《電路分析基礎(chǔ)》課件5第8章

8.1非線性元件

8.2非線性電路的分析

8.3小信號(hào)分析法

8.4分段線性化方法

習(xí)題8第8章非線性電路

8.1非線性元件

元件參數(shù)值隨其上的電流、電壓(或電荷、磁鏈)變化的元件稱為非線性元件。含有非線性元件的電路稱為非線性電路。若電阻電路中含有非線性電阻，則構(gòu)成了非線性電阻電路。8.1.1非線性電阻

線性電阻的伏安特性曲線是通過u-i平面原點(diǎn)的一條直線。非線性電阻的電壓與電流是非線性函數(shù)關(guān)系。非線性電阻的電阻值隨著電壓或電流的大小甚至方向而改變，不是常數(shù)。根據(jù)非線性電阻的電壓、電流的非線性函數(shù)關(guān)系，非線性電阻可分為壓控、流控及單調(diào)型三種。

若電阻兩端的電壓是其電流的單值函數(shù)，則稱為電流控制型電阻。其電壓-電流特性表達(dá)式為

u=f(i)(8.1-1)

一種典型的流控非線性電阻的伏安特性如圖8.1-1(a)所示。由特性曲線可以看到,對(duì)于每一個(gè)電流值，有且僅有一個(gè)電壓值與之相對(duì)應(yīng)；對(duì)于同一電壓值，可能有多個(gè)電流值與之對(duì)應(yīng)，如電壓u0有i1、i2、i33個(gè)不同的電流值與之對(duì)應(yīng)。某些充氣二極管就具有如圖8.1-1(a)所示的伏安特性。如果通過電阻的電流是其兩端電壓的單值函數(shù)，則稱為電壓控制型電阻。其電壓-電流特性表達(dá)式為

i=f(u)(8.1-2)一種典型的壓控非線性電阻的伏安特性如圖8.1-1(b)所示。由特性曲線可以看到,對(duì)于每一個(gè)電壓值，有且僅有一個(gè)電流值與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于同一個(gè)電流值，可能有多個(gè)電壓值與之對(duì)應(yīng)，如電流i0有u1、u2、u33個(gè)不同的電壓值與之對(duì)應(yīng)。隧道二極管就具有如圖8.1-1(b)所示的伏安特性。圖8.1-1非線性電阻的伏安特性若非線性電阻的伏安特性是單調(diào)增長或單調(diào)下降的，則稱為單調(diào)型非線性電阻。它既是電壓控制型，又是電流控制型非線性電阻。普通二極管屬于單調(diào)型非線性電阻元件，其伏安特性如圖8.1-1(c)所示。從特性曲線可以看到,一個(gè)電壓值僅對(duì)應(yīng)一個(gè)電流值，一個(gè)電流值僅對(duì)應(yīng)一個(gè)電壓值，電壓、電流值一一對(duì)應(yīng)。普通二極管的伏安特性為

(8.1-3)式中，IS稱為反向飽和電流;UT是與溫度有關(guān)的常數(shù)，在室溫下UT≈26mV。由式(8.1-3)可見，電流i是電壓u的單值函數(shù)。由式(8.1-3)可求得

顯然，電壓u亦是電流i的單值函數(shù)。(8.1-4)按電壓-電流特性曲線是否對(duì)稱于u-i

平面坐標(biāo)原點(diǎn)，非線性電阻分為雙向性電阻和單向性電阻。線性電阻及某些非線性電阻的VCR特性曲線對(duì)稱于u-i

平面坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙向性電阻。多數(shù)非線性電阻的VCR特性曲線不對(duì)稱于u-i平面坐標(biāo)原點(diǎn)，屬于單向性電阻。隧道二極管、普通二極管等都是單向的非線性電阻。

由于非線性電阻的電阻值隨著電壓或電流的大小甚至方向而改變，所以不能像線性電阻那樣用常數(shù)表示其電阻值，于是引入靜態(tài)電阻R和動(dòng)態(tài)電阻Rd的概念。非線性電阻元件在某一工作狀況下(如圖8.1-2中Q點(diǎn))的靜態(tài)電阻R等于該點(diǎn)的電壓值u與電流值i之比，即

Q點(diǎn)的靜態(tài)電阻R正比于tanα。

非線性電阻元件在某一工作狀況下(如圖8.1-2中Q點(diǎn))的動(dòng)態(tài)電阻Rd為該點(diǎn)的電壓對(duì)電流的導(dǎo)數(shù)，即

(8.1-5)(8.1-6)

圖8.1-2二極管的伏安特性

Q點(diǎn)的動(dòng)態(tài)電阻Rd正比于tanβ。

從數(shù)學(xué)幾何意義來看，Rd是VCR曲線在靜態(tài)工作點(diǎn)(Q點(diǎn))切線斜率的倒數(shù)。由此可見，動(dòng)態(tài)電阻Rd與Q點(diǎn)密切相關(guān)，工作點(diǎn)Q改變，一般Rd也隨之改變。

【例8.1-1】設(shè)有一非線性電阻，其伏安特性為u=10i+i2。

(1)試求出i1=2A時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓u1的值；

(2)若i2=ki1,求對(duì)應(yīng)的電壓u2，試問u2=ku1嗎？

(3)若i3=i1+i2,求對(duì)應(yīng)的電壓u3,試問u3=u1+u2嗎？

【解】(1)i1=2A時(shí):

(2)i2=ki1時(shí):

由上式可知，當(dāng)k≠1時(shí)，u2≠ku1。

(3)i3=i1+i2時(shí):

由上式可得出，u3≠u1+u2。

由上述結(jié)果可知，對(duì)于非線性電阻，齊次性、疊加性均不成立，即它不具有線性性質(zhì)。8.1.2非線性電容和非線性電感

電容是一個(gè)二端儲(chǔ)能元件，它兩端的電壓與其電荷的關(guān)系是用函數(shù)或庫伏特性表示的。如果一個(gè)電容元件的庫伏特性是一條通過原點(diǎn)的直線，則此電容為線性電容，否則為非線性電容。

非線性電容的電荷-電壓關(guān)系可用式(8.1-7)表示：

q=f(u)(8.1-7)為了計(jì)算上的方便，引用靜態(tài)電容C和動(dòng)態(tài)電容Cd，分別為

電感也是一個(gè)二端儲(chǔ)能元件，其特征是用磁鏈與電流之間的函數(shù)關(guān)系或韋安特性表示的。如果電感元件的韋安特性不是一條通過原點(diǎn)的直線，那么這種電感元件就是非線性電感元件。

非線性電感的電流與磁鏈的一般關(guān)系式可表示為

Ψ=f(i)(8.1-8)

同樣，為了計(jì)算上的方便，引用靜態(tài)電感L和動(dòng)態(tài)電感Ld，分別為

8.2非線性電路的分析

由于基爾霍夫定律對(duì)于線性電路和非線性電路都適用，所以分析非線性電阻電路的根本依然是KCL、KVL以及VCR。線性電路方程與非線性電路方程僅由于元件特性的差別而有所區(qū)別。非線性電阻電路的方程是一組非線性代數(shù)方程，而非線性儲(chǔ)能元件的電路方程是一組非線性微分方程。對(duì)于大多數(shù)非線性電阻，往往給出的是它們的VCR特性曲線。在已知非線性電阻的VCR特性曲線及相關(guān)元件參數(shù)的情況下，利用作圖的方法對(duì)非線性電阻電路進(jìn)行分析，即為圖解法。

圖8.2-1(a)是包含有非線性電阻R的電路，圖中Us為直流電壓源，Rs為線性電阻，若非線性電阻R為電壓控制型，則其VCR特性表示為i=f(u)，如圖8.2-1(b)中的曲線(2)所示。圖8.2-1非線性電阻電路的圖解分析由圖中虛線框部分可寫出u、i關(guān)系為

u=Us－Rsi(8.2-1)

非線性電阻R上的u-i關(guān)系如圖8.2-1(b)中曲線(2)所示，即

i=f(u)(8.2-2)

在表明i=f(u)的同一u-i平面上，繪出式(8.2-1)所確定的直線，如圖8.2-1(b)中直線(1)所示。圖8.2-1(a)所示非線性電路中的電壓u、電流i應(yīng)既滿足式(8.2-1),又滿足式(8.2-2)。顯然，直線(1)與曲線(2)的交點(diǎn)Q(UQ,IQ)所對(duì)應(yīng)的電壓UQ、電流IQ值便是所求的解答,即

u=UQ,i=IQ(8.2-3)

交點(diǎn)Q(UQ,IQ)通常稱為非線性電阻的工作點(diǎn)。圖8.2-1(b)中的直線習(xí)慣上稱為負(fù)載線，因?yàn)閺姆蔷€性電阻的角度來看，線性部分是它的負(fù)載。

8.3小信號(hào)分析法

小信號(hào)分析法是電子線路中常用的一種分析方法。一些實(shí)際的電子元器件，如晶體二極管、三極管等，它們的VCR特性大都是非線性的。若輸入信號(hào)的變化幅度很小，則對(duì)于非線性電路，我們可以圍繞任何工作點(diǎn)建立一個(gè)局部線性模型。這種在小信號(hào)作用下把非線性電路近似為線性電路，運(yùn)用線性電路的分析方法來進(jìn)行研究的方法，就是非線性電路的小信號(hào)分析法。圖8.3-1(a)是包含有非線性電阻R的電路。圖中,U0為直流電壓源(常稱為偏置電源);us(t)為小信號(hào)時(shí)變電壓源(一般為正弦交流信號(hào)源)，其幅度通常遠(yuǎn)小于直流電壓源U0；R0為線性電阻。設(shè)非線性電阻R為電壓控制型，其VCR特性表示為i=g(u)，曲線如圖8.3-1(b)所示。圖8.3-1小信號(hào)分析對(duì)圖8.3-1(a)所示的電路，設(shè)電壓u、電流i的參考方向如圖中所示，根據(jù)KVL寫電路方程有

R0i(t)+u(t)=U0+us(t)(8.3-1)

先設(shè)輸入信號(hào)為零，即us(t)=0，則式(8.3-1)改寫為

R0i(t)+u(t)=U0(8.3-2)根據(jù)式(8.3-2)在圖8.3-1(b)中畫負(fù)載線(1)，與i=g(u)曲線相交于Q(UQ，IQ)點(diǎn)，通常稱Q點(diǎn)為靜態(tài)工作點(diǎn)。當(dāng)us(t)≠0時(shí)，對(duì)任意時(shí)刻t，因us(t)的幅度遠(yuǎn)小于直流電壓源U0，故電路的解i(t)、u(t)必在工作點(diǎn)Q附近，即

u(t)=UQ+Δu(t)(8.3-3)

i(t)=IQ+Δi(t)

(8.3-4)式中,UQ、IQ

分別是靜態(tài)工作點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的電壓和電流，即分別是u(t)和i(t)的直流分量；Δu(t)、Δi(t)分別是在小信號(hào)us(t)的作用下所引起的電壓增量與電流增量。將式(8.3-3)和式(8.3-4)代入式i=g(u)，得

IQ+Δi(t)=g［UQ+Δu(t)］(8.3-5)

將式(8.3-5)等號(hào)右端在Q點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開，由于Δu(t)很小，可只取其前面的兩項(xiàng)，得

(8.3-6)又因IQ=g(UQ)，由式(8.3-6)可得

式中,是非線性電阻VCR特性曲線在靜態(tài)工作點(diǎn)Q處的斜率，如圖8.3-1(b)所示。(8.3-7)令

式中，Gd是非線性電阻在工作點(diǎn)Q處的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)(或動(dòng)態(tài)電阻Rd之倒數(shù)),于是式(8.3-7)可寫為

Δi(t)=GdΔu(t)(8.3-8)

或

Δu(t)=RdΔi(t)(8.3-9)

由于在工作點(diǎn)Q處是常數(shù)，所以式(8.3-8)和式(8.3-9)表明：由小信號(hào)電壓us(t)引起的電壓增量Δu(t)與電流增量Δi(t)之間是線性關(guān)系。將式(8.3-3)、式(8.3-4)代入式(8.3-1)得

R0［IQ+Δi(t)］+［UQ+Δu(t)］=U0+us(t)(8.3-10)

當(dāng)us(t)=0時(shí)，有R0IQ+UQ=U0，故得

R0Δi(t)+Δu(t)=us(t)(8.3-11)

又因?yàn)樵诠ぷ鼽c(diǎn)Q處有Δu(t)=RdΔi(t)，整理式(8.3-11)有

R0Δi(t)+RdΔi(t)=us(t)(8.3-12)

式(8.3-12)是一個(gè)線性方程，由此可以作出非線性電阻在靜態(tài)工作點(diǎn)Q處的小信號(hào)等效電路,如圖8.3-2所示，于是解得

(8.3-13)(8.3-14)圖8.3-2小信號(hào)等效電路

故可求得

小信號(hào)分析法實(shí)質(zhì)上是將靜態(tài)工作點(diǎn)Q處的非線性電阻特性局部線性化。具體來說，就是除去電路中的直流電源，只考慮小信號(hào)的作用，非線性電阻用靜態(tài)工作點(diǎn)Q處的動(dòng)態(tài)電阻Rd近似替代，構(gòu)成小信號(hào)等效電路，進(jìn)而求解該等效電路。(8.3-15)

8.4分段線性化方法

非線性電阻的VCR特性比較麻煩，為了分析和計(jì)算方便，我們常用分段線性化方法。分段線性化方法又稱折線近似法，是在特定的條件下將非線性電阻的VCR特性曲線進(jìn)行分段線性化處理，對(duì)應(yīng)各直線段可用線性電路的計(jì)算方法進(jìn)行分析，這樣就使得非線性電阻電路的分析求解過程得以簡化。例如，實(shí)際的二極管的VCR特性如圖8.4-1(a)所示。若二極管的正向壓降遠(yuǎn)小于和它串聯(lián)的電壓源電壓，則應(yīng)用分段線性化法可把二極管視為理想的，其VCR特性可近似為圖8.4-1(b)。從圖8.4-1(b)中可以看出，對(duì)于理想二極管，電壓反向時(shí)，二極管截止，電流為零,電阻值為∞；電壓為正向時(shí)，完全導(dǎo)通，電阻值為0。

分析理想二極管電路時(shí)，關(guān)鍵在于確定二極管是正向偏置還是反向偏置。正向偏置時(shí)認(rèn)為二極管短路，反之認(rèn)為二極管開路。這樣在兩種情況下均可得到線性電阻電路圖8.4-1二極管VCR特性分段線性化

如果允許存在的工程誤差較小，則實(shí)際二極管可看成是由理想二極管與其他元件組成的。圖8.4-1(c)為采用理想二極管與線性電阻串聯(lián)來近似表示實(shí)際二極管的伏安特性，圖8.4-1(d)為采用線性電阻、電壓源和理想二極管串聯(lián)來近似表示實(shí)際二極管的伏安特性。顯然，圖(d)比圖(c)更接近于實(shí)際二極管的伏安特性曲線。

【例8.4-1】圖8.4-2(a)是理想二極管VD與線性電阻R相串聯(lián)的電路，試畫出此串聯(lián)電路的伏安特性。

圖8.4-2例8.4-1圖

【解】理想二極管的VCR特性如圖8.4-2(b)中曲線(1)所示，線性電阻R的VCR特性如圖(b)中過原點(diǎn)的曲線(2)所示。因電路串聯(lián)，故有

u=uD+uR

當(dāng)u>0時(shí)，i>0，uD=0,這時(shí)理想二極管相當(dāng)于短路，u=uD+uR=0+uR=uR；當(dāng)u<0時(shí)，二極管截止，相當(dāng)于開路，i恒等于零。

根據(jù)以上分析可畫得電路的伏安特性如圖8.4-2(c)所示，當(dāng)u>0時(shí)等效電阻為R，當(dāng)u<0時(shí)等效電阻為∞。

【例8.4-2】由線性電阻R、電壓源和理想二極管VD串聯(lián)的電路如圖8.4-3(a)所示，試畫出此串聯(lián)電路的伏安特性。【解】理想二極管、線性電阻R和電壓源的伏安特性如圖8.4-3(b)中曲線(1)、(2)和(3)所示，因電路是串聯(lián)連接，故有

u=uD+uR+Us

圖8.4-3例8.4-2圖當(dāng)u>Us時(shí)，i>0，uD=0，理想二極管相當(dāng)于短路，u=uD+uR+Us=0+