5′表示，并設i5′=1A，則

us′=R1i1′+uad′=33.02V圖5-6例5-4圖

現(xiàn)給定us=120V，相當于將以上激勵us′增至120/33.02倍，即K=120/33.02=3.63，故支路電流應同時增至3.63倍。即

i1=Ki1′=12.38A，i2=Ki2′=4.76A，

i3=Ki3′=7.62A，i4=Ki4′=3.99A，

i5=Ki5′=3.63A

可見用疊加定理中的齊次性分析T形電路，計算簡單，并且很有規(guī)律：

(1)先設末支路的電流為已知；

(2)求各假設電壓、電流、電流和；

(3)重復第(2)步，直至求出電源的假設值；

(4)求出電源的真實與假設值之比，則每個支路的假設電流乘上比值即得實際電流。

在具有唯一解的集總參數(shù)電路中，若已知某條支路的電壓值為uk，電流值為ik，則該支路總可用電壓為uk的電壓源、電流為ik的電流源、電阻值為Rk=uk/ik的電阻去代替，這對電路其他部分的電壓、電流沒有影響，如圖5-7(a)、(b)、(c)、(d)所示。5.2置換定理(替代定理)圖5-7置換定理圖示

下面通過一個具體例子來驗證置換定理的正確性，如圖5-8(a)所示電路。首先計算圖5-8(a)各支路電流i1、i2、i3和ab兩端電壓uab。由節(jié)點方程得

所以

uab=ua=4V

i1=8A，，i3=i1－i2=4A圖5-8驗證置換定理正確性的電路

這些結果的正確性無可置疑。

(1)將ab支路用4V理想電壓源置換，如圖5-8(b)所示，則各支路電流i1、i2、i3及ab兩端電壓uab為

(2)將ab支路用4A理想電流源置換，如圖5-8(c)所示，則各支路電流i1、i2、i3及ab兩端電壓uab為

i1=8A，i2=4A，i3=i1－i2=4A，uab=1×i2=4V

(3)將ab支路用電阻Rab=uab/i3=4/4=1Ω置換，如圖5-8(d)所示，則各支路電流i1、i2、i3及ab兩端電壓uab為

i1=8A，i2=i3=8/2=4A，uab=1×i3=4Vi1=8A，，i3=i1－i2=4A，uab=4V

此例說明了在三種情況置換后的電路中，計算出的各支路電流i1、i2、i3及ab兩端電壓uab與置換前的電路完全相同，這就驗證了置換定理的正確性。

對于置換定理，應注意以下幾點：

(1)置換定理適用于任意集總參數(shù)網(wǎng)絡，無論網(wǎng)絡是線性的還是非線性的、時變還是非時變的。

(2)置換是對特定情況而言的，與等效變換不同。置換前后置換支路以外電路的拓撲結構和元件參數(shù)都不能改變，一旦改變，置換支路的電壓和電流也將發(fā)生變化；而等效變換是兩個具有相同端口伏安特性的電路間相互轉換，與變換以外電路的拓撲結構和元件參數(shù)無關。

(3)置換適用于任何已知端口電壓或端口電流的二端網(wǎng)絡，通常應用于大網(wǎng)絡的分析，將大網(wǎng)絡撕裂成小網(wǎng)絡，如圖5-9所示。圖5-9大網(wǎng)絡的撕裂【例5-5】電路如圖5-10(a)所示，求電流i。

解將電流為4A的支路用電流源來代替，如圖5-10(b)所示。應用疊加定理計算得

圖5-10例5-5圖

戴維南定理(Thevenin’stheorem)由法國電信工程師戴維南于1883年提出。其表述如下：任一線性含源二端網(wǎng)絡N，對其外部電路而言，總可以等效為一個獨立電壓源串聯(lián)電阻的電路。其電壓源的電壓值，等于該網(wǎng)絡N的開路電壓值uoc；其串聯(lián)電阻的值，等于該網(wǎng)絡所有獨立源置零時，所得的網(wǎng)絡N0的等效電阻R0。戴維南定理可用圖5-11加以說明。5.3戴維南定理圖5-11戴維南定理圖示

定理中的獨立電壓源與電阻串聯(lián)的電路通常稱為二端網(wǎng)絡N的戴維南等效電路，其串聯(lián)的電阻稱為戴維南等效電阻。戴維南定理為我們提供了求含源二端網(wǎng)絡端口VAR及最簡等效電路的另一方法，那就是只要求出表征二端網(wǎng)絡特性的兩個參數(shù)(開路電壓uoc和等效電阻R0)，在網(wǎng)絡端口電壓、電流采用關聯(lián)參考方向的條件下，即可得網(wǎng)絡端口VAR為

u=uoc+R0i(5-3)

應用戴維南定理，可將一個結構復雜的二端網(wǎng)絡等效為結構簡單的網(wǎng)絡，從而可以簡化電路的分析計算。其中，作為戴維南電路的兩個重要參數(shù)(開路電壓uoc和等效電阻R0)的求解是分析的關鍵。開路電壓是將網(wǎng)絡的兩端開路后求其兩端電壓，而網(wǎng)絡的等效電阻R0的求解通常有三種方法：

(1)直接等效法，即將網(wǎng)絡內(nèi)部的獨立源置零后從網(wǎng)絡兩端直接看電阻的串并聯(lián)，這種方法比較簡單，但只適用于無受控源的網(wǎng)絡。(2)開路短路法，即求出開路電壓uoc和短路電流isc，R0=〗uoc/isc。由于戴維南等效電路可以等效為一個電流源并聯(lián)電阻R0，如圖5-12所示，所以戴維南等效電阻R0=us/is=uoc/isc。用開路短路法的時候要注意短路電流的參考方向是從原開路電壓“+”到“－”。開路短路法只適用于有獨立源的網(wǎng)絡。

(3)外加激勵法，即外加激勵源u(或i)，并假設在此激勵作用下，在網(wǎng)絡端口所產(chǎn)生的電流為i(或電壓為u)，則網(wǎng)絡的等效電阻R=u/i，如圖5-13所示。圖5-12開路短路法圖示圖5-13外加激勵法圖示【例5-6】電路如圖5-14(a)所示，求u1。

解將待求支路(1Ω電阻支路)斷開，如圖5-14(b)所示，求含源二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路。得開路電壓：

用直接等效法求等效電阻。將二端網(wǎng)絡內(nèi)部獨立源置零，得電路如圖5-14(c)所示。顯然,

將其等效戴維南電路畫出并接上待求支路，如圖5-14(d)所示,得

圖5-14例5-6圖【例5-7】電路如圖5-15(a)所示，求u1。

解先求由圖5-15(a)的ab端斷開后左邊二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路。

(1)求開路電壓uoc。

ab端斷開后，電流i=0，受控源電流為零，亦開路，如圖5-16(b)所示，則

uoc=5×10+10=60V

(2)求等效內(nèi)阻R0(外加激勵法)。

將二端網(wǎng)絡內(nèi)所有獨立源置零，外加激勵電壓u，如圖5-16(c)所示，有

u=3(i－2i)+6i=3i

故

畫出二端網(wǎng)絡的戴維南等效電路并連接待求支路，得電路如圖5-16(d)所示，有

圖5-15例5-7圖

諾頓定理(Norton’stheorem)由美國貝爾電話實驗室工程師諾頓于1926年提出。諾頓定理與戴維南定理具有對偶關系，其表述如下：任一線性含源二端網(wǎng)絡N，對其外部電路而言，總可以等效為一個獨立電流源并聯(lián)電阻的電路。其電流源的電流值，等于該網(wǎng)絡N的短路電流值isc；其并聯(lián)電阻的值，等于該網(wǎng)絡所由獨立源置零時，所得的網(wǎng)絡N0的等效電阻R0。定理可用圖5-16表示。5.4諾頓定理圖5-16諾頓定理【例5-8】電路如圖5-17(a)所示，求u1。

解先求待求支路斷開后左邊二端網(wǎng)絡的諾頓等效電路

(1)求短路電流isc。

電路如圖5-17(b)所示，端口短路后，由于u1=0，所以受控電流源電流為零(開路)，有

(2)求等效內(nèi)阻R0(開路短路法)。

求開路電壓uoc，電路如圖5-17(c)所示，有

得

uoc=8V

畫出二端網(wǎng)絡的諾頓等效電路并連接待求支路,得電路如圖5-17(d)所示，由圖(d)得

圖5-17例5-8圖

作為戴維南和諾頓定理的應用，我們來討論常見的最大功率傳輸問題。如圖5-18(a)所示，若提供功率和能量的網(wǎng)絡一定，我們討論當負載電阻RL任意可變時，為何值時網(wǎng)絡提供給負載的功率最大且最大功率PLmax應如何計算。5.5最大功率傳輸定理圖5-18最大功率傳輸定理圖示將有源二端網(wǎng)絡等效成戴維南電路，如圖5-18(b)所示，顯然

(5-4)

因為