《電路基礎(chǔ)》課件第6章

6.1非正弦周期量

6.2非正弦周期信號(hào)的諧波分析

6.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率

6.4濾波器

6.5本章實(shí)訓(xùn)非正弦周期電流電路的研究第6章非正弦周期電流電路常見(jiàn)的非正弦周期波主要有:全波整流電路輸出的電壓波形(如圖6.1所示)，半波整流電路輸出的電壓波形(如圖6.2所示)，脈沖數(shù)字電路中尖脈沖波形(如圖6.3所示)，矩形脈沖波形(如圖6.4所示)，電子示波器中常用的鋸齒波掃描波形(如圖6.5所示)。6.1非正弦周期量圖6.1全波整流電壓波形圖6.2半波整流電壓波形圖6.3尖脈沖波形圖6.4矩形脈沖波形圖6.5鋸齒波形6.2.1非正弦波的合成

在正弦交流電路中，幾個(gè)同頻率的正弦量之和還是一個(gè)同頻率的正弦量。對(duì)于幾個(gè)不同頻率的正弦量相加，其結(jié)果如何？

設(shè)有三個(gè)正弦電壓

u1=U1msinωt

6.2非正弦周期信號(hào)的諧波分析把兩個(gè)正弦電壓u1、u3的瞬時(shí)值相加，可得到另一個(gè)電壓

其波形如圖6.6所示，比較接近于方波。圖6.6正弦波u1、u3合成非正弦波u若加上第三個(gè)正弦電壓

則

其波形如圖6.7所示，非常接近方波波形。圖6.7正弦波u1、u3、u5合成非正弦波u6.2.2非正弦波的分解

幾個(gè)不同頻率的正弦量之和是周期性非正弦量，反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)周期性非正弦量也可以分解為一系列不同頻率的正弦量。

由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，凡滿(mǎn)足狄利赫里條件的周期函數(shù)都可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)。在電工技術(shù)中所遇到的周期性非正弦量，一般情況下都能滿(mǎn)足狄利赫里條件，因此都可以分解為傅里葉級(jí)數(shù)。

設(shè)f(t)為一周期函數(shù)f(t)=f(t+kT)，其中周期為T(mén)，角頻率ω=2π／T，則f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)可表示為

(6-1)

其中:a0／2為常數(shù)項(xiàng)，

akcoskωt為余弦項(xiàng)，bksinkωt為正弦項(xiàng)；a0、ak和bk稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，分別為

若把式(6.1)中的同頻率正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)合并，則有

(6-2)

其中:，,

,而

ak=Aksinψk,bk=Akcosψk

例6-1

如圖6.8所示鋸齒波，其解析式為

(0＜t＜T)

求其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。圖6.8例6-1圖

解因?yàn)?/p>

所以，i(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為

圖6.9例6-2圖

例6-2

求如圖6.9所示方形脈沖波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式

解因?yàn)楫?dāng)k=2n,其中n=0，1，2，3…時(shí)，bk=0；

當(dāng)k=2n+1,其中n=0，1，2，3…時(shí)，

；所以

以上介紹了非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)求解方法，但在實(shí)際應(yīng)用中，工程上常采用查表的方法獲得非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。常用幾種典型非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式如表6.1所示。表6.1幾種典型非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式6.3.1非正弦周期量的有效值

非正弦周期量的有效值是根據(jù)其熱效應(yīng)來(lái)確定的。

如果非正弦周期電流i通過(guò)電阻R在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流電流I通過(guò)同一電阻R在相同時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，則直流電流I的數(shù)值稱(chēng)為非正弦周期電流i的有效值，用公式表示為

6.3非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率同理，非正弦周期電壓的有效值定義可表示為

由于非正弦周期量可分解為傅里葉級(jí)數(shù)，因此可根據(jù)其各次諧波的有效值來(lái)計(jì)算其有效值。

下面以非正弦周期電流為例,設(shè)

其有效值為

同理，非正弦周期電壓的有效值為

例6-3

試求非正弦周期電壓

的有效值。

解u(t)的有效值為6.3.2非正弦周期量的平均值

一個(gè)非正弦周期量的平均值就是它的直流分量。

非正弦周期電壓u(t)的平均值為

對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中直流分量為零的非正弦周期量，在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為零。為了便于對(duì)非正弦周期量進(jìn)行分析和測(cè)量(如分析整流效果)，一般定義非正弦周期量的平均值為其絕對(duì)值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，又稱(chēng)為整流平均值。非正弦周期電流平均值為

例如，半波整流電流波

其平均值為

I=1.57Iav

即非正弦周期量半波整流電流波的有效值是其平均值的1.57倍。

非正弦周期電壓平均值為

非正弦周期量有效值與平均值的比值稱(chēng)為波形因數(shù)，用Kf表示:

非正弦周期量振幅值與有效值的比值稱(chēng)為波峰因數(shù)，用Kc表示:

例6-4

分別用磁電系電壓表和電磁系電壓表測(cè)量一個(gè)全波整流電壓，已知其振幅值為311V，求各電壓表的讀數(shù)。

解經(jīng)計(jì)算或查表，全波整流電壓波的平均值、有效值分別為

所以，磁電系電壓表讀數(shù)為198.1V，電磁系電壓表的讀數(shù)為220V。6.3.3非正弦周期量的平均功率

非正弦周期性電流電路中的瞬時(shí)功率等于電壓和電流瞬時(shí)值的乘積，即p=ui，其在一個(gè)周期中的平均功率是指一個(gè)周期內(nèi)消耗在電路中的電能與消耗這些電能所用時(shí)間的比值，即

若非正弦周期電壓u和非正弦周期電流i的瞬時(shí)值分別為

其中ψu(yù)k、ψik分別為電壓和電流k次諧波分量的初相位。則有

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得

其中,Uk和Ik分別為電壓、電流k次諧波分量的有效值，φk=ψu(yù)k－ψik為k次諧波電壓超前k次諧波電流的相位角。非正弦周期電流電路的無(wú)功功率定義為各次諧波無(wú)功功率之和，即

非正弦周期電流電路的視在功率定義為電壓和電流有效值的乘積，即

平均功率和視在功率的比值定義為非正弦周期電流電路的功率因數(shù):

式中,φ為一個(gè)假想的角。該功率因數(shù)無(wú)實(shí)際意義，并不表示非正弦電壓與電流之間存在相位差。

例6-5

已知某二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、端口電流分別為

求該二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率、無(wú)功功率和視在功率。

解平均功率為

P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+U3I3cosφ3

=20×10+20×10cos60°

=200+100=300W

無(wú)功功率為

視在功率為

例6-6

如圖6.10所示RL串聯(lián)電路，已知R=3Ω，L=12.7mH，外加電壓。試求：

(1)電路中電流i；

(2)電流i的有效值I；

(3)電路中消耗的平均功率P。

解在直流分量U0=60V單獨(dú)作用下，電感L相當(dāng)于短路，有

圖6.10例6-6圖

在單獨(dú)作用下，有

電流為

電流i的有效值為

電路中消耗的平均功率為

P=P0+P1=1200+108=1308W按照濾波器的功能，一般情況下，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等類(lèi)型。它們的電路結(jié)構(gòu)可以設(shè)計(jì)成Γ型、Τ型和Π型等,如圖6.11所示。6.4濾波器圖6.11濾波器的基本電路形式6.4.1低通濾波器

在電路中，使低頻分量的信號(hào)順利通過(guò)，而高頻分量的信號(hào)受到抑制的電路稱(chēng)為低通濾波器，其典型電路如圖6.12所示。

低通濾波器的作用是讓直流分量及低于某一頻率的諧波分量通過(guò)，這一頻率稱(chēng)為濾波器的截止頻率，即濾波器的通頻帶和止頻帶的交界處。

以圖6.13Π型低通濾波器為例，電路中串聯(lián)臂為電感元件，并聯(lián)臂為電容元件。從輸入端輸入電流i1，其中的高頻分量大部分經(jīng)左邊電容C1分流而返回。流經(jīng)電感L的高頻分量，幅度受到抑制后，經(jīng)過(guò)右邊電容C2再次分流，從而使輸出端電流i2所含高頻分量很小。從電壓來(lái)講，輸入端電壓u1中的高頻分量主要分布在電感L上，輸出端電壓u2中含有的高頻分量也很小，這樣輸出的高頻分量被大大削弱，得到的主要是低頻分量。圖6.12低通濾波器圖6.13Π型低通濾波器6.4.2高通濾波器

使高頻分量順利通過(guò)，而低頻分量受到阻止的濾波電路稱(chēng)為高通濾波器，其典型電路如圖6.14所示。

圖6.14中，串聯(lián)電容抑制低頻分量通過(guò)，并聯(lián)電感則對(duì)低頻分量起旁路作用。高通濾波器的作用與低通濾波器相反，其目的是讓高于截止頻率的諧波分量通過(guò)，把低于截止頻率的諧波分量和直流分量濾掉。圖6.14高通濾波器6.4.3帶通濾波器

使某一頻率范圍內(nèi)的諧波分量順利通過(guò)而其他頻率的諧波分量受到抑制的濾波電路稱(chēng)為帶通濾波器。帶通濾波器的工作原理是應(yīng)用了串聯(lián)諧振電路和并聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)，LC串聯(lián)電路在諧振時(shí)其電路阻抗值最小，且為阻性；LC并聯(lián)電路在諧振時(shí)，其電路阻抗值最大，且為阻性。其通頻帶在電路的固有頻率f0附近，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)L、C就可以調(diào)節(jié)通頻帶的頻率范圍。其典型電路如圖6.15所示。

電路中串聯(lián)臂為L(zhǎng)1C1串聯(lián)電路，并聯(lián)臂為L(zhǎng)2C2并聯(lián)電路，適當(dāng)選擇參數(shù)L1、C1、L2、C2使兩臂的諧振頻率相同，均為

圖6.15帶通濾波器6.4.4帶阻濾波器

使某一頻率范圍內(nèi)的諧波分量受到抑制，而其他頻率的諧波分量順利通過(guò)的濾波電路稱(chēng)為帶阻濾波器，其典型電路如圖6.16所示。

帶阻濾波器的作用與帶通濾波器的作用相反，串聯(lián)臂為L(zhǎng)1C1并聯(lián)電路，并聯(lián)臂為L(zhǎng)2C2

串聯(lián)電路，兩臂的諧振頻率相等,均為

圖6.16帶阻濾波器

1.實(shí)訓(xùn)目的

(1)了解非正弦周期電流電路響應(yīng)的規(guī)律。

(2)了解非正弦周期量的測(cè)量方法。

(3)加深對(duì)非正弦周期電流電路及諧波概念的理解。

(4)了解濾波器的概念。6.5本章實(shí)訓(xùn)非正弦周期電流電路的研究

2.實(shí)訓(xùn)設(shè)備

(1)信號(hào)發(fā)生器。

(2)雙蹤示波器。

(3)交流毫伏表。

(4)10mH電感、10μF電容、1kΩ電阻等元器件。

3.實(shí)訓(xùn)原理

1)傅里葉級(jí)數(shù)

任何一個(gè)非正弦周期量，只要滿(mǎn)足狄利赫里條件，都可以分解成傅里葉級(jí)數(shù)。

設(shè)周期函數(shù)f(t)=f(t+kT),k=0，1，2…,其周期為T(mén)，角頻率ω=2π／T，則有

式中：

f(t)傅里葉級(jí)數(shù)還有另一種形式:

其中，

2)非正弦周期量的有效值

非正弦周期量的有效值是根據(jù)其熱效應(yīng)定義的。

非正弦周期電壓u(t)的有效值用公式表示為

又可以表示為

4.實(shí)訓(xùn)步驟

(1)按圖6.17連接實(shí)驗(yàn)電路。

(2)信號(hào)發(fā)生器為電路提供幅度為3V的鋸齒波信號(hào)，用示波器分別觀(guān)察輸入電壓ui和輸出電壓uo的波形，并分別測(cè)出其振幅值Uim、Uom。

(3)用交流毫伏表測(cè)出輸入電壓ui和輸出電壓uo的有效值。

(4)將信號(hào)源換為3V的矩形波重復(fù)步驟(2)、(3)。